噴管中氣液兩相混合物流動的等熵分析

鄭 俊，王寶壽，陳瑋琪，王軍鋒，李鋒

（1.江蘇大學能源與動力工程學院，江蘇鎮江212013；2.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082）

噴管中氣液兩相混合物流動的等熵分析

鄭 俊1，2，王寶壽2，陳瑋琪2，王軍鋒1，李鋒1

（1.江蘇大學能源與動力工程學院，江蘇鎮江212013；2.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082）

文章基于均質混合物的等熵和正壓條件，建立了噴管內定常氣液兩相流動的等熵模型及其微分方程，并因此得到了噴管內混合物壓力、體積分數、馬赫數以及溫度之間的等溫與等熵的解析關系。解析解表明，氣液質量流率之比增加，噴管內混合物的溫度變化明顯，而混合物的臨界流動特性與滯止點的氣體體積分數有關。基于以上解析關系以及連續性方程得到噴管線型與壓力分布的解析關系，通過該關系可以根據期望壓力分布逆向設計得到噴管線型，或者根據給定噴管線型求解得到噴管內的流動。

氣液混合物；等熵流動；解析模型；極限流動；噴管設計

0 引 言

氣液兩相流動的應用是廣泛的[1-3]，比如在推進系統的研制當中，就有所謂通氣噴水推進[3-4]。水沖壓氣液兩相推進[5-7]，金屬水反應兩相流推進[8-9]，噴霧推進[10-11]等多種推進方式中都涉及氣液兩相流。兩相流推進是水下高速推進方式的研究方向，具有水下推進傳統方式不具有的優點。

在氣液兩相流理論和數值分析方面，噴管中泡狀流的研究得到了較廣泛的研究。其中Tangren[12]基于等熵條件和正壓模型，簡單推導了噴管中的氣液兩相流動的特性，但其得到的結果還不足夠簡潔。而其它的理論分析，還主要集中在等溫模型。Mor[13]基于等溫條件和正壓模型，簡單推導了管道中的泡狀流動模型，但并未給出流動參數滿足的解析關系。基于等溫模型，Wijngaarden[14]研究過幅度較小和中等的壓力波在泡狀流中的傳播問題，并分析了氣泡大小、波長、波幅、以及氣泡間距對壓力波的影響，并指出一維條件下波的傳播方程類似于Korteweg-de Vries方程。Eddington[15-16]較早地研究了氣液兩相的超音速流動問題，并且導出了無相對滑移的氣液兩相流的激波條件。Thang[17]則給出了氣液兩相具有定常相對滑移速度下的激波條件。針對水沖壓發動機，國內的付英杰[6]和董磊[7]也進行了一定的探索。其中付英杰基于Rayleigh氣泡動力學方程求解了噴管中泡狀流動等；而董磊基于CFD軟件Fluent中的不可壓縮均質混合物模型探討了外懸式水沖壓發動機的推進性能，但兩者對于噴管中可壓縮泡狀流的解析模型或可壓縮泡狀流的CFD仿真，還未有針對性地開展過。

本文基于氣液兩相混合物的等熵條件以及正壓模型，對噴管中氣液兩相流動的基本原理進行分析，并且得到了一系列具有顯著物理含義的簡化關系式，得到了流動的基本微分方程及其相應的解析解，最終用于噴管中的流動計算和噴管線型的逆向設計。

1 氣液兩相等熵流動的基本方程

對于噴管中的氣液兩相準一維等熵流動分析，基于以下的理論前提：（1）氣液兩相總體是等熵的，但是允許氣液兩相之間存在熱傳遞；（2）氣液兩相沒有相變；（3）氣液兩相共有壓力且無相對速度。需要指出的是，在氣體體積分數過大的情況下，相對速度的影響將表現出來；關于相對滑移速度的影響，將在未來的工作中進行。

1.1 氣液兩相等熵流動的基本方程

質量守恒方程

能量方程（等熵條件）

混合物組成

氣體狀態方程

馬赫數定義

等熵聲速定義

其中：物理量U為流速，P為壓力，A為噴管截面積，F為噴管軸向單位長度上的摩擦力，為混合物質量流率，α為氣體體積分數，R為氣體常數，T為熱力學溫度，c為聲速，s為混合物熵。其中下標a，l分別指氣體與液體。

