小波函數(shù)應(yīng)用于GPS高程擬合的分析

唐健林，徐　陶，龍　盈

(1. 湖南省地質(zhì)測(cè)繪院，湖南 衡陽 421001； 2. 湖南省勘測(cè)設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410014)

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小波函數(shù)應(yīng)用于GPS高程擬合的分析

唐健林1，徐陶2，龍盈1

(1. 湖南省地質(zhì)測(cè)繪院，湖南 衡陽 421001； 2. 湖南省勘測(cè)設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410014)

Analysis of Wavelet Function Used in the Fitting of GPS Elevation

TANG Jianlin，XU Tao，LONG Ying

摘要：將小波函數(shù)引入到GPS高程擬合，利用小波基函數(shù)伸縮平移的特性，結(jié)合最小二乘法對(duì)散亂的GPS點(diǎn)進(jìn)行擬合。通過實(shí)例驗(yàn)證了小波函數(shù)實(shí)現(xiàn)GPS高程轉(zhuǎn)換的可行性，并與傳統(tǒng)擬合算法多項(xiàng)式曲面擬合法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，證明在大面積且地形起伏較大的測(cè)區(qū)，小波函數(shù)擬合殘差值更小，精度優(yōu)于多項(xiàng)式曲面擬合法，更能反映測(cè)區(qū)實(shí)際高程異常的變化。

關(guān)鍵詞：小波函數(shù)；高程擬合；多項(xiàng)式曲面擬合

隨著GPS測(cè)高技術(shù)的發(fā)展，目前已能獲得高精度的測(cè)站大地高[1]。高程系統(tǒng)包括正高、正常高和大地高系統(tǒng)[2]。大地高h(yuǎn)是地面點(diǎn)沿參考橢球面法線到參考橢球面的距離,而我國(guó)采用正常高系統(tǒng)，正常高H是地面點(diǎn)沿鉛垂線到似地大水準(zhǔn)面的距離[2]。正常高和大地高之差即為高程異常，其關(guān)系如下

h=H+ξ

(1)

由式(1)可知，如何高精度地?cái)M合高程異常值ξ成為GPS高程轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵問題。常用的擬合方法有多項(xiàng)式曲面擬合法[3]、多面函數(shù)法[4]、地球位模型[5]等。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和粒子群算法等新興數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者目前較多研究和這些新理論結(jié)合的擬合方法，如神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)擬合[5-6]、粒子群算法[7-8]、支持向量機(jī)[7-8]等。本文中提出將小波理論應(yīng)用于GPS高程擬合，構(gòu)造小波擬合函數(shù)對(duì)某測(cè)區(qū)GPS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并與常用的擬合方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

一、小波理論

小波理論是20世紀(jì)80年代中期發(fā)展起來的新興應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法，主要用于數(shù)字信號(hào)處理和圖像處理。隨著理論的完善，在數(shù)值分析領(lǐng)域，通過多分辨分析和小波變換可以構(gòu)造多種用于數(shù)值分析的小波基函數(shù)。利用尺度函數(shù)或小波基函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的多項(xiàng)式作為逼近函數(shù)解決了許多復(fù)雜的工程數(shù)值計(jì)算問題[9-11]。

對(duì)ψ(t)平移、伸縮可以得到一族小波函數(shù)[12]

(2)

ψj,k(t)=2-j/2ψ(2-j/2t-k)j,k∈Z

(3)

通過式(3)得其小波族函數(shù)表達(dá)式為

(4)

式(4)為一維Mexican Hat小波族函數(shù)，對(duì)于GPS高程擬合則需通過平面二維坐標(biāo)求解高程異常值。因此需將式(4)推廣到二維情形。設(shè)ψ(x,y)是二維母小波函數(shù)，它可以通過一維小波的張量積形式給出：ψ(x,y)=ψ(x)ψ(y)。二維Mexican Hat母小波函數(shù)表達(dá)式為

通過式(4)可求得二維Mexican Hat小波族函數(shù)表達(dá)式

(5)

二、小波擬合函數(shù)

給定一組離散的三維數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi,ξi),通過尋找某種函數(shù),在最小二乘原理下求得任意點(diǎn)(x,y)所對(duì)應(yīng)的值ξ即為二維函數(shù)擬合問題，記為ξ=f(x,y)。如何尋找函數(shù)f(x,y)并使得逼近誤差最小，是擬合的關(guān)鍵。本文中利用Mexican Hat小波基函數(shù)作為擬合函數(shù)，并在最小二乘原理下構(gòu)造實(shí)現(xiàn)GPS高程轉(zhuǎn)換的擬合函數(shù)f(x,y)。設(shè)定如下

(6)

式中，ψl1,l2,k(x,y)為二維Mexican Hat小波族函數(shù)；am為待定系數(shù)。由式(6)可知，只需確定系數(shù)am，就能獲得擬合函數(shù)的表達(dá)式。定義函數(shù)逼近誤差平方和為

(7)

