“確定起跑線”教學研究報告

漣源市教育學會小學數學研究會　瀟湘數學教育工作室

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“確定起跑線”教學研究報告

漣源市教育學會小學數學研究會瀟湘數學教育工作室

一、問題

“確定起跑線”是人教版課標教材六年級上冊的內容。這是一節綜合實踐課，是建立在學生已經掌握了圓的概念和周長等知識的基礎上的課程。旨在讓學生綜合運用空間與圖形、數與代數的知識，了解田徑場跑道的結構，學會確定起跑線的方法，并體驗用所學知識解決實際問題的快樂，體會數學的應用價值，提高解決實際問題的能力，增強策略應用意識。

“確定起跑線”是一個綜合性、抽象性很強的問題。如何讓學生經歷從具體到抽象、化繁為簡的過程，得出結論并解決問題，在此過程中體會數形結合、化歸、模型應用等重要數學思想，這是值得好好研究的。

在實際教學中，由于這個內容屬于“綜合與實踐”版塊，很多老師常常不重視，甚至有老師認為這個內容不是考點知識，放棄了這個內容的教學。當然，也有老師愿意好好設計這節課，但對“教什么”與“怎么教”缺少可供參考的資料，感覺難以把握。針對這些問題，我們將從教與學兩個維度加以分析，以期通過對這些問題的研究，解決教學中存在的問題，提高教學效率。

1.教之困

（1）如何確定這個內容的重點和難點，如何抓住重點，突破難點？

（2）如何讓學生在掌握基礎知識與基本技能的同時，收獲基本的數學思想與方法，積累基本活動經驗？這個內容能讓學生收獲哪些數學思想與方法，積累哪些基本活動經驗呢？

（3）如何引發學生進行合情推理，在算法多樣化的基礎上優化算法，增強策略應用意識？

（4）如何提高學生學習綜合實踐課程的興趣，拓寬研究數學的思路？

2.學之難

（1）如何厘清具體的生活場景中蘊含的數學問題，并把它轉化為數學模型？

（2）如何在交流討論中逐步優化算法，尋找解決問題的最佳策略？

（3）如何真正實現舉一反三，把400米標準跑道上進行400米比賽時確定起跑線的方法拓展到200米比賽確定起跑線的問題上去？

數學綜合實踐課是一種以問題為載體，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析問題和解決問題的能力，以及交流和合作的能力的課程。因此，要把綜合實踐課上好，教師要能設計好問題，引領學生圍繞問題進行觀察、比較、分析、歸納，主動探索解決問題的策略。那么，對于確定起跑線這個問題，絕大多數學生缺乏生活經驗。教師首先就要思考如何把這個生活中的實際問題轉化為數學模型；其次，要讓學生主動利用已有的知識經驗解決新問題，并在交流討論的過程中實現方法的優化。當然，因為這個問題的抽象性與綜合性很強，借助信息技術降低學生的認知難度、增加直觀性也是必需的。

二、實踐

由于這是綜合實踐課，課時內容多，我們安排了兩個課時進行實踐。

第一課時教學目標：創設問題情境，讓學生自己提出問題、分析問題并嘗試解決問題。

課堂實錄：

師：同學們，聽說過田徑運動會嗎？讓我們一起走進2015年漣源市中小學生田徑運動會的現場，用數學的眼光觀看這次比賽中的男子100米和男子400米的決賽實況，請大家特別關注運動員的起跑位置（課件播放比賽現場）?？戳艘曨l后，你有什么疑問嗎？