根據（1）、（4）式和（5）式可知，如果壓力和溫度以及質量流率可知，那么ρ，ρa，α可求，即它們之間并不獨立。因此如果流量給定,那么ρ，ρa，α都只是壓力P和溫度T的函數。而（3）式將給出壓力和溫度的關系，從而最終理論上可以求得混合物密度ρ和壓力P、溫度T的關系。

1.2 混合物狀態方程

將（4）式代入（1）式可以獲知

并因而可以得到：

引入氣液質量流量之比為常數

并因而可以得到：

由（12）式可以得到

由（13）式可以得到

將（15）式代入（5）式，并將（14）式隨后代入，就可得到

或

其中

上述（16）式就是泡狀流正壓模型的狀態方程，需要注意P，Pt都是溫度T的函數。

1.3 氣液兩相混合物的等熵關系

等熵聲速需要從等熵關系導出。因此首先來研究混合物的等熵關系。將（3）式展開并寫成

即表明，氣液兩相混合物的總熵為0。由（19）式和（11）式可以得到

由熵增的定義可知

其中：dWa表示因為氣體微元體積變化時壓力對外做功；而水的熵增為

水體積不變，其壓力并不對外做功。將（21a）和（21b）代入到（20）式，可得：

如果氣液兩相為熱平衡，那么兩相的溫度相等

將上式代入（22）式有

又因為

將（5）式代入上式有

將（26）式代入（24）式可以得到

因為有

其中

其中

為水和氣體的定容比熱的比值，因為水的比熱容比氣體大很多，所以κ大于1。ω可以認為是當前噴管內的氣液混合后的某個常數，它可以表示不同氣液質量流率和不同比熱容氣體和液體定常混合后的性質。那么由（29）式就可方便地得到

這個式子的形式非常典型。當氣體的質量流率遠遠大于水的質量流率時，那么有

（32）式的形式就退化為純氣體的等熵關系；在一般的泡狀流動中，μ的量級很小，η是個接近0的量，這就導致ω接近0，從而使得（32）式右端的值接近1，從而流動中溫度幾乎沒有變化。可以將（32）式的等熵關系轉化為壓力和密度的關系。將（5）式代入（32）式，并繼而再將（15）式代入后有

（32）式和（34）式就是氣液混合物的等熵關系。

1.4 氣液兩相混合物的聲速方程

現在需要根據壓力和密度的等熵關系（34）式來求解聲速方程。對（34）式兩邊密度求導有

又因為將（16a），（16b）式兩邊各自相乘，并化簡就可以得到

定義無量綱的壓力特性函數

（35）式就可以簡化為

將（16a）式變形并寫為

定義虛擬聲速

可以得到

為方便，記

將（42）式代入（41）式可以得到

事實上由（14）式和（36）式，可以得知

那么聲速（43）式又可以表達為

注意，ct現在是溫度的函數。從（45）式可以看到，管道內給定氣液混合比的氣液兩相流聲速是與體積分數成反比的。由（6）式和（43）式可以得到

2 基本微分關系

為了得到流動的微分方程，需要得到各變量的微分關系。因此要建立溫度、密度、壓力和速度之間的微分關系。由（18）式可知

由（16a）式兩邊取微分并利用（37）式可以得到

同理由（40）式可以得到

同理又由（37）式可以得到

為了進一步運算的簡便，考慮將所有的量轉換成無量綱壓力特性函數Pˉ的微分關系。于是將（47）式以及（29）式代入上式并化簡就有

于是將（51）式代入到（47）式和（29）式，可以得到

將（50）式代入（48）式可以得到

由（49）式和（52）式可知

由（44）式可以容易得到

可以很方便地由（1）式得到

也可以很方便地由（46）式得知

將（54）式代入（57）式可以得到

將（53），（58）式代入（56）式，可以得到

3 氣液兩相混合物等熵流動微分方程

將（8）～（11）式以及（46）式以及（51），（58）式代入動量方程（2），并忽略摩擦力，有

將（60）式代入到（59）式，可以得到

將（44）式和（55）式代入（60）式就可以得到

以上方程組（60）～（62）就是氣液兩相等熵流動的基本微分方程組。注意，當ω=0時，由（29）式可知，方程組的形式就完全退化為等溫流動的情形。方程組（60）～（62）對于泡狀流和霧狀流都是近似合適的。現在讓我們來進一步分析方程組解的情況。將（62）式寫為

