還原課堂本真 追求實效高能

一、頭腦風暴——百花齊放才是春

背景：本題是某區數學期中試卷上第28題，其第二問的難度不大，但是計算量較大，使得很多學生望題生畏，不敢嘗試。

案例1 原題呈現：在平行四邊形ABOC中，AO⊥BO，且AO=BO。以AO、BO所在直線為坐標軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，已知B（-6，0），直線y=3x+b過點C且與x軸交于點D。

（1）求點D的坐標；

（2）點E為y軸正半軸上一點，當∠BED=45°時，求直線EC的解析式。

圖1

說明：對于第一小題，大部分學生能自己解決，但是在做第二小題時，學生對于條件“∠BED=45°”不知如何下手，只是知道這個45°肯定要起到意想不到的作用，可是45°有何用，讓學生進入了思考。

生1：這個45°不能破壞，最好能放在直角三角形中，故過點D向BE作高，構造直角三角形。如圖2過D作DH⊥BE，設E點坐標為（0，t），則BE=[36+t2]，BD=10，ED=[16+t2]，由面積法可得：[12]DH·BE=[12]BD·OE，則DH=[10t36+t2]，當∠BED=45°時，[2]DH=ED，[2]·[10t36+t2]=[16+t2]，[100t236+t2]=[16+t22]，[t2]=144或4，則t=±12或±2，則t=12，即E點坐標為（0，12）。

圖2

師：剛才這位同學用三角形的面積法求出了DH，進而利用∠BED=45°，發現△EHD為等腰直角三角形，DH∶ED=1∶[2]，找到等量關系。

圖3

生2：我也是將45°放在直角三角形中，我是過點B作BK⊥DE，交AO于點G，如圖3，易得△EBK是等腰直角三角形，EK=BK，且易得∠BEO=∠OED=∠KBD，進而得到△EGK≌△BDK，EG=BD=10，再由tan∠KBD = tan∠OED得

[GOBO]=[ODEO]，[GO6]=[410+GO]，

GO=2或-12，OE=12。

師：同樣是將45°角放入直角三角形中，同樣也是作高，但這位同學得到等腰直角三角形后，想到相等的邊，進而想到了三角形全等，再用反A型相似，得到了GO，將EO的長度轉化成了EG與GO兩段，分別進行求解，其計算量降低了不少，是個非常不錯的解題思路。

生3：我發現題中∠ABO=∠BED=45°，則∠BEO=∠OED，我就想試著用相似來解決。

圖4

如圖4，延長BA，過E作EF⊥BA，設AE=a，由∠BED=45°=∠ABD，則∠BEO=∠OED，∠BFE=∠EOD=90°，則△EBF ∽△DEO，[EFOD]=[BFEO]（或tan∠FBE= tan∠OED），由題意，EF=[22]a，FB=[22]a+6[2]，則[46+a]=[22a22a+62]，則a=-8或6，則E點坐標為（0，12）。

師：這種做法，利用了角度之間的轉化，得到角相等，利用相似三角形（相等角的三角函數值相等）找到等量關系。相對而言，這個方程大家是會解的，只是面對這樣的方程，等式的右邊，分子分母上都是分數，計算很不方便，怎么辦呢？

生齊：將等式右邊的分子分母同時乘[2]這樣計算就方便多了。

生4：老師說過，當代數的方法解決一個問題較復雜的時候，我們可以引進圓來試試，若這個45°當成圓的一個圓心角，則這個以45°為圓心角的等腰三角形底角為67.5°，且其同弧所對的圓周角為22.5°，這兩個角不具有特殊性。故這種想法不合適。

若將45°構成一個圓的圓周角，則同弧所對的圓心角為90度。這個角度較特殊，可以嘗試一下。

圖5

如圖5，∠BED=45°，若將∠BED當作一個圓周角，那么該圓的圓心角為90°。

則易得圓心為BD中垂線與BA的交點N，半徑為5[2]，則易得Rt△EMN中，EN=5[2]，MN=1，則EM=7，即EA=6，OE=12，從而得E（0，12）

師：此法是借助△EBD的外接圓來進行解答，其方法相對來說最簡單，但難點在于此圓的構造，不是一般同學能想到的，正如這位同學所說，當感覺面對45°這種特殊角，想用卻用不起來時，不妨構造外接圓，嘗試一下，可能會有意想不到的收獲。

