ZC1圓弧圓柱蝸桿傳動強度分析*

靳小馬,吉衛喜,2

(1.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫　214122；2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室, 江蘇 無錫　214122)

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ZC1圓弧圓柱蝸桿傳動強度分析*

靳小馬1,吉衛喜1,2

(1.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫214122；2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室, 江蘇 無錫214122)

摘要：對ZC1蝸桿傳動強度進行了研究，基于嚙合理論、赫茲理論和ZC1圓弧圓柱蝸桿的強度解析式，并結合有限元建立了蝸桿副的接觸模型，將計算得到的應力結果與解析式計算的應力進行對比。解析式算法結果略大于有限元法結果的11.5%~15.5%，驗證了有限元法的正確性，可以作為ZC1蝸桿副嚙合的強度計算依據。并且研究了蝸桿嚙合過程中的齒間載荷分配情況，得出第一對嚙合齒的承受主要的扭矩，約占總負荷的60%~72.3%。接觸應力沿蝸輪齒長方向的分布形狀為U形。

關鍵詞：蝸桿傳動；有限元法；強度分析；解析法

0引言

ZC1圓弧圓柱蝸桿具有輪齒彎曲強度高、承受沖擊載荷高、誘導法曲率半徑較小、齒面接觸應力較小、傳動效率高的優點[1]。目前，研究ZC1蝸桿傳動強度的文獻比較少，其承載能力校核主要參考王樹人教授編著的《圓弧圓柱蝸桿傳動》，但是介紹傳動強度的篇幅小，難以滿足強度設計所需的參數選擇。李秀珍[2]將有限元法與埋絲法測試實驗結合起來并得到了令人滿意的結果，有一定的借鑒意義。馬東[3]基于齒輪空間嚙合原理，通過Matlab建立ZN蝸桿的齒面數學模型，并分析了接觸線形狀的影響因素，為雙導程ZN蝸桿的強度、承載能力的計算奠定了基礎，但研究對象不是ZC1蝸桿。李寧[4]結合嚙合原理、赫茲彈性接觸理論，用解析法詳細計算一個嚙合周期的齒面接觸強度，并用有限元法進行驗證。Daizhong S[5]和Simon V[6]以計算機為輔助利用數值計算法對三維應力分布進行了研究。張馳[7]應用有限元方法對柔性齒輪進行模態分析,利用Pro/E建立柔輪幾何模型，導入ANSYS中定義不同的材料屬性研究其振動特性。張振軍[8]和張彥欽[9]基于有限元法對輪齒的強度計算進行解析法與數值法結果的對比。張學剛[10]基于漸開線齒輪的成形原理和嚙合原理，結合Matlab和Pro/E完成了漸開線圓柱齒輪的精確三維模型，為后續的齒輪強度分析奠定基礎。

蝸桿副在嚙合的過程中最常見的失效形式以齒面點蝕和齒根磨損最為常見。為保證蝸桿副能夠在使用壽命內正常平穩的工作，蝸桿尤其是蝸輪齒面應有一定的接觸疲勞強度來抵抗點蝕，同時也應具有一定的齒根彎曲強度來抵抗磨損的破壞。因此，本文對ZC1圓弧圓柱蝸桿進行齒面接觸應力與齒根彎曲應力的分析是很有必要的。

本文根據嚙合原理、赫茲理論，和適合工程應用的強度計算公式計算得到應力的解析式計算結果。基于非線性接觸理論和有限元法，建立了ZC1圓弧圓柱蝸桿傳動副的有限元接觸模型，將有限元計算結果與解析法進行比較。并且分析了蝸桿傳動過程中的齒間載荷分配和應力沿蝸輪齒長方向的分布形狀。

1ZC1蝸桿副強度解析法

1.1齒面疲勞點蝕計算

青銅制的蝸輪的強度相對于鋼制的蝸桿較低，所以蝸輪是強度計算的主要對象。齒面接觸應力的大小，不僅是齒面疲勞點蝕的誘因，也會導致齒面磨損和膠合現象的出現。所以齒面接觸應力是蝸桿傳動承載能力強弱的主要依據之一。蝸輪的接觸應力可用赫茲應力表達，即：