或

則，（63a）式進一步轉換為

在等溫情形下，即ω=0時，（65）式或（63a）式可以給出很簡潔的結果：

等熵情況下，方程（65）給出的結果是

其中

為方便起見我們稱之為氣液混合指數。將邊界條件

也代入到（67）式，定出常數C，可以得到

這就是氣液兩相流動等熵情形下的解析解；注意到（70）式不適用于ε=0或ω=0的情況，也就是不適用于等溫情形。等溫情形下，請采用（66）式進行分析。注意到，當（69）式中M0≈0時，該條件則為滯止條件；而一般情況下，（69）式也可以作為入口條件。

4 氣液兩相混合物等熵流動特性分析

為方便繼續分析，讓我們來考察氣液不同混合條件下，混合指數ε的取值情況。可以從（30），（68）式發現對于特定的氣體和液體（從而它們的定容比熱不變，以及氣體的絕熱指數γ固定），ε僅是隨氣液質量流率比值μ變化的單增函數，如圖1所示。

圖1 氣液混合物指數εFig.1 The mixture exponent ε

當氣體的質量流率遠遠大于水的質量流率時，即μ趨近于無窮大時，ε趨近于固定值，如圖1中的橫虛線所示，這個值僅由氣體的絕熱指數決定。當氣液質量流率相等，即μ為1時，ε取值為10-1；對于泡狀流動而言，μ接近的量級在10-4～10-2之間時，ε取值僅在10-5～10-3之間。所以對于泡狀流動而言，ε是一個絕小的量。由于氣體密度遠遠小于水，當氣體與液體的質量流率相當甚至小一個量級時，即μ的量級接近10-1～100之間時，氣體體積分數會相當大，流態可能接近霧狀，此時ε取值僅在10-3～10-1之間。霧狀流動的氣液相對滑移速度比較大，因此本文基于無相對滑移的考察，對于霧狀流動，可能誤差會相對顯著一些。下文中，我們在定性分析中只給定氣液混合物的混合指數ε，并且始終注意到它對應于某一特定的氣體和液體的質量流率比值μ，ε較大時，對應于μ也取較大的值。

4.1 氣液兩相混合物等熵流動溫度變化

有必要來考察一下，氣液兩相流在噴管中流動時，其溫度的變化。由（32）式和（37）式以及由（18）式和（68）式可以得知

利用（44）式可以得到

基于（72）式可以看到對于不同的氣液混合指數ε，在給定不同入口體積分數α0下，流動的溫度隨氣體體積分數α的變化，如圖2所示。由圖中可以看到，給定入口體積分數α0，隨氣體體積分數α的增加，溫度不斷降低。也就是說隨著氣體在流動中的膨脹，混合物的溫度不斷降低，而隨著氣體被壓縮，混合物溫度則不斷增加。而且可以看到，在同樣的氣液混合指數ε下（也即同樣的氣液質量流率和氣液的性質），入口體積分數α0越大，則流動中的溫度與入口溫度的比值就越大，即溫度變化越不顯著；這說明入口體積分數α0越小，則膨脹到同樣的α時，溫降就越大。從圖2還可看到，對于同樣的入口體積分數α0下，氣液混合指數ε對于溫度變化過程也有影響；可以發現，當流動中的氣體體積分數α小于0.5時，ε大的氣液混合物的溫度比值要高于ε小的氣液混合情形，而當氣體體積分數α大于0.5時，ε大的氣液混合情形下的的溫度比值要小于ε小的氣液混合情形。這說明當氣液混合指數ε大時，流動中的溫度變化較為明顯，氣體在其中的影響更大；這說明為了更好地利用氣液混合物的內能，一定程度上增加ε的值是有益處的。