生1：為什么100米比賽時，運動員在同一起跑線上，而400米比賽時運動員的起跑線會各不相同啊？

生2：這樣比賽公平嗎？

生3：400米比賽時運動員與運動員之間的距離有規定嗎？

師：大家提出了很有價值的數學問題，今天這節課我們就圍繞這幾個問題展開研究。

板書：

問題1：400米比賽時運動員為什么不在同一起跑線上？這樣比賽公平嗎？

問題2：400米比賽時前后兩個運動員之間的距離是多少？

師：要弄清楚這些問題，從哪里開始研究呢？

生4：先把運動員撤走，讓我們看看跑道吧。

師：有思想的孩子！老師聽你們的，跑道閃亮登場！（課件展示400米跑道模型，如圖所示）從跑道模型里你又能發現哪些數學信息呢？

生5：這個跑道好像是橢圓形的。

生6：這個跑道有的地方是直的，有的地方是彎的。

師：我們通常把直的地方叫直道，彎的地方叫彎道。

生7：直道的長是85.96米，兩個跑道之間相隔1.25米。

生8：彎道是個半圓形，半圓的直徑是72.6米。

生9：不對，應該說最里面的半圓的直徑是72.6米。

師：為你的認真傾聽點贊！你為什么要強調最里面的半圓的直徑是72.6米呢？

生9：因為第二圈的半圓直徑就增大了呀。

師：增大了多少呢？

生9：增大了2個1.25米。（課件閃爍第二跑道的直徑）

師：大家的發言很精彩！還有要補充的嗎？

生10：我發現每一條跑道實際上是由兩條直道和一個圓組成的。（課件閃爍兩條直道和一個圓）

生11：第二道的直徑比第一道多2個1.25米，第三道的直徑又比第二道的直徑多2個1.25米，第四道的直徑又比第三道的直徑多2個1.25米，一直這樣下去。

師：講得真好！大家從他的發言里找到了問題（指板書的問題）的答案嗎？

生12：相鄰的兩個跑道有相等的直道，彎道大小不一樣，如果讓運動員站在同一起跑線上，比賽就不公平了。

師：噢，難怪400米短跑時，運動員們不在同一起跑線上呢。那他們之間的距離又有什么學問呢？

生13：我想，如果知道第二道比第一道長多少米，我們就可以讓第二道的運動員前移多少米，終點一樣，這樣比賽才公平。

師：真是優秀的裁判員！那現在我們四人一小組，算一算每相鄰兩條跑道間相差多少米。溫馨提示三個小問題：1.為了提高運算的準確程度，圓周率統一取3.14159；2.可以用計算器計算；3.為了使研究成果一目了然，你們可以自己設計表格，把幾個跑道的不同長度都展示出來。

學生小組學習后交流，并展示表格（如下所示）。

師：能說說這些數據是怎么得來的嗎？

生14：（指著圖說）每一條跑道都有兩條直道和兩條彎道，兩條直道無論哪一道都是一樣長的，所以直道總長為2×85.96=171.92米，兩條彎道合起來看是一個圓，最里面的第一道圓的直徑就是72.6米，以后每一道都比前一道的直徑多2個1.25米。

師：他的思路很清晰，特別是能借助這個跑道圖進行講解，讓人一聽就明白，有當優秀小老師的潛質?。⌒〗M成員還有要補充的嗎？

生15：我們發現，相鄰兩條跑道之間相隔幾乎都是7.85米。

師：這個發現太重要了！這么說來，相鄰兩道之間的運動員相隔應該是7.85米！這是偶然的，還是必然的？

學生再次思考，然后交流、討論。

生16：相鄰兩條跑道的直道部分是一樣長的，就只要比彎道，用外圓周長減內圓周長等于相鄰兩條跑道的路程差，也就是第二道運動員要前移的長度。

師：那上面表格的后兩行數據是不是可以刪除了？

生17：如果只算運動員前移的距離差，后兩行真可以不要。

生：我覺得還可以算得更簡單——外圓周長-內圓周長=π×（外圓直徑-內圓直徑）=π×（2×1.25）=7.85。

師：數學一直崇尚簡單美！你看，這么復雜的一個問題，被你們用一個簡單的算式表達清楚了！同學們通過自己的努力，找到了在環形跑道上確定起跑線的秘密！讓我們回頭看一看，這節課開始的時候大家提出的幾個問題解決了嗎？

設計意圖：本課時從“實踐”這個角度進行設計?！按_定起跑線”是生活中一個很現實、很抽象的問題。教師運用信息技術從實際問題中抽象出“跑道”這個幾何模型，運用數形結合的方法，抓住“400米比賽中運動員的起跑線為什么會各不相同”這一問題展開研究。孩子們也經歷了從具體到抽象、從繁到簡的探索過程，積累了“真問題、真研究”的實踐經驗。