(1)

可將材料彈性系數簡化為：

(2)

于是式(1)可簡化為：

(3)

式中：μ1,μ2—材料的泊松比；

σH—齒面接觸應力；

l—蝸輪齒面的接觸線總長；

Fn—作用在蝸輪齒面的法向力；

E1，E2—蝸桿與蝸輪材料的彈性模量；

ρn—垂直于蝸輪齒面的接觸線的法面當量曲率半徑。

由于在嚙合過程中接觸線總長l與法面當量曲率半徑ρn不斷變化，求解困難，在假設赫茲應力沿各條接觸線能達到均勻分布的前提下，應用微元法推導計算蝸輪齒面接觸應力的計算公式[11]：

求解單位載荷：

(4)

將上式兩邊對接觸線l微元化處理：

(5)

如圖1所示。

圖1　齒面接觸點處的夾角λ

接觸線微元dl上的法向力dFn可分解為沿蝸桿軸線方向的切向力dFn1=dFncosλ,λ為作用于接觸線微元dl的法向力Fn與蝸桿軸向方向的夾角。

將Fn1轉化為蝸輪轉矩T2的關系，即：

dT2=dFn1dm2/2=dFncosλdm2/2

(6)

代入式(5)，得：

(7)

將(7)式積分，得：

設x=1~n為一個蝸桿齒距內同時嚙合的瞬時接觸線的數目，則：

最后通過計算機計算，并進行相應的簡化得到的蝸輪齒面接觸強度公式為：

(8)

式中：

Zρ—接觸系數；Zρ=2.05(dm1/a)-0.34，可查圖2得；

a—中心距，mm；

T2—輸出轉矩，N·m。

圖2　圓柱蝸桿傳動的接觸系數Zρ

1.2抗磨損承載能力計算

蝸輪的輪齒是一種傾斜的弧狀曲梁形狀，由于輪齒截面形狀太過復雜，各個截面上的齒形沿著齒寬的方向是不一樣的，但根據工程實際，可知齒根彎曲強度主要和模數m以及齒寬b2這兩個主要的參數有關。一般參照普通圓柱蝸輪齒輪作近似計算，驗算公式為：

σF=Ft2KA/mb2

(9)

Ft2=2000T2/dm2

(10)

dm2=2a′-d1

(11)

根據式(10)和(11)中的Ft2和a′、d的關系，聯立式(9)、(10)、(11)得到更方便計算的彎曲應力解析式：

(12)

式中：σF—齒根彎曲應力；

T2—蝸輪扭矩；

KA—使用系數；

m—蝸桿軸向模數；

b2—蝸輪齒寬；

a′—嚙合中心距，約等于中心距a；

d1—蝸桿分度圓直徑。

2蝸桿副有限元接觸強度計算分析

根據圓弧圓柱蝸桿ZC1的嚙合理論，編程計算蝸桿端面齒廓坐標點，利用B樣條曲線生成端面齒廓，再利用ANSYS中的apdl語言參數化編程，最后生成蝸桿的三維造型，用相似方法亦可得到與之匹配的蝸輪三維造型。利用ANSYS生成有限元接觸模型，體單元為Solid64,使用Targel170和Contal174來定義接觸對，蝸桿模型劃分成42134個節點和61214個體單元。蝸輪模型劃分成32358個節點和53520個體單元，有限元模型的網格劃分如圖3所示。

圖3　有限元模型網格劃分

定義載荷與約束：約束蝸輪的內圈的全部自由度，約束蝸桿除繞自身軸線的轉動自由度以外的X,Y,Z方向上的移動自由度，在蝸桿兩軸端施加均勻切向載荷，形成扭轉載荷，總的載荷即為轉動載荷T1。

蝸桿副的材料：蝸桿材料為20CrMnTi，彈性模量E1=199GPa，泊松比μ1=0.27，密度為7827Kg/mm3；蝸輪材料為QSn6.5-0.1，彈性模量E2=103GPa,泊松比μ2=0.3，密度為8850kg/mm3。