圖2 溫度隨氣體體積分數的變化Fig.2 The temperature variation vs.the air volume fraction

圖3 馬赫數隨氣體體積分數的變化Fig.3 The Mach number variation vs.the volume fraction of air

4.2 氣液兩相混合物等熵流動的基本特性

以上得到了流動中溫度隨氣體體積分數的變化關系，有必要繼續分析流速或流動的馬赫數的變化特性，根據（66）或（70）式可以分析馬赫數與氣體體積分數變化特性，如圖3所示。從圖3中可以發現，在不同的滯止點體積分數α0下，隨著氣體體積分數α的增加或氣體的膨脹，流動的馬赫數是不斷增加的。可以發現，流動膨脹到同樣的氣體體積分數α，滯止體積分數α0越小，流動達到的馬赫數越大，也即流動越快。還可發現，當氣液混合指數ε越大，那么在同樣的滯止體積分數α0下，流動達到同樣的氣體體積分數α時，流動的馬赫數也越大；當α0越大時，氣液混合指數ε的影響就越小。結合圖2可知，氣液混合指數ε對流動的影響，是來源于不同氣液混合情形下，溫度變化的不同。α0越大時，混合物膨脹的余量將越小，因此溫度變化也會越小，流動基本是等溫狀態，因此氣液混合指數ε不同值的影響就越小。需要指出的是，當ε極其小時，等熵流動和等溫流動是基本重合的，所以ε較大時與ε較小時流動的差別，基本上反映了等熵流動與等溫流動的差別。

4.3 氣液兩相混合物等熵流動的極限流動

如果氣體以小氣泡的形式分布在液體中，并且氣泡與氣泡之間是獨立的，那么這種流動就可看做是泡狀流。在這種流動中，氣泡具有幾何極限，即保證氣泡分散時氣泡最大的半徑下的體積分數。近似計算下，該極限下的氣泡體積分數約為0.74[13]。因此當氣體膨脹到最大體積分數α為0.74時，那么根據（70）式就可得到不同滯止體積分數α0下，對應于α為0.74時的馬赫數，如圖4所示。從圖中可看到，不同的滯止體積分數α0下，當流動達到的極限體積分數α=αlim=0.74時，極限馬赫數是不同的；比如當滯止體積分數α0為0.3時，流動能達到的極限馬赫數約為2。滯止體積分數α0越小，則流動能達到的極限馬赫數也越大，也即氣體膨脹的效率越高。

圖4 對應于不同氣體極限體積分數，不同滯止條件α0下能達到的極限馬赫數Fig.4 Limited Mach number could be reached for different limited volume fraction αlim

若極限體積分數并不局限于泡狀流的0.74，而是可繼續膨脹以致流動成為霧狀流，從而氣體的極限體積分數可達到更高，那么在同樣滯止體積分數α0下，流動能夠達到的極限馬赫數更高。比如當α= αlim=0.999時，那么當滯止體積分數α0為0.9而氣液混合指數ε為0.05時，則流動能達到的極限馬赫數為3.25左右。可見在同樣的滯止點體積分數α0下，霧狀流動所能達到的極限馬赫數比泡狀流動要高。從圖4中還可以看到，氣液混合指數ε越大，則同樣的滯止點條件下，流動所能達到的極限馬赫數也越大，這說明氣體的質量流率增加的情況下，溫度對流動影響增加，極限體積分數αlim越大，ε的影響也越大。

