基于隨機概率的并聯機構運動可靠性分析*

吳任和，張　策

(1.廣東輕工職業技術學院 機械工程學院，廣州　510300；2.天津大學 機械工程學院，天津　300072)

?

基于隨機概率的并聯機構運動可靠性分析*

吳任和1，張策2

(1.廣東輕工職業技術學院 機械工程學院，廣州510300；2.天津大學 機械工程學院，天津300072)

摘要：針對3UPS-PU并聯機構進行運動學分析。運用齊次坐標變換理論推導出其運動學逆解方程。在此基礎上，對其進行微分變換得到位姿輸出誤差正解模型。然后應用隨機概率模擬該機構在不確定因素下，觀測其位姿輸出誤差的變化情況。基于數理統計和機構的許用精度范圍求解該機構的運動可靠度。結果表明，該機構在正常工作的條件下能夠運行可靠、平穩。

關鍵詞：并聯機構； 運動學；隨機概率；運動可靠性

0引言

運動可靠性是評價并聯機構性能的一項重要指標，主要是考核機構在不可控因素下機構精度的變化情況。目前，國內外大多數學者考慮并聯機構加工制造和裝配存在的公差，驅動構件重復位置精度誤差以及外部因素的存在隨機性的研究還比較少。夏吉兵，楊強[1-2]等人考慮原始輸入誤差的隨機性，對機構系統進行了運動可靠性分析；張義民，Choi D H[3-4]等人針對不同的平面機構，在假定設計變量和設計參數服從正態分布的前提下，建立了機構的運動精度可靠性分析模型，并對部分設計參數分布概率未知情況下的機構運動精度可靠性穩健設計問題進行了初步探索；孫志禮，楊強[5]等利用ADAMS軟件對3-RPS并聯機構的運動可靠性進行了分析并計算得到該機構的運動可靠性。

本文針對3-UPS-PU并聯機構進行運動可靠性研究。在對該機構的運動學位置逆解求解的基礎上，對其進行微分變換得到位姿輸出誤差正解模型。然后應用隨機概率統計求解機構的運動可靠性。

1并聯機構的結構描述

圖1　3-UPS/PU并聯機構結構簡圖

3-UPS-PU并聯機構主要由定平臺、動平臺、三條結構完全相同的驅動支鏈和一條恰約束支鏈組成。對于其中任意一條驅動支鏈來說，其一端以虎克鉸(U副)與定平臺連接，另一端以球副(S副)與動平臺連接，中間為移動副(P副)。對于中間的恰約束支鏈，其底端與定平臺固定，頂端以虎克鉸與動平臺連接，中間為移動副。其結構簡圖如圖1所示。

2機構的運動學求解

2.1坐標系的建立

2.2位置逆解分析

采用RPY組合變換表示動平臺運動姿態。其旋轉次序為：

RPY(φ,θ,ψ)=Rot(Z1,φ)Rot(Y1,θ)Rot(X1,ψ)

(1)

該機構沒有繞Z軸轉動的自由度，因此φ=0。則旋轉變換矩陣R可進一步表示為:

(2)

則Ai在定坐標系中的坐標OAi可表示為:

OAi=R·Ai+O1

(3)

則其位置逆解為：

Li=OAi-Bi=(R·Ai+O1)-Bi

(4)

根據(4)式即可得到三條驅動支鏈li的位置逆解的函數式。

3誤差正解模型的建立

在考慮3-UPS-PU并聯機構的桿長誤差、球鉸鉸點安裝誤差和虎克鉸安裝誤差的情況下，運用微分法求解其末端執行器的位姿輸出誤差[6-7]。

令li表示動支鏈的桿長，ni表示由Bi指向Ai的單位向量。則3-UPS/PU并聯機構的位置逆解方程可表示為：

li·ni=OAi-Bi=(R·Ai+O1)-Bi

(5)

對(5)式左右兩端進行微分處理，可得：

dli·ni+li·dni=dR·Ai+dAi·R+dO1-dBi

(6)

(7)

為了建立3-UPS/PU并聯機構位姿誤差輸出正解模型，現將(7)式進行簡化處理。

由并聯機構的微分關系可得:

dni=Δni·ni

(8)

式中：

(9)

所以：

(10)

(11)

式中δRy，δRx表示坐標變換矩陣R分別對θ，ψ求微分。

上式可寫成：

(12)

令δli=dli,δAi=dAi,δBi=dBi,則(12)式可寫為：

(13)

將(13)式進一步整理為：

δl=JX·δD+JP·δm

(14)

式中，

由此可得到3-UPS/PU并聯機構位姿誤差輸出正解模型：

(15)

則(15)式可寫為：

δD=KE·δE

(16)

在3-UPS-PU并聯機構位姿誤差輸出正解模型(16)式中，δD∈R3×1為動平臺末端執行器的位姿輸出誤差，KE∈R3×21為考慮該機構的桿長誤差、球鉸鉸點安裝誤差和虎克鉸鉸點安裝誤差的誤差傳遞系數矩陣，δE∈R21×1為該機構的桿長誤差、鉸點安裝誤差參數向量[8-9]。

4機構運動可靠性分析

4.1機構運動可靠性定義及評價指標

機構的運動可靠性是指機構在規定的使用條件下，在規定的使用期內，精確、及時、協調的完成規定機械運動的能力，用概率來度量時，即為機構運動可靠度R。可靠度R是機構運動可靠性的最常用的評價指標[10-11]。

設機構的輸出參數為Y(t)，是隨機變量，機構輸出參數的允許值范圍為[Y下，Y上]，當Y下

R=P(Y下

(17)

對應的機構失效概率Pf為：

Pf=1-R=1-P(Y下

(18)

