基于創新思維培養的數學教學設計

在上完“勾股定理”第二節課時，我班一位愛提問題的學生小徐向我提出了這么一個問題：“在平面內，直角三角形的三邊滿足勾股定理，那么在空間里，有沒有類似的結論呢？”在感慨與欣喜之后，針對這個問題，我進行了思考，并決定改變原來的教學計劃，補充了本節內容，與學生繼續探討空間里的“勾股定理”。

教學過程

如圖1，已知四邊形ABCD是長方形，AC為對角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC滿足勾股定理。

圖1 圖2

如圖2，ABCD-A1B1C1D1是長方體，圖1中的線段AB、BC、AC分別對應圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面積分別用α、β、γ表示，則是否有α2+β2=γ2仍然成立？請說明理由。

讓學生就上述設問獨立思考或展開討論，筆者通過巡視，了解學生的思考狀況和初步結論，發現少部分學生完成解答，筆者選擇了其中一位學生談談他的想法。

生1：將長方體的長、寬、高分別設為a，b，c，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再把三個面的面積用字母表示出來，就可證明結論。

思路打開，很多同學都興奮起來，紛紛在自己的練習本上嘗試。

（片刻之后，投影一個學生的解題過程）

課堂觀察：通過巧設字母，用字母表示未知量，再計算得出等量關系，這是數學上常用的一種方法，通過對問題的思考、探索和論證，學生獲得了空間“勾股定理”的知識，并練熟常用的數學解題方法。

在上述過程中筆者發現生2始終沒有發言，平時他可是積極發言的，他還不時地在紙上畫些什么。于是，筆者問生2有什么想法？他說：“我發現假如AC不是對角線，過點C任作一條直線交AB于點E，剛才的結論仍成立?！彪m然生2說得不是很完整，但筆者還是對他表示了贊許。其他同學似乎聽懂了他的意思，紛紛拿出尺和筆在紙上不停地畫起來，同小組學生展開了激烈的討論。五分鐘后，同學們都興奮地叫起來“可以的”“證明方法與剛才是一樣的”……

圖3（1） 圖3（2）

如圖3（1），若面EBB1E1、面BCC1B1、面ECC1E1的面積分別用α、β、γ表示，則有α2+β2=γ2仍然成立，證明方法與上面類似。

趁此時機，筆者表揚了生2，同時鼓勵其他同學進一步展開思考。片刻后，成績平平、有些膽怯的生3小聲地說了一句，筆者趕緊抓住機會鼓勵他發言，他輕聲地說：“點C要是不在頂點上，行不行？” （如圖4）

圖4（1） 圖4（2）

筆者不失時機地表揚生3，其他同學則不約而同地表示贊同生3的觀點。

如圖4（1），若面EBB1E1、面BFF1B1、面EFF1E1的面積分別用α+β=γ表示，則有α2+β2=γ2仍然成立，證明方法與上面類似。

課堂觀察：由圖2變式到圖3（1）、圖4（1），即將線段由特殊位置向一般位置轉化，這是數學中常用的變式技巧，在圖3（1）、圖4（1）中存在圖2的模型，如圖3（2）、圖4（2），這是數學模型的一個應用，學生因此對新知識的認識有了新的發展。有時學生的直覺中隱藏著豐富的創造性“火花”，在課堂教學中我們要及時捕捉學生的直覺靈感，并給以適度的肯定與表揚。

接下來的幾分鐘，學生顯得很沉默，感覺無法再聯想下去，此時筆者再次出示問題：

如圖5，四邊形ABCD為長方形，直線l分別截AB、CB于點E、F，則有BE2+BF2=EF2。

如圖6，ABCD-A1B1C1D1為長方體，一個平面分別截長方體的棱AB、BC、BB1于點M、N、G。

圖5中的直線對應圖6的平面MNG，圖5中直線截長方形的兩邊所得的線段對應圖6中平面MNG截長方形所得三個面BMN、面BMG、面BNG。若面MNG、面BMN、面BMG、面BNG的面積分別用δ，α，β，γ表示，請猜一猜α2+β2+γ2=δ2 是否成立？（不需要說明理由）