為使逼近誤差最小，在最小二乘原理下確定系數(shù)am。根據(jù)極值定理，式(7)取極小值的充要條件是

k=0,1,…,m;m≤n

(8)

整理式(8)得

(9)

通過已知數(shù)據(jù)集合(xi,yi,ξi)，利用式(9)即可求得系數(shù)am，進(jìn)而求得函數(shù)表達(dá)式。在GPS高程擬合時(shí)，為檢驗(yàn)擬合精度，應(yīng)設(shè)置一系列已知高程異常的檢核點(diǎn)求出擬合殘差vi=ξ擬-ξi。其擬合精度為

(10)

式中，n為參與擬合計(jì)算的檢核點(diǎn)個(gè)數(shù)。式(10)又稱為預(yù)報(bào)殘差，用來大致代替整個(gè)測(cè)區(qū)GPS高程異常擬合計(jì)算的精度[13]。

三、算例分析

本文中選用云南省馬關(guān)縣大丫口礦區(qū)GPS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，測(cè)區(qū)位于云南省東南部。馬關(guān)縣境內(nèi)高差起伏懸殊，最高海拔2579 m，最低海拔123 m。測(cè)區(qū)內(nèi)共觀測(cè)GPS點(diǎn)47個(gè)，其中聯(lián)測(cè)等級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)14個(gè)。測(cè)區(qū)面積約300 km，平均高程1500 m，最大高差約500 m。由于地形起伏較大，GPS觀測(cè)的大地高與已知水準(zhǔn)高程求得的高程異常變化較大，最大高程異常為29.335 6 m，最小為27.457 8 m。為了檢驗(yàn)擬合精度，本文中選用6個(gè)已知高程異常點(diǎn)作為起算數(shù)據(jù)(見表1)，其余8個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。同時(shí)將小波函數(shù)計(jì)算結(jié)果同常用的多項(xiàng)式曲面擬合結(jié)果進(jìn)行比較(見表2)，對(duì)應(yīng)的檢核點(diǎn)擬合誤差曲線如圖1所示。

表1　GPS控制網(wǎng)和已知水準(zhǔn)點(diǎn)　m

表2　小波函數(shù)和多項(xiàng)式曲面擬合殘差比較　m

圖1　小波函數(shù)和多項(xiàng)式曲面擬合殘差序列

由表2擬合數(shù)據(jù)可知，由小波函數(shù)擬合的高程異常殘差絕對(duì)值大部分在0～0.1 m內(nèi)，最大值22號(hào)點(diǎn)殘差為0.115 8 m，擬合效果較好，證明小波函數(shù)能應(yīng)用于GPS高程擬合計(jì)算。常用的多項(xiàng)式曲面擬合法擬合的高程異常殘差絕對(duì)值大部分在0.1～0.3 m內(nèi)，僅有31號(hào)點(diǎn)殘差絕對(duì)值為0.056 1 m。通過殘差值比較可知，小波函數(shù)在本文計(jì)算實(shí)例中擬合的高程異常殘差明顯小于常用的多項(xiàng)式曲面擬合殘差。證明在大面積測(cè)區(qū)范圍內(nèi)，高程異常值變化較大時(shí)，小波函數(shù)通過母小波的伸縮和平移更能反映實(shí)際的高程異常變化。由表2擬合數(shù)據(jù)殘差通過式(10)計(jì)算得到小波函數(shù)和多項(xiàng)式曲面擬合法擬合精度分別為0.082 2和0.182 6 m。由此可知，小波函數(shù)在本文中計(jì)算實(shí)例中GPS高程擬合精度優(yōu)于多項(xiàng)式曲面擬合。

四、結(jié)論

1) 通過實(shí)際算例可知，利用小波函數(shù)的伸縮和平移性質(zhì)結(jié)合最小二乘法對(duì)離散的GPS點(diǎn)進(jìn)行高程擬合是可行的，且擬合效果較好。

2) 由表2和圖1可知，本文中算例利用小波函數(shù)進(jìn)行GPS高程擬合殘差值小于常用的多項(xiàng)式曲面擬合殘差值，且擬合精度優(yōu)于多項(xiàng)式曲面擬合精度。

3) 在地形起伏較大的測(cè)區(qū)，高程異常變化較大時(shí)，利用小波基函數(shù)伸縮平移的性質(zhì)較多項(xiàng)式曲面擬合法更能反映測(cè)區(qū)實(shí)際高程異常變化。

4) 由表2可知，本文中算例采用的兩種擬合方法其擬合殘差都未達(dá)到毫米級(jí)，分析原因可能與當(dāng)?shù)氐匦纹鸱嘘P(guān)。

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中圖分類號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：0494-0911(2016)03-0058-03

作者簡(jiǎn)介：唐健林(1964—)，男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)榭刂茰y(cè)量、攝影測(cè)量。E-mail:492287960@qq.com

收稿日期：2015-03-20

引文格式： 唐健林，徐陶，龍盈. 小波函數(shù)應(yīng)用于GPS高程擬合的分析[J].測(cè)繪通報(bào)，2016(3)：58-60.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0086.