蝸桿副參數為齒數Z1=6,Z2=41,模數m=20mm，蝸輪變位系數x2=0.375，蝸輪中圓直徑dm2=835mm，嚙合中心距a′=500mm，蝸桿節圓直徑d1=165mm，蝸輪節圓直徑d2=820mm，蝸輪齒寬b2=115mm，額定轉矩T2=15500N·m。

對蝸桿施加扭矩1500N·m，受載荷最大的1號齒上的接觸應力沿接觸線呈U分布。將計算的數據通過B樣條曲線擬合處理為曲線，如圖4所示。

圖4　第1號齒上接觸應力分布

表1為輸入不同扭矩(N·m)分別為200、1000、1500、2240時，各個參與嚙合傳動的齒所受齒間載荷分配。由表1可以看出，嚙入齒即1號齒承受載荷最大；隨著載荷不斷增大，1號齒承受載荷分配比不斷減少，但仍然占了很大的比例，最大齒間載荷分配從72.3%下降到60.2%。

表1　齒間載荷分配表(%)

3有限元法與解析法結果對比

如表2所示，解析式算得的齒面接觸應力結果均大于有限元法得到的數值，大約高了11.5%~13.6%。

如表3所示，解析式算得的齒根彎曲應力結果均大于有限元計算的結果約13.8%~15.5%。

由此可見有限元法比解析法略精確，解析法略保守，并不能精確計算ZC1蝸桿副的承載能力，但也有較好的計算精度。

表2　齒面接觸應力對比(MPa)

表3　齒根彎曲應力對比(MPa)

4結論

(1)基于赫茲理論，對ZC1蝸輪的齒面接觸應力解析式和齒根彎曲應力的公式進行了研究和闡述。

(2)基于有限元法，對ZC1蝸桿副傳動的接觸應力進行分析，得出第一對嚙合齒的承受主要的扭矩，約占總負荷的60%~72.3%，應力大小沿蝸輪齒長方向呈U形分布。這正好與點蝕較易發生在節線靠近齒根的部分，且蝸輪齒面兩端較易產生疲勞點蝕的工程實際相符合。

(3)通過有限元法和解析式法的對比，解析式算法結果略大于有限元法結果的11.5%~15.5%，這是因為解析式法只計算節點處的應力大小。這說明：解析式應力計算方法偏于保守，基于有限元法的ZC1蝸桿傳動的強度分析是切實可行的，能夠為蝸輪蝸桿的承載能力計算和設計制造提供理論依據。

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(編輯李秀敏)

Drive Strength Analysis of ZC1 Circular Cylindrical Worm

JIN Xiao-ma1,JI Wei-xi1,2

(1.School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China;2. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi Jiangsu 214122, China)

Abstract：Strength of ZC1 worm drive is studied.Based on meshing theory, hz theory and the intensity of ZC1 circular cylindrical worm, the contact model of worm pair is established combining with the finite element.The calculated stress results compare with analytical calculation of stress.Analytical algorithm results slightly bigger than the finite element method of 11.5%~15.5%.The finite element method is validated the correctness and can be used as the strength calculation basis of ZC1 worm pair meshing.Load distribution among gear teeth has been studied in the process of worm gearing, it is concluded that the first pair of meshing teeth under the main torque, accounts for about 60%~72.3% of total load .The distribution of contact stress along the direction of worm gear teeth shapes for U.

Key words：worm drive;the finite element method;strength analysis;analytical method

中圖分類號：TH166;TP132.4

文獻標識碼：A

作者簡介：靳小馬(1991—)，男，江蘇徐州人，江南大學碩士研究生，研究方向是機械制造及其自動化，(E-mail)jxm2018@126.com；通訊作者：吉衛喜(1961—)，男，江蘇姜堰人，江南大學教授，博士，研究方向為先進制造技術、產品數字化設計及制造。

*基金項目：江蘇省產學研聯合創新資金(BY2014023-30)

收稿日期：2015-05-28；修回日期：2015-07-01

文章編號：1001-2265(2016)03-0055-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.03.015