探討求函數極限的常用方法

【摘要】函數極限是高等數學的基本內容之一，也是解決其他問題的基礎。結合教學實踐，文章討論了求函數極限的四種常見方法。

【關鍵詞】函數極限 計算

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0162-01

函數的極限是高等數學的重要組成部分，而這部分內容的掌握直接影響到導數和積分的學習，現對求函數極限的四種常用方法進行總結，談談其理解的側重點，使能夠更靈活的運用這些方法求極限。

一、基本方法：四則運算法求極限

利用函數的四則運算法對有理函數及有理分式函數求極限。對于有理整函數而言，其求極限方法相對簡單，函數的極限就是把自變量的極限值代入函數的結果。對于有理分式函數求極限的方法有幾種，求極限之前，對有理分式函數有時需要化簡或變形，常用方法有：約分、通分、因式分解、分子或分母的有理化，三角函數恒等變形等等，化簡或變形后，根據實際情況，選擇如下方法：

（1）當g（x0）≠0，f（x0）≠0時，利用商的法則求極限；

（2）當g（x0）=0，f（x0）≠0時，利用無窮大量與無窮小量關系，則 =∞

（3）當g（x0）=0，f（x0）≠0時，適合的 未定式，利用洛必達法則

需要特別強調的是：四則運算中，和與積的運算法則只可推廣到有限項。

二、利用兩個重要極限求函數極限

在求函數極限的過程中，若能利用這兩個極限進行替換，則整個過程將相對簡單很多，但是在運用過程中，對學生而言，特別要強調的是：兩個重要極限自變量的變化趨勢，第一個重要極限中自變量是趨于零的；第二個是趨于無窮大的。在教學過程當中，學生很多的時候只是觀察到求極限的函數，而沒有觀察自變量的變化趨勢，很容易發生錯誤。

例如 則不能利用第一個重要極限計算，而要利用有界函數與無窮小的積仍是無窮小來計算。

三、無窮小量等價替換求函數極限

求極限過程中無窮小量等價替換為：當x→0時，x～sin x，x～tan x

ln（1+x）～x，ex-1～x，arcsinx～x，arctanx～x等等。

要能夠靈活應用無窮小量等價替換求函數極限，需要特別強調兩個問題：

（1）在自變量的變化趨勢中，需要替換的兩個變量必須為無窮小量，若不是則不能進行無窮小量等價替換，例：當x→∞時，sina x 不能等價替換x.

（2）若能用無窮小量的等價替換，則要強調：在求極限過程中，等價替換只替換乘除，不替換加減。

例：求

解：若用等價無窮小量的替換

這是錯誤的，正確的做法是：

四、利用洛必達法則求函數極限

對于 或 型未定式，可以利用洛必達法則求極限，且在滿足洛必達法則的條件下，可以多次使用，對于其他形式0·∞，00，∞0，1∞，∞-∞的未定式，利用取倒數，通分或取對數的方法轉化為 或 型未定式，利用洛必達法則求極限。

例：

解：這是一個 型的未定式，利用洛必達法則求極限，當x→0，x～sin x

該題就結合了積分和導數相關知識，利用無窮小量的等價替換和洛必達法則求極限，這些知識如果利用得好，就能很快求出極限，而且計算量也不大。

需要特別強調的是并不是所有的 或 型未定式都能利用洛必達法則求極限，若無法斷定 的極限狀態或能斷定它振蕩而無極限，則洛必達法則失效。

例：

解：這是一個 型的未定式，但利用洛必達法則后，

原式= = cos ，此式振蕩無極限，故洛必達法則失效。

正確解法：

盡管求極限的方法遠遠不止以上四種，但是我個人覺得以上四種方法是比較常用的，要能夠靈活的加以運用，必須對其基本的知識點理解透徹，而且老師在教授的過程中，也要對其側重點進行著重講解。

參考文獻：

[1]劉金舜、羿旭明編著.高等數學教程[M].科學出版社，2013

[2]張早娥.試談求函數極限方法科技創業家[J].2013，（04下），184

作者簡介：

俞霜（1980.10-），女，漢族，湖北黃岡人，講師，碩士，研究方向：概率與數理統計。