第二課時教學目標：設計拓展性問題，幫助學生順利實現正遷移，把400米標準跑道上進行400米比賽時確定起跑線的方法拓展到200米比賽確定起跑線的問題上去。

課前，教師布置了自主作業，學生從中挑選一至兩個學習任務完成。

1.把“確定起跑線”這一內容中你最感興趣的或者記憶最深刻的片段寫成數學日記。

2.在網上了解有關跑道、起跑線、田徑運動中跑步項目等的知識，做成圖片或PPT，與同學共享。

3.如果把上一節課的研究任務中的400米跑道改為在“400米標準跑道上舉行200米賽跑”，那么相鄰兩個運動員之間的距離差又會是多少呢？

課堂實錄：

師：同學們，昨天老師給大家留了幾個自主學習的任務，今天這節課我們一起進行交流共享。

生1：我選的是“數學日記”，我給大家先展示自己寫的數學日記吧！

2015年12月18日晴

數學課上，王老師給我們播放了漣源市中小學生運動會的場景，我最關注的就是400米徑賽了，因為我們班的張浩宇也參加了這個項目的比賽。

“下面進行男子400米跑決賽，請選手們做好準備！”廣播里傳來了命令，運動員們陸續來到各自的起跑點。

咦，真奇怪，運動員們怎么不是站在同一條起跑線上啊？前面一場100米短跑的運動員不是站在同一起跑線上嗎？這樣不是影響了比賽的公平性嗎？

正在我心存疑惑的時候，王老師給我們展示了跑道的示意圖，跑道由兩條直道和直道兩端兩個半圓形彎道組成。我清楚地看到了越靠里圈的運動員跑的距離越短，這對跑外圈的運動員是不公平的。難怪運動員的起跑線會各不相同。

后來我們分組進行了研究，發現相鄰兩個運動員之間的距離差是由相鄰兩個彎道的直徑差決定的，還總結出了算法：π×（外圓直徑-內圓直徑）=相鄰兩運動員之間的距離差。

看來，數學真的就在我們身邊。

師：大家評價評價他寫的數學日記。

生2：我覺得寫得挺好的，特別是前面那一段心理描寫，我當時的確也是那么想的，很真實。

生3：我也覺得寫得很好。他找到了400米跑時運動員不在同一起跑線上的原因。

師：我很同意你們的評價，特別值得一提的是，他還總結出了算法，真不錯。下一個，誰來展示？

生4：我通過百度找到了有關“黃金跑道”的知識，還做好了PPT，想和大家分享。

你知道嗎？在田徑賽場上，不同道次確實存在一定的差異。在彎道跑的過程中，為了克服運動慣性，必須改變運動姿勢來獲得一定的向心力，而姿勢的改變在不同程度上會影響運動員的技術發揮。向心力隨著彎道的增大而減小，因此，偏外的道次上的運動員姿勢改變幅度較小，更利于發揮。有研究表明，從生物力學上講，第八道是利于運動員穩定速度的。但是，在大多數運動員的心里，外道和內道都是“慢道”，他們都更傾向于中間道次。另外，在直道跑中，中間道次更利于運動員感知其他對手的速度，這樣更有利于調整節奏、步伐和速度，從而更好地提高成績。所以，第四第三道被認為是“黃金跑道”。

師：今天老師也長見識了。跑道上的學問還真不少，不僅與數學有關，還與物理有關呢！真是“生活無處不學問”。有哪些同學研究了在400米標準跑道上舉行200米短跑的問題嗎？

生5：我研究了200米短跑確定起跑線的問題。400米比賽時運動員跑一圈，要跑兩個彎道，而200米比賽中運動員只要跑一個彎道和一個直道。400米比賽中相鄰兩道的起跑線差是“跑道寬×2×π”，200米比賽中相鄰兩道起跑線差用“1.25×π≈3.93米”就可以了。