4.4 氣液兩相混合物等熵流動的臨界流動

現在來考察，氣液兩相等熵流達到臨界時，即（70）式中

時，對應于不同的滯止體積分數α0，流動達到的臨界特性。為便于分析，引入臨界壓力特性比

其中上標“*”表示臨界流動處的物理量。由（44）式可知，（74）式成為

由此可以得到

將（75）式代入（70）式，可得臨界壓力特性之比t與滯止點體積分數α0的關系，如圖5所示。從圖5可以看到滯止點體積分數α0越高，則臨界流動處與滯止點處壓力特性之比越接近1，也就是臨界流動處的壓力和滯止點處的壓力越接近，噴管內的壓力梯度較小；相反，滯止點處體積分數α0越小，臨界流動處和滯止點處壓力特性相比就越小，噴管內的壓力梯度就越大，壓力增效就越大。因此在相關的發動機設計中，必須要求在保證氣體流率的條件下，入口處的氣體體積分數越小越好，也就是入口壓力越高越好，氣體被壓縮的程度越大越好。從圖5可以看到，氣液混合指數ε值不同時，臨界流動壓力之比的特性基本是接近的；也就是說，因為不同氣液流量之比μ而導致的不同的ε下，臨界流動處的壓力特性基本接近；即，不同氣液流量之比μ的混合物在達到臨界時，臨界流動之前的壓力增效程度是接近的。對比圖5和圖4可以看到，氣液混合指數ε對混合物的極限流動影響頗大，而對臨界流動的影響則不顯著。

圖5 臨界流動處與滯止點處壓力特性之比和滯止點體積分數的關系Fig.5 The ratio between the pressures at the critical and stagnation points vs.the volume fraction at the stagnation point

5 噴管內氣液兩相等熵模型的應用

以上基本上分析了氣液兩相混合物在噴管內的等熵流動的基本特性。現在嘗試將兩相混合物等熵流動基本關系（70）等式用于噴管設計以及噴管內相關流動的計算。

5.1 噴管線型的設計方法

由于噴管內質量守恒，根據（8）～（11）式及（46）式得到

可以立即反算出

又因為（44）式，由（70）式可以得到

由（40）、（18）式以及（71）式可知

將（78）式以及（79）式代入（77）式，就可以得到

根據（80）式可知，當給定氣液混合指數ε以及壓力特性函數Pˉ（x）的分布，就能夠根據方程的右邊算出方程的左邊，即噴管線型的無量綱分布。當給定以下的壓力分布時

可得到噴管的線型如圖6所示。從圖6可以看到，所設計噴管為收縮擴張噴管，噴管的喉部在馬赫數為1處。根據圖6可知，當氣液混合指數ε較大，或者氣液質量流率之比μ較大時，噴管的截面積也要相應地增大。根據（80）式以及（40）式，很明顯，還可以基于流速分布來進行噴管線型的設計，這里不再贅述。

圖6 基于期望的壓力特性分布P（ x）逆向設計得到的噴管線型Fig.6 The nozzle shape derived based on an expected pressure distribution P（ x）

5.2 噴管內氣液兩相混合物流動的計算

相應地，如果我們給定（80）式右邊中噴管截面積的分布，那么就可以求解方程（80）來得到不同截面處噴管內的流動特性的分布P（ x），并因而反算其它流動變量。但事實上要注意，并不是給定任何一個噴管的線型，（80）式就能解出對應的流動特性P（ x），或者說（80）式并不是對于任意給定的噴管是適定的。比如當給定入口處的壓力特性分別為2或2.5時，可以得到噴管截面積的分布如圖7所示。可發現，當給定入口及M0后，在兩相流合理的膨脹范圍內，噴管具有一個最小的收縮比。如為2.5時，那么當=1.8時，噴管最小收縮比A/A0在0.4左右，如圖7所示。因此當計算中給定一個噴管的最小收縮比A/A0小于0.4時，（80）式是無法給出該截面處的流動的。

圖7 對于不同入口條件下的噴管收縮比的取值范圍Fig.7 The convergent ratio varies in a range for different inlet conditions of the nozzle

事實上，如果一個噴管的喉部相比較于入口，非常非常之小，那么這將導致以上的氣液兩相流模型不再合適。因為考慮到質量流率守恒，即便單單考慮液相，其在喉部的流速也是相當地大，喉部的壓力將會非常之小以至于導致空化。因此對于氣液兩相流動，其它非定常流動現象，比如激波可能出現；此時基于以上的定常分析將不再適合。所以，將（80）式應用于求解一個噴管內的流動時，有必要考察（80）式對該噴管是否適定。

現在利用（80）式來求解一個給定噴管內的泡狀流動。噴管的基本參數為，入口高度4 cm，喉部高1.5 cm，出口高2 cm，收縮段長度7.3 cm，擴張段長度15.7 cm，入口到收縮段的等高度段長度為1 cm，噴管厚度為1.5 cm。噴管線型如圖8所示。

