淺談微積分中的研究性教學(xué)

游淑軍

【摘要】研究了數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)等課程中的研究性教學(xué)。分析了實(shí)施研究性教學(xué)的必要。以函數(shù)的凸性為例，介紹了如何引入、組織研究性教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析 高等數(shù)學(xué) 研究性教學(xué) 凸函數(shù)

【基金項(xiàng)目】懷化學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：201123）。

【中圖分類號】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0161-01

研究性教學(xué)是以“問題”為中心，以培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”為根本目標(biāo)的教學(xué)，意在讓每個(gè)學(xué)生都能自我“想問題”，能獨(dú)立思考、判斷、評價(jià)、選擇、創(chuàng)造，視野開闊，最終落實(shí)到對社會、自然世界以及自我人生的價(jià)值與意義的關(guān)注之中。

通過對數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)等課程實(shí)施研究性教學(xué)能夠達(dá)到以下目的[1]。第一，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓他們養(yǎng)成動腦思考、動手練習(xí)的習(xí)慣；第二，帶著研究課題的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生有目的的學(xué)習(xí)，以致課程的成績有所提高；第三，學(xué)生獲得了扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之后，有利于后繼相關(guān)專業(yè)課程的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。第四，對于考研中數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)的成績有直接的推動作用。

具體如何實(shí)施研究性教學(xué)呢？以函數(shù)的凸性這節(jié)課的講授為例，從研究性教學(xué)的角度來組織實(shí)施這堂課。

首先提問：作函數(shù)的圖形時(shí)，僅知道函數(shù)的單調(diào)性就夠了嗎？顯然不夠，如圖1所示，雖然L1，L2，L3，都是從A點(diǎn)單調(diào)上升到B點(diǎn)的曲線，但它們的彎曲方向卻不一樣。所以想要比較全面地反映出曲線的性狀，還需要考慮曲線的彎曲方向。

請同學(xué)們思考平面曲線的最基本的彎曲方向是什么？最基本的彎曲方向是圖2、圖3這兩種情況。我們把具有圖2特性的曲線稱為下凸的，相應(yīng)的函數(shù)稱為下凸函數(shù)；把具有圖3特性的曲線稱為上凸的，相應(yīng)的函數(shù)稱為上凸函數(shù)。

如何把圖形的這種幾何直觀用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來呢？在曲線上任取兩點(diǎn)A和B，設(shè)其坐標(biāo)分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2））如圖4、圖5所示，請同學(xué)們觀察曲線f（x）和割線AB在任意x∈[x1，x2]處函數(shù)值的大小關(guān)系。

可以發(fā)現(xiàn)若曲線f（x）為下凸函數(shù)，則曲線f（x）在x處的函數(shù)值小于割線AB在x處的函數(shù)值；若曲線f（x）為上凸函數(shù)，則曲線f（x）在x處的函數(shù)值大于割線AB在x處的函數(shù)值。將這句話用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出來就是，設(shè)x=λx1+（1-λ）x2，λ∈（0，1），則下凸函數(shù)和上凸函數(shù)分別滿足關(guān)系式

這時(shí)給出凸函數(shù)的定義，同學(xué)們就很容易理解了。如果將（1），（2）式中的不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格下凸函數(shù)和嚴(yán)格上凸函數(shù)。

容易證明：若-f為區(qū)間I上的下凸函數(shù)，則f為區(qū)間I上的上凸函數(shù)，因此只要知道了下凸函數(shù)的性質(zhì)，就會知道上凸函數(shù)的性質(zhì)。接下來討論下凸函數(shù)的性質(zhì)。

對于I上的任意三點(diǎn)x1

這時(shí)給出函數(shù)f為I上的凸函數(shù)的充要條件定理，那定理的幾何意義就不言自明了。

進(jìn)一步考慮割線PQ，割線PR和割線QR的斜率的大小關(guān)系，如圖6。可以發(fā)現(xiàn)割線PQ的斜率小于割線PR的斜率，割線PR的斜率小于割線QR的斜率，用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出來就是

這時(shí)給出函數(shù)f為I上的凸函數(shù)的另一個(gè)充要條件定理，也是非常自然的。

接下來考慮可導(dǎo)函數(shù)的凸性。設(shè)f為I上的下凸函數(shù)，且f在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f為I上的每一點(diǎn)處都有切線。思考切線與曲線f（x）的位置關(guān)系，見圖7。發(fā)現(xiàn)曲線f（x）總是在它的任一切線的上方，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來就是，對I上的任意兩點(diǎn)x，x0，有

這時(shí)給出可導(dǎo)函數(shù)f為I上的凸函數(shù)的充要條件，同學(xué)們理解起來就沒有問題了。

進(jìn)一步思考曲線f（x）在不同點(diǎn)處切線斜率的變化規(guī)律，如圖8所示。可以發(fā)現(xiàn)曲線f（x）的切線斜率由左至右是逐漸增大的，即f'為I上的增函數(shù)。這時(shí)給出可導(dǎo)函數(shù)f為I上的凸函數(shù)的另一個(gè)充要條件，就顯得非常簡單了。

這樣一來，無論是定義還是充要條件，同學(xué)們學(xué)起來，理解起來都顯得非常的自然，從而更有利于知識的掌握。既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又能提升學(xué)生分析、解決問題的能力，達(dá)到很好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2007.