構造解析幾何法求函數的最值

楊彩蘋

【摘要】求函數的最大值與最小值方法靈活多樣，有配方法、換元法、方程法，還可以利用函數的單調性等。不僅如此，還可以換個角度，從數學知識間相互聯系出發，談如何運用解析幾何的知識與方法，來進行數與形的轉換，正所謂的代數思想幾何化，供助于圖形的直觀來探求函數的最值。

【關鍵詞】解析幾何 函數 最值

【中圖分類號】0182 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0163-02

一、利用斜率公式求函數的最值

例1：若x∈- ，0 0， 求函數f（x）= 的最大值

分析：此題常利用三角換元求解。然而仔細觀察表達式的結構特征，也可以考慮把它與斜率公式聯系起來，根據斜率的變化范圍直觀地確定函數的最值

解：令2y= 則x +y = （y≥0）

（如圖所示），而 =

其中， 表示坐標平面上點P（x，y）與點c0， 連線的斜率，由于點P（x，y）在半圓上，由圖分析可知kPC≥kBC≥-1，即kPC的最小值為-1.

∴函數f（x）max=2

例2：求函數y= 的最值

分析：由y= = 知y=kPA，

其中A（-1，0），px，

且點P在半圓y= （0≤x≤2）上，

由圖可知：ymin=0，ymax=

小結：一般地，若函數可化為y= 或y= 等形式，且x= y= ？圯f（x，y）=0或x= y=g（x）？圯f（x，y）=0它們在坐標平面內表示圖形均是我們所熟悉的簡單曲線，此時可心考慮利用直線的斜率公式幾何意義來求最值。

二、利用兩點間距離公式求函數的最值

例3.求函數y= + 的最小值

分析：此函數表達式的結構較為復雜，且化簡十分困難，又其單調區間和單調性不甚明確，求解最值有些困難，然而，仔細觀察表達式的結構，可以發現兩個根式內均可以配成完全平方式的形式。由此聯想解析幾何中的兩點間距離公式：

幾何意義是點P（x，0）分別到A（2，3）與B（5，1）的距離之和。（如圖所示）

解：根據分析，找到B關于x軸的對稱點B'（5，1）連AB'則ymin=AB'= =5

例4.求函數y= - 的最大值

分析：此例與上例形式相似，但有差異。它們的共同點是根式內均可以化成完全平方之和的形式。所不同的是上例求兩距離之和的最小值，本例是求兩距離之和的最大值。同樣是利用兩點間距離公式求解，但并不需要找對稱點。

表示點P（x，0）到點A（1，6）和B（-1，2）點的距離之差的最大值。

顯然P A-P B≤AB= =2

∴函數f（x）= - 的最大值為2

小結：一般地若函數y= ± 的形式，且x=g（x）y=h（x）？圯f（x，y）=0在坐標平面上的圖像是直線或符合一定條件的簡單曲線（曲線與A（a，b）B（c，d）連線的延長線相交）此時可考慮利用兩點間距離差或和的幾何意義來求值。

三、利用直線的截距式求函數的最值

例5.求函數y= + 的最大值和最小值

解：令x= y= ？圯x2=1-xy2=x+3這里（x≥0，y≥0）消去x得：x2+y2=4（x≥0，y≥0）它在坐標平面上的圖形是圓的第一部分。如圖所示，圖像與X軸的交點為（2，0）與Y軸的交點為（0，2）記t= + =x+y

∴y=-x+t它在坐標平面上的圖形是表示斜率為-1的直線系，t表示直線在Y軸上的截距。由于（x，y）在第一象限的圓上

小結：若函數y=ag（x）+b +c或y=a +b +c等形式，

且x=g（x）y= ？圯f（x，y）=0或x= y= ？圯f（x，y）=0在坐標平面內均表示我們所熟悉的簡單曲線，由此考慮把問題轉化為二維線性目標函數，利用直線方程的截距的幾何意義來求解。

四、利用點到直線的距離公式來求函數的最值

例6.求函數y= 2-x- 的最大值

故y= 表示半圓U2+V2=2上的點到直線 U+V=2的距離

∴點A到直線U+V=2的距離最大 dmax=

例7.求函數f（x）=x+ +5的最大值

解：令2y= 則x2+y2= （y≥0）

它表示以原點為圓心，半徑為 的x軸上方的半個圓，原函數的表達式可化為f（x）=x+2y+5= × 其中： 的幾何意義表示半圓上的點P（x，y）到直線x+2y+5=0的距離，設此距離為d，又設原點到直線l的距離為m。

且x=g（x）y= ？圯f（x，y）=0或x= y= ？圯f（x，y）=0在坐標平面上均表示我們所熟悉的簡單曲線，此時，可考慮利用點到直線的距離公式的幾何意義來求最值。

這樣又使一道有一定難度的題成為思有路，解應手的容易題。利用解析幾何法求最值，大大的降低了求最值的難度，使學生的思維得到了很好的強化，提高了能力，激發了學生的求知欲。