等差數列的前n項和

一、教材內容

本節課教學內容是《普通高中課程標準實驗教科書 數學（5）》（人教A版）中第二章的第三節“等差數列的前n項和”（第一課時）。本節課主要研究如何應用倒序相加法求等差數列的前n項和以及該求和公式的應用。等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的一類問題。同時，求數列前n項和也是數列研究的基本問題，通過對公式推導，可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法。

二、學習者特征分析

在本節課之前學生已經學習了等差數列的通項公式及基本性質，有了一定的準備知識，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學提供了基礎，但高斯的算法與一般的等差數列求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是學生學習的障礙。因此針對學生的認知規律，本節課將采取循序漸進、層層深入的教學方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的使用范圍。

三、學習目標與任務

（一）學習目標

知識與技能：掌握等差數列前n項和公式及其獲取思路；會用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題。過程與方法：通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規律，初步形成認識問題，解悶問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維性與廣闊性的訓練，發展學生的思維水平。情感態度與價值：通過公式的推導過程，展現數學中的對稱美。

四、教學重難點

1.教學目標及重點、難點

1.1教學目標：

依據教學大綱的教學要求，滲透新課標理念，并結合以上學情分析我制定了如下目標（1）掌握等差數列前n項和公式；（2）掌握等差數列前n項和公式的推導過程；（3）會簡單運用等差數列的前n項和公式。

1.2教學重點：等差數列前n項和公式的推導和應用。

1.3教學難點：等差數列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。

五、教學過程實錄

5.1復習與新知

師：已知一個等差數列的首項，公差

求：①該數列的通項公式.②前3項的和.③前5項的和.生①該數列是等差數列，故。生②該數列是等差數列，故。生③該數列是等差數列，故。預習新知得數列的前項和的定義：

一般地，稱為數列的前n項的和，用表示，即

5.2創設情景 提出問題

師：試求下列數列的前100項和.

⑴-1， 1，-1，1，…… ⑵2，2，2， 2，…… ⑶1， 2，3， 4，…… 生④該數列每兩項和為零，所以 生⑤該數列每項都為2，所以；師：第⑶小問請大家閱讀課本高斯求和；師：請問高斯采用什么方法進行求和的；生（眾）采用倒序相加。

5.3多元聯系 證明定理

探究：能否探索一個等差數列的前項和公式呢？

生（眾）：利用倒序相加求和

師：由此啟示等差數列中：

生（眾）：利用倒序相加求和引導學生推出：

；

兩式相加得：

∵

∴

得到等差數列的前n項和

師：請同學們分析公式的特征并熟練的記住公式。將公式一與公式二與梯形的面積公式建立了聯系，回顧了以往推導梯形面積公式的方法。

5.4定理應用 鞏固拓展

例題：等差數列滿足下列條件，求前n項和.（圖略）

①，，.②，，.

生⑨等差數列，，所以

生⑩等差數列，，所以

師：兩位同學公式應用很到位，根據不同條件已知用公式一，已知用公式二。

六、課堂小結 深化認識

1. 數列前項和為，則

2.等差數列的前項和公式：

七、《等差數列前n項和》教案概述

8.1教學內容的數學本質及教學目標

高一學生已學習了函數，數列等有關基礎知識，并且抽象邏輯推理能力基本形成，抽象辯證，邏輯推論能力開始產生，能在教師的引導下獨立地解決問題。

于是，結合以上的學情分析，我從 “知識技能”、“數學思考”、“解決問題”和“情感態度”設定目標。其中知識技能目標是：（1）理解等差數列前n項和的概念意義與公式意義的區別與聯系；（2）掌握等差數列的前n項和公式的推導過程；（3）會靈活運用等差數列的前n項和公式.

8.2學習基礎及作用

本節內容是現行高中教材第三章第三節的第一課時，本節對“等差數列前 項和”的推導，是在學生學習了等差數列通項公式的基礎上進一步研究等差數列，其學習平臺是學生已掌握等差數列的性質以及高斯求和法等相關知識。

8.3教學診斷分析

1、在本課的學習中，學生對公式的掌握及簡單應用并不困難，而難點在于如何在推導等差數列前n項和的過程中滲透倒序相加的思想方法，倒序相加求和法是本課設計環節中的一個重點內容。我首先讓學生回顧高斯求和法，學生容易進行類比，將首末兩項進行配對，但很快遇到問題，即奇偶項數的數列要分別進行討論，于是這里引導學生觀察腳標的特點，從而突破這一難點。

2、在對公式的認識中，學生不容易想到將兩個公式與梯形面積公式建立聯系，此時教師可給出提示，學生便能迅速找到二者的關系。

8.4教法特點及預期效果分析

根據教學內容和學生的學習狀況、認知特點，本課采用“探究——發現”教學模式。引導學生在活動中進行探究，在師生互動交流中，發現等差數列前n項和的推導方法，教師的教法突出活動的組織設計與方法的引導，學生的學法突出探究與發現，通過創設情景激發興趣，在與教師的互動交流中，獲得本節課的知識與方法。

根據學生具體情況，我力求達到：

1、形成學生主動參與，自主探究的課堂氣氛。

2、掌握求和公式的方法特點，并能從梯形面積的角度認識公式。3 、提高學生類比化歸，數形結合的能力。

九、教學反思

根據教學經歷和學生的反饋信息，我對本課有如下四點反思：

9.1在教學過程中，我重點突出了學生活動，設計了四個活動環節：（1）公式的探究活動；（2）公式的認識（3）公式的應用（4）學生課后的拓展學習。

9.2本課特別強調了幾何直觀，我不僅對求和公式給出了幾何解釋，也對部分習題給出了幾何解釋，體現了數形結合的思想方法。

9.3由于高斯求和法眾所周知，于是我補充了我國古代研究數列求和的情況，但由于時間關系不能展開講解，所以如何在課后引導學生進行了解是一個值得研究的問題。

9.4本節課充分利用了多媒體技術的強大功能，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，使學生樂意投入到現實的、探索性的教學活動中去。