師：你們聽清楚了嗎？誰有質疑或點評？

生6：為什么是1.25×π？

生5：我給大家畫個草圖（如右圖所示）。你可以這樣理解，一個彎道加一個直道構成200米跑道，直道是一樣的，我們只要比較內半圓和外半圓的彎道部分就可以了。

師：怎么樣？小老師的解釋如何？

生7：我覺得小老師的講解很清楚，最重要的是抓住這個“一半”來理解。

師：謝謝大家的提問與點評?？磥恚蠹业淖灾鲗W習還是很成功的。最近，我們學校新建了一條環形塑膠跑道，直道長48.79米，最內圈兩個半圓的直徑是32米，每條跑道的寬是1.2米。第一道全長多少米？各跑道的起跑線要依次前移多少米？請大家設計設計吧。（學生自主完成，先在小組內交流，然后全班交流）

設計意圖：本課時從“綜合”的角度進行了設計，主要是學習方式的綜合：課堂學習與網絡學習相結合，自主學習與合作學習相結合，課內知識與課外知識相結合；思想與方法的綜合：合情推理與演繹推理相結合、數與形相結合。通過多維的綜合，實例較好地闡釋了數學實踐活動課“學什么”和“怎么學”兩個重要方面。

三、討論

1.對課堂的思考

以上教學實踐緊緊圍繞數學綜合實踐課程的三個關鍵詞展開，即“數學”“綜合”“實踐”，著力解決了如下幾個問題。

（1）抓住數學綜合實踐課程的重點，突出“實踐性”。即引導學生經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的全過程：從現實的生活場景中發現數學問題→抽取數學問題模型→利用已有的生活經驗和知識經驗嘗試解決問題→思考解決這個問題的方法能否推廣到與之相關的其他問題。

（2）既關注基本知識和基本技能的運用，又注重了數學思想與方法的滲透，重視學生經驗的積累，突出“綜合性”。首先，在教學內容的選取上，選取了“空間與圖形”“數與代數”相結合的“確定起跑線”問題；其次，在學習方式的選取上，采用了自主學習與合作交流相結合、實踐操作與網絡共享相結合、課內學習與課外學習相結合的方法；再次，在數學思想與方法上，注重了數形結合、歸納推理與演繹推理、具體和抽象相結合的教學方式。在此過程中，學生懂得了綜合實踐課可以學什么，怎么學。

（3）注重算法多樣化與算法優化相結合，突出“數學味”。在教學過程中，教師不斷引導學生相互傾聽與評價，展示各自的算法，也引導學生比較各種算法，并不斷優化算法，在這個由繁而簡的過程中，“數學味”得以凸顯。

（4）關注學生的學習興趣，拓展學生的思維空間。從學生熟悉的運動會入題，以“400米比賽中運動員起跑線為什么各不相同”這一問題為主線，學生饒有興趣地展開研究，特別是當學生能把400米比賽中確定起跑線的經驗推廣到200米比賽中，設計學校塑膠跑道的起跑線時，真正體驗到了數學思考的樂趣。更重要的是，本課還將引發學生更多的思考，比如：在400米標準跑道上，如何探求其他徑賽項目確定起跑線的一般方法和規律；在實際生活中，因為場地條件不同，非400米標準跑道上進行徑賽時，起跑線該如何確定等一系列問題，大大拓展了學生的思維空間。

2.提出新問題

遺憾的是，在教學實踐中，“遇到生活中的數學問題”這一環節是由教師事先設計好的，因此，學生沒有真正獨立面臨問題，或者甄選出與自己知識經驗相關的問題，而發現問題恰恰是一切重大發明的開端。事實上，綜合實踐課程的開設僅靠教材提供的案例是非常有限的，如何帶領學生用數學的眼光去觀察世界、用數學的方法去研究世界，是綜合實踐課程對廣大數學教師提出的高難度挑戰。（本文系湖南省教育科學“十二五”規劃2014年度立項課題（編號：XJK014CZXX041）研究成果）

（執筆：王麗燕、謝加文、劉碩鵬、戴意祥）