二、抓本質——撥開云霧見青天

背景：《一元二次方程》配方法第2課時，二次項系數不為1的一元二次方程如何求解。

案例2 教師在帶領學生回顧完隔天所學的二次項系數為1的一元二次方程的解答步驟后，又練習了3個方程。x2-4x-3=0，x2-[83]x=1，x2-99=2x（這三個方程，類型包含帶分數的，還有方程要先整理后再求解的）。學生求解，個別學生板演，教師批閱點撥后。教師順勢拋出了方程3x2-6x-1=0。

師：這個方程，同學們會解嗎？

生齊：不會。

師：這方程與昨天的方程有何區別？

生齊：這方程二次項系數不是1。

師：怎么把二次項系數化為1呢？

生：兩邊同時除以3。

師：兩邊同時除以3后，新的方程是怎么樣的？

生：x2-2x-[13]=0。

師：在除的過程中要注意什么？

生：每一項都要除以3。

師：這個方程你會解了嗎？

……

大部分學生開始用隔天所學的方法開始解題……

突然有一個學生偷偷地，輕聲地問他的同桌，為什么要除以3？

分析：這是一個真實的課堂情境，提這個問題的孩子數學基礎不是很好，他問這個問題時，上課教師并沒有發現，而筆者聽課時正好坐在他的右邊，故聽到了這個不同的聲音。面對這個孩子的提問，大部分教師會覺得很驚訝，理所當然地認為，其目的就是為了把二次項系數化為1呀？但是為什么要把系數化為1，老師沒有將原因很好地告訴學生。其實，其真正原因是：學生隔天學會了二次項系數為1的方程用配方法來求解，當二次項系數不為1時，要想辦法把不會解的方程化為會解的方程類型，即把未知轉化為已知，所以要把二次項系數化為1……

我們的數學課堂，不僅要讓學生知其然，更要讓學生知其所以然，故在新授課時，不光要講解方法，更應該跟學生講清數學思想，從而讓學生更好地理解數學，學好數學。

三、思辨——此時無聲勝有聲

背景：通過對前面知識的學習，學生已掌握了全等三角形定義及性質，對將要學習的三角形全等判定——“邊角邊”（SAS）有了一定的認識，現需探究“兩條邊相等，一對角相等的兩個三角形全等”。

案例3 教師在回顧了全等三角形的定義及判定1后，問：兩條邊相等，一對角相等的兩個三角形全等嗎？

學生有的認為這兩個三角形全等，有的認為這兩個三角形不全等，但又不知如何舉出反例。

只見教師拿出兩張完全重合的三角形紙片，如圖6，△ABC與△DEF，顯然△ABC≌△DEF。

教師拿起△ABC紙片，將△ABC折疊，使得點C落在BC邊上，記為點C'，如圖7，然后讓學生觀察：△ABC'與△DEF中，ED=AB，DF=AC'，∠B=∠E，但△ABC'與△DEF全等嗎？

分析：本節課主要采用引探式教學方法，在活動中教師著眼于“引”，盡力激發學生求知的欲望，學生著眼于“探”，通過觀察與思考，感悟兩邊及一角相等，但是這兩個圖形不全等，進而挖掘出其全等的本質，兩邊及夾角分別對應相等，讓學生更加深刻地理解夾角相等的重要性。這樣的設計過程中，教師的話語不多，卻勝在無聲勝有聲，潤生細無聲。

有效的數學課堂，定是能讓學生“問得出問題”“說得出理由”“經得起實踐”的課堂。只有還原本真課堂，抓住學生思維的火花，讓星星之火燎原，向著課堂的深處，廣處發展；我們更要抓住知識點的本質，讓學生知道知識的“來龍去脈”，進而更好地建構知識框架；我們還要讓學生學會“思辨”，學會用一分為二的眼光來觀察數學，分析數學，進而更好地發現數學之美，數學之真諦！

（作者為江蘇省無錫市旺莊中學教師）