連續與一致連續

楊昌海

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）08-086-01

一、連續的定義及其理解

在數學分析中，要研究種種不同性質的函數，其中有一類重要的函數就是連續函數.“連續”與“間斷”（或不連續）照字面上來講，是不難理解的，所謂“連續，意即連續不斷”.它反映了我們觀察到的自然現象的一種共同特性.例如氣溫的變化，生產的連續進行，生物的連續生長等等.

我們不難舉出大量的連續與不連續的函數，例如 在每一點x都是連續，而y=[x]在所有整數點都不連續.但究竟怎樣才叫連續呢？單從圖形上來看是不行的，我們可以舉出在每點都連續卻無法用圖形表示的函數.圖形只能幫助我們更形象地理解這一概念.為了對它作進一步的分析和研究，必須給“連續”一確切的定義.

所謂函數f（x）在 點連續就是指：當x越接近 時，函數值f（x）就越接近f（ ）.它的意思是：函數f（x）不僅在 點極限存在，而且這個極限正是f（x）在點 的函數值，這意味著函數的圖形在 點連結起來了.

1、函數在一點連續的定義

定義1若函數在 點附近包括 本身有定義，并且 時，我們稱f（x）在 點連續，或者稱 點是f（x）的連續點.

下面根據定義看這樣的題，

函數 在點 連續

解：

函數 在點 連續

定義2設函數f在 的右（左）領域 內有定義，若

（ ）

則稱函數f在x*右（左）連續.

由定義1和定義2，我們可得出如下定理：

定理1，函數f在點 連續的充要條件是：函數f在點 既是右連續，又是左連續.

例如：函數 在x=0的連續性.

解；因為

而 ，所以函數在 右連續，但不左連續，從而它在 不連續.

2、區間上的連續函數.

若函數f在區間I上每一點都連續，則稱f為I上的連續函數.對于閉間端點上的連續性則按左 右連續來確定.

二、一致連續性的定義的理解

函數f在區間內的連續性，是指它在某區間內每一點都連續，那下面就來討論的一致連續函數的概念是反映函數在區間上更強烈的連續性.

定義3， 設f為定義在區間I上的函數，若對任給的正數ε，總存在正數δ=δ（ε），只要 屬于I，且| |<δ，有

| （

則稱f在區間I上一致連續.

直觀地說，f在I上一致連續是指：不管 與 在 中處于什么位置，只要它們的距離小于δ，就可使

同理有了一致連續的定義也就有不一致連續的定義，如下：

函數f在區間I上不一致連續就是：存在正數ε，使得對任何正數δ，總存在兩點 ，雖然| |<δ，但有| （ .

例 證明 在 上一致連續.

證 對于任給的正數 ，由于

所以選取 ，不論 取為 上的怎樣兩點，只要| |<δ，就一定有

這就證得 在 上一致連續