圖8 氣液兩相流動計算采用的噴管線型[18]Fig.8 The nozzle used for the mixture flow

Ishii[18]試驗條件中入口液體質量流率為2.22 kg/s和氣體質量流率為1.93×10-4kg/s，入口壓力為180 kPa，溫度300 K。可利用（1），（11），（16）～（18），（37），（44），（28），（30），（31）式得到以下噴管入口條件

在該入口條件下，利用（80）式算出等熵模型對噴管適定的最小收縮比為0.227 5，如圖9所示。

而圖8中Ishiii試驗噴管的最大收縮比為0.375，大于0.235；所以（80）式在該噴管內任何截面處都適定。將圖8中的噴管線型和（82）式的入口條件代入（80）式左右兩端，利用非線性代數方程求解方法，就可以求得噴管各個截面上流動特性，利用（37），（71）式就可以反算出實際壓力，如圖10所示。與Ishii對比表明，泡狀流等熵解析模型的求解的結果是可接受的。由于（82）式ω=8.7×10-6，根據（71）式可知，流動中溫度變化極其微小，因此根據等溫模型（66）式預測的結果也將是合理的，這里不再贅述。

圖9 入口條件為（82）式時，等熵模型適定的噴管最小收縮比Fig.9 The minimum convergent ratio for the inlet condition with applying the isoentropic flow model

圖10 噴管中泡狀流的計算結果與試驗結果[18]對比Fig.10 The comparison between the computation here and the experimental result[18]

6 結 論

本文建立了噴管中氣液兩相無滑移等熵流動的基本模型，并且得到了相關的解析關系。研究表明，滯止點處的體積分數決定了噴管內能達到的極限馬赫數的大小，也決定了臨界流動處的膨脹程度。在保持氣液質量流率之比不變時，滯止點體積分數越小或壓力越大，也就是氣體壓縮程度越大，那么流動達到極限膨脹時的馬赫數就越大，流動達到臨界時的壓力降就越大。研究表明，氣液流率之比越大，則流動中溫度的變化將越明顯。

基于馬赫數與壓力的解析關系以及質量連續方程，可以得到噴管線型與壓力分布的解析解。基于該關系，給定壓力分布時，可以逆向求得噴管線型，噴管喉部出現在流動馬赫數為1處。在該解析解適定的噴管收縮比范圍內，當給定某噴管線型時，可以相應求得該噴管內的壓力分布以及其它流動特性。本文的研究結果可用于氣液兩相流的相關分析和設計。在霧狀流動中，氣液兩相的滑移影響在一定程度上是不可避免的。因此將來的工作是需要在進一步考慮滑移的基礎上，對氣液兩相的等熵流動進行進一步的理論分析。

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Analytical investigation on the air-water isoentropic flows in nozzles

ZHENG Jun1,2,WANG Bao-shou2,CHEN Wei-qi2,Wang Jun-feng1,Li Chang-feng1
(1.Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China;2.China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

Based on the baratropic model and isoentropic condition of the homogeneous air-water mixture, the isoentropic model for the multiphase flow in the nozzle was established.By the ODEs of the model,the isothermal and isoentropic analytical relationships among pressure,volume fraction of air,Mach number and temperature of the mixture were obtained.The isoentropic relation indicates that the temperature varies significantly with respective to the mass flux ratio of the phases.The relation also reveals that the property at the critical point of the flow is determined by the volume fraction at the stagnation point.By the isoentropic relation above along with the mass conservation equation,a formula connecting the pressure and nozzle shape was derived,which could be used to design a nozzle by giving an anticipated pressure distribution or to calculate the flow characteristics by giving a specific nozzle shape.

air-water mixture;isoentropic flow;analytical model;limited flow;nozzle design

O35

：A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.10.002

1007-7294（2016）10-1219-15

2016-05-19

國家自然科學基金（11502097）；江蘇省自然科學基金（BK20130478）；江蘇大學高級人才科研啟動基金（1281130025）

鄭 俊（1983-），博士，工程師，E-mail:jszhengjun_fluid@126.com；王寶壽（1963-），男，研究員。