4.2實例分析

本文在構造3-UPS-PU并聯機構鉸點安裝誤差數據與桿長誤差數據的基礎上，結合求解其位姿輸出誤差的理論模型，運用隨機概率統計法來研究在大批量生產該機構時其末端執行器在三個位姿方向的可靠度。

給定該機構的結構參數為：動平臺半徑ra=300mm、定平臺半徑rb=500mm和初始高度h=1200mm。設定并聯機構的鉸點安裝誤差與桿長誤差均服從正態分布。為了便于分析，假設鉸點安裝誤差與桿長誤差的均值與方差如表1與表2所示。

表1　批量生產的并聯機構誤差抽樣均值

表2　批量生產的并聯機構誤差抽樣方差

根據給定的誤差均值與方差，由概率統計構造30000組符合正態分布的誤差數據作為該機構的誤差樣本。然后根據該機構位姿輸出誤差理論求解出機構的位姿輸出誤差，對其進行統計，進而獲得輸出誤差的均值與方差。

圖2　動平臺X軸轉角誤差樣本分布圖

圖3　動平臺Y軸轉角誤差樣本分布圖

圖4　動平臺Z軸位置誤差樣本分布圖

根據由蒙特卡洛法求解得到的3-UPS-PU并聯機構末端執行器在三個輸出方向的位姿誤差數據進行統計計算，求解各個方向產生的誤差的均值與方差如表3所示。

表3　位姿輸出誤差均值與方差

機構的運動可靠性與許用輸出精度也有關系，當許用輸出精度的范圍較大時，其可靠性較高，而當許用輸出精度的范圍較小時，其可靠性也會相應的降低。在此以給定該機構X方向與Y軸方向的許用輸出精度為[-0.0003rad,0.0003rad]以及給定Z軸方向的許用精度范圍為[-0.06mm,0.06mm]，來求解機構在各方向的運動可靠性。

將表3中各方向輸出誤差的均值、誤差與給定的在其相應方向的許用輸出精度代入公式并查標準正態分布表得：

(1)X方向的運動可靠性為:

(2)Y方向的運動可靠性為:

(3)Z方向的運動可靠性為：

5結束語

本文主要對3-UPS-PU并聯機構的運動可靠性進行了研究，主要完成了以下幾方面工作：

(1)應用坐標變換法建立了3-UPS-PU并聯機構的運動學位置逆解；

(2)在位置逆解的基礎上，運用微分變換法，對3-UPS-PU并聯機構的位姿輸出誤差正解模型進行了求解；

(3)根據求解的位姿輸出誤差正解模型，利用隨機概率統計建立了運動可靠性的求解方法，并對該機構的運動可靠性進行了分析。

[參考文獻]

[1] 夏吉兵,汪永超,趙建平. 基于可拓學理論的數控機床可靠性評價研究[J]. 組合機床與自動化加工技術,2015(3):157-160.

[2] 楊強，孫志禮，閆明,等. 改進Delta 并聯機構運動可靠性分析[J]. 航空學報，2008,29(3)：487-491.

[3] Choid H,Yooh H. Reliability analysis of a robot manipulator operation employing single Monte-Carlo simulation[J]. Key Engineering Materials, 2006,321-323(Pt2):1568-1571.

[4] 張義民，黃賢振，賀向東.不完全概率信息牛頭刨床機構運動精度可靠性穩健設計[J]. 機械工程學報，2009,45(4):105-110.

[5] 孫志禮，楊強，閆明,等，3-RPS并聯機器人運動可靠性仿真研究[J].機械科學與技術，2007,26(6):780-786.

[6] 高猛,李鐵民,鄭浩峻,等. 并聯機床鉸鏈制造誤差的補償[J]. 清華大學學報(自然科學版),2003,43(5):617-620.

[7] 王曉磊. 3-SPS+SP并聯機構誤差建模及靈敏度分析[J].組合機床與自動化加工技術,2014(12):105-108.

[8] Brien J F O，Wen J T. Redundant actuation for improving kinematic manipulability.IEEE International Conference on Robotics and Automation(ICRA)，1999，2:1520-1525.

[9] Stewart D. A Platform with Six Degrees of Freedom [J]. Proceeding of the Institute for Mechanical Engineering, 1965, 180(15): 371-386.

[10] Karouia M, Hervé J M. Asymmetrical 3-dof Spherical Parallel Mechanisms. European Journal of Mechanics A-Solids, 2005(24): 47-57.

[11] 蘇玉鑫,段寶巖.六自由度 Stewart 平臺運動精度分析[J].西安電子科技大學學報(自然科學版),2000,27(4):401-403.

(編輯李秀敏)

Kinematic Reliability Analysis of Parallel Mechanism Based on Random Probability

WU Ren-he1，ZHANG Ce2

(1.School of Mechanical Engineering,Guangdong Industry Technical College, Guangzhou 510300, China；2.School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072,China)

Abstract：The kinematics of the 3-UPS-PU parallel mechanism was analyzed and the inverse kinematics solution was derived adopting the homogeneous coordinate transformation theory. The output pose error model was obtained with differential transformation based on previous work. Then the change of the posture error on output was observed under random factors. The mechanism motion reliability was solved in terms of the mathematical statistics and the allowable range accuracy. The results show that the mechanism can work reliably and stably under normal working conditions.

Key words：parallel mechanism; kinematics; random probability; kinematic reliability

中圖分類號：TH112；TG659

文獻標識碼：A

作者簡介：吳任和(1978—)，男，廣東增城人，廣東輕工職業技術學院講師，碩士，研究方向為微納制造、CAD/CAE，(E-mail)wurenhe520@126.com。

*基金項目：廣東省自然科學基金項目(S2013010011882)

收稿日期：2015-05-10；修回日期：2015-06-05

文章編號：1001-2265(2016)03-0041-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.03.011