淺析函數的奇偶性

對于函數的學習，在初中階段同學們具體學過正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數，這些函數的定義前都有“形如”兩個字，也就是說是從形式上，通俗的說是從樣子上來定義的，也分別研究過這幾類函數的圖像特征和性質，其中性質中的Y 隨 X 的變化情況實際上是中職階段學的單調性。對于它們的學習，我們的中職生，用他們話來說是 坐飛機，幾乎見到就頭痛，這對我們中職階段學習函數知識就是一大障礙。中職階段學習的函數，如指數函數和對數函數也是從形式上來學習定義的，與它們側重不同，中職教材中專門研究了函數的奇偶性，函數奇偶性的學習在中職數學教學中也是一大難點。就此進行簡單分析。

函數的奇偶性定義在我們所用的中職數學教材中是這樣定義的：設函數的定義域為數集 D，如果對于任意的x ∈D，都有 -x ∈D，且 f（-x）=f（x） ，那么這個函數f（x）叫偶函數。如果對任意的x ∈ D，都有-x ∈D 且 f（-x）=-f（x），那么這個函數 f（x）叫奇函數。如果一個函數既不是奇函數也不是偶函數，那么稱它為非奇非偶函數。定義中第一個條件：如果對任意的 x ∈ D，都有-x∈D，實際上是說明函數的定義域對應的區間是關于原點對稱的，如果一個函數的定義域與對應的區間關于原點不對稱，這就失去了函數是奇函數或是偶函數的必要條件，函數也就無奇偶性可言了。定義中第二個條件f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x） 用來區分第一個條件滿足的情況下，這個函數是奇函數還是偶函數，也就是說判斷奇偶性這兩個條件缺一不可。總之，如果第一個條件不滿足的話，立即可以確定這個函數為非奇非偶函數，第一個條件滿足了，再判斷 f（-x） 與 f（x） 是相等還是互為相反數，還是既不相等也不互為相反數，從而確定函數的奇偶性。實際上這個定義完全可以用對稱來解釋。教學中可以這樣講，定義中的兩個條件可以結合圖形進行說明。任意畫一個關于 y軸對稱的圖形（如拋物線 y=x2+1），對于它上面任意一對對稱點而言，它們的橫坐標都互為相反數（這就相當于函數奇偶性中的第一個條件：對任意的 x ∈D 都有-x ∈ D）。而它們的縱坐標的值都相等（這就相當于偶函數定義中的第二個條件f（-x）=f（x）），說明這任意一對對稱點是關于y軸對稱的。因而從圖形上可說明圖像關于y軸對稱的函數為偶函數。對于奇函數也是通過結合圖形從關于原點對稱的點的坐標特征進行說明。因此，教給學生的兩種判斷函數的奇偶性的方法為：能畫草圖的情況下通過圖像來直觀的判斷，如果圖像較難，沒有學過，不會畫的話，再通過定義來判斷。

有兩類函數可從圖像直接下結論：

1.正比例 y=kx（k 不為0 ），它永遠都是經過原點的直線（要么經過一、三象限，要么經過二、四象限），因此它一定關于原點對稱，從而它一定是奇函數，告訴學生凡是正比例函數一定是奇函數，底子薄的學生告訴他們看到形如y=kx的函數即可放心的判斷為奇函數。

2.一次函數形如 y=kx+b（k不為0，b不為0 ） 的函數，由于相當于把y=kx 的圖像向上或向下平移 | b |個單位長度，因此它的圖像不關于原點對稱，當然也不關于y軸對稱，所以一次函數一定是非奇非偶函數，教學生看到這兩類解析式就可下結論判斷。

中職課本上判斷函數奇偶性的例題是四個典型的例子，1，f（x）=x3， 2，f（x）=2x2+1， 3.f（x）= 4.f（x） =x-1 ，側重用定義來判斷。1題，同學們沒有學過其圖像，因此從定義來判斷，由于定義域為R，第一個條件肯定滿足，計算f（-x）=（-x）3= -x3與f（x）互為相反數，可確定為奇函數。2題可用1題的方法，但熟悉二次函數圖像的同學也可以從圖像來判斷。3題的定義域為[0，+ ∞），顯然不是關于原點對稱的區間，不須檢查第二個條件，直接判斷為非奇非偶函數。4題則是定義域為R，滿足第一個條件，必須檢查第二個條件才能判斷，而第二個條件f（-x）與f（x）既不相等也不互為相反數，這時才可確定為非奇非偶函數。通過這個例子加強了同學們對函數奇偶性的理解。

在實際解題過程中同學們如果清楚了思路也會出現無法下筆的情況，因此，教學中除了放慢講解速度外，還應給同學們留有多余的訓練時間，多分析多糾錯，同學們會進步很大。