分數的乘法和除法

胡重光　周　志

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分數的乘法和除法

胡重光周志

分數的加減法本文不作探討，但需要指出一點：由于異分母分數的加減法可轉化為同分母分數的加減法，而同分母分數的加減法只需將分子相加減，所以整數加減法的運算定律和性質都適合分數加減法。

一、分數乘法

分數乘法運算是小學數學的難點之一，教材分為分數乘整數、整數乘分數和分數乘分數三類分別教學。這一分法就表明，乘法是需要區分因數順序的。從教材中的例題可知，分數乘整數表示若干個相同的分數相加，整數乘分數則表示求一個數的幾分之幾是多少，意義完全不同。

（一）分數乘整數

分數乘整數的教學過程如下圖所示。

這里有一個矛盾：既然把分數乘整數與整數乘分數分開教學，就表明兩者的意義是不相同的，但是上面的“男嘉賓”卻說3個既可寫成×3，又可寫成3×。那么兩者就沒有區別了。

還有一個問題是，這里其實不需要畫圖分析。因為對六年級的學生來說，分數的加法無論是意義還是算法都已非常熟悉。不必要的重復不但浪費時間，而且影響學習興趣。這個問題完全可以讓學生獨立解答，自己列式、自己計算，以提高他們獨立思考和主動探索的能力。

（二）整數乘分數

這里采用了類比的方法，先給出一個整數的例子，再將分數的情況與它作類比。但既然是類比，第二個“想”就應與第一個“想”結構相同，即應為：

但是純粹從數學的角度教學，兒童是難以理解的，必須從兒童熟悉的實例出發。教材雖然舉了實例，接下來卻沒有繼續貫徹“現實數學”的原則。這時應該首先揭示問題的數量關系：水的總升數＝每桶升數×桶數。

然后與學生討論：如果桶數為分數怎樣列式計算？最后得出，由于數量關系相同，不管是為整數還是為分數，都應用同樣的算法，所以求桶的升數應該用每桶升數乘。

由此我們看到，抽象的數學與學生熟悉的現實問題相結合，就變得具體、親切，容易接受了。緊密聯系兒童的生活實際，是小學數學教學的一個法寶。

例如：火車每小時行駛120公里，照這樣的速度，3小時行駛多少公里？小時行駛多少公里？

分析：根據“路程＝速度×時間”的數量關系式，第一問的算式是：120×3，其意義是：求120的3倍是多少。

綜上所述我們得到：整數乘分數，把這個整數與分子相乘作積的分子，分母不變。

這一法則與分數乘整數的法則相同。由此立即得出，乘法交換律對整數乘分數也成立。

以上的推導過程有兩點值得注意，一是始終根據實際意義得出算法。這樣做不但聯系了生活實際，兒童感興趣，而且道理表述清楚，兒童容易理解。二是先學習分子是1的情況，再學習分子不是1的情況，則后者的推導就很容易了。

（三）分數乘分數

這一部分內容的教學過程如下圖所示。

與整數乘分數的教學不同，這里用圖詳細地介紹了算理和算法，有理有據。但這一過程是相當繁瑣的。實際上，分數乘分數的算理和算法都可以用實例很簡單地得出。例如：拖拉機每小時耕地公頃，小時耕地多少公頃？

因為“耕地總面積＝每小時耕地面積×耕地時間”，所以算式是：×，其意義是：求的是多少，因此算法是：先將平分成4份，再乘3，即：

這表明，兩個分數相乘，只需將分子、分母分別相乘即可。由此我們得出：分數乘分數，把分母與分母相乘作積的分母，分子與分子相乘作積的分子。

這里利用了這樣一個道理：將一個分數縮小（擴大）幾倍，相當于將它的分母擴大（縮小）幾倍。根據分數的意義，這是很明顯的。類似地，將一個分數擴大（縮小）幾倍，相當于將它的分母縮小（擴大）幾倍。這兩條性質很有用，我們完全可以在學習分數的基本性質時把它們作為推論提出來（當然不出現“推論”這一術語）。

有了交換律和結合律，幾個分數相乘就可以按任意的順序進行，十分方便。

三、分數的除法

（一）分數除以整數

分數除以整數的教學與分數乘整數類似，過程如下圖所示。

這類問題意義明確，算法簡單，既然已要求學生“自己試著折一折，算一算”，教材再畫圖分析、詳細推導，似乎就越俎代庖了。

由此我們得到：分數除以整數，可以用分數的分子除以整數的商作分子，分母不變。但是第二問÷3不能用這種方法，因為4不能被3整除。這時聯想到前面一個數乘分數的意義或分數的性質可知也就是說：除以整數，等于乘這個整數的倒數。

二、整數除以分數和分數除以分數

這兩類問題教材用同一個例子引入，教學過程如下圖所示。這里應對“÷”寫成“×”的道理進行細致的教學，不能簡單地要求學生說出來。一個數除以分數比分數乘法更難理解，需要結合實例并與整數除法作類比。

分析：第一問的數量關系是：速度＝路程÷時間，算式是：6÷2，其意義是：已知一個數的2倍是6，求這個數是多少。第二問的數量關系相同，算式應該是：÷，其意義是：已知一個數的（或倍）是，求這個數是多少。

于是我們得到：分數除以分數，等于乘這個分數的倒數。

綜合前面分數除以整數的法則，我們得到：分數除以一個數，等于乘這個數的倒數。（本文是基金項目湖南省教育科學“十一五”規劃課題（編號：XJK013 CGD051），“課程標準小學數學實驗教材研究”、湖南省教育科學規劃課題（編號：XJK013CJC004）、湖南省省級重點建設學科“課程與教學論”建設項目部分成果）

（作者單位：湖南第一師范學院長沙市實驗小學）