圖5 圖6

有的學生顯得茫然，不知所措，有的學生與組內學生展開討論，只有個別學生在動筆計算。

類比上述證明過程，可設MB=a，BG=b，BN=c，則α=[12]ac，β=[12]ab，γ=[12]bc，但δ卻很難表示出來。此時，筆者建議每組同學用特殊數據代替字母進行計算驗證。

為了檢驗學生的成果，筆者分別讓兩個小組代表說一說他們的結論.

生4：如圖7，設a=3，b=4，c=2，

計算得出MN=[13]，NG=2[5]，MG=5，

圖7

α=3，β=6，γ=4，

∴α2+β2+γ2=61。

求δ時設NH=x，則GH=2[5]-x，利用勾股定理列出方程：

（[13]）2-x2=52-（2[5]-x）2，得出x=[25][5]。

在Rt△MNH中，MN=[615]×[12]=[615]，

∴α2+β2+γ2=δ2 成立。

生5：設了a=1，b=2，c=3，同樣方法驗證了結論成立。

討論結束，同學們似乎還意猶未盡。

課堂觀察：此類變式難度大，對學生的要求高，由特殊猜想一般結論，一般結論的證明有待學生課后探究，此過程讓學生體會到發現新結論的樂趣，難度越大挑戰越大，學生學習數學、應用數學的熱情立即被點燃。

課后反思

1.將課外知識帶進課堂，尊重個性需求。

所謂數學課外知識是以課程標準和課本為基礎，為了尊重、滿足學生個性化的需求而設置的數學知識。在教學過程中，我們不應該受到課程標準和課本過多的束縛，上例中空間中的勾股定理雖然不在初中課本要求研究的范圍內，但卻把它帶進了初中的數學課堂，目的是讓學生學“有用”的數學，學“必需”的數學，學“不同”的數學，從而提高學生學習數學的興趣、挖掘學生的數學發展潛能、促進學生良好的個性發展，使學生能用數學的眼睛來觀察世界，用數學的頭腦來思考生活問題，我覺得這是非常值得的。

2.適時引導學生提問， 激發創造性思維。

課本是數學課堂教學最重要的資源，同時也是許多問題的藏身之處。在教學過程中結合已學過的課內知識適時讓學生嘗試去“設計問題”，鼓勵有疑問的學生提出問題，一方面有利于充分發揮學生的主體作用，提高學生聽課的專注度；另一方面能促進學生養成愛提問的好習慣，激發學生學習的熱情。在上面的課堂中，觀察每個學生的學習狀態，了解哪些學生有話可講，及時表揚提問的學生。若能持之以恒，學生對書本知識能有更深刻的理解，學生提出問題的能力以及思維深度都能相應提高。特別是數學概念的形成過程，給學生一個想象的空間，讓學生通過獨立思考，親歷發現問題和解決問題的過程，學生的創造性能力就會逐步提升。

3.將課本知識推廣引申，培養創新能力。

推廣引申能夠讓學生體驗數學創新的全過程。在教學中可以經常這樣問學生：本題有沒有多種解法？有沒有變式？能否一般化？由此你還聯想到什么？等等，使學生形成一般化意識和類比意識，隨時隨地萌發推廣引申的想法。在平時的教學中應有意識地多留一些容易延伸的命題鏈、方法或知識點，稍加指點，留給學生創新的機會。上例中學生從平面內的勾股定理引申到空間，把線段過正方體的兩個頂點引申到過一個頂點、不過頂點，從三棱柱的三個側面的關系引申到三棱錐四個面之間的關系。經常從推廣引申的視角來提出問題，生長知識，不僅可以使學生形成知識的網絡結構，還能提高學生的創新能力，帶給學生學習的自信心和熱情，這是很有價值的一件事！

（作者為江蘇省太倉市實驗中學教師）