真空手的插值算法與動力學(xué)建模研究*

胡文靜，甘　戈，于吉鯤，姜芳芳

(1.大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連　116300；2.沈陽新松機(jī)器人自動化股份有限公司，沈陽　110168；3.中國重型機(jī)械研究院股份有限公司，西安　710032)

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真空手的插值算法與動力學(xué)建模研究*

胡文靜1，甘戈2，于吉鯤1，姜芳芳3

(1.大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連116300；2.沈陽新松機(jī)器人自動化股份有限公司，沈陽110168；3.中國重型機(jī)械研究院股份有限公司，西安710032)

摘要：文章針對真空手需要在高速運(yùn)動的條件下需要保持手臂穩(wěn)定的問題。首先利用MDH法建立了坐標(biāo)系，得到了各關(guān)節(jié)連桿的相對關(guān)系得到了正、反運(yùn)動學(xué)描述。其次，討論了三次樣條插值在機(jī)器人路徑規(guī)劃中的應(yīng)用，利用該算法對示教路徑進(jìn)行插值以消除了機(jī)器人運(yùn)動過程中的不連續(xù)現(xiàn)象。再次用Newton-Euler進(jìn)行多次迭代計算出力矩的數(shù)值方程求解，最后利用仿真工具軟件對真空手機(jī)器人力矩進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了真空手運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的正確性。實(shí)驗(yàn)表明，運(yùn)動學(xué)可以讓機(jī)器人準(zhǔn)確的進(jìn)行運(yùn)動，動力學(xué)和插值算法可以有效的增加真空手機(jī)器人的運(yùn)動性能和穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：真空機(jī)械手；三次樣條插值；動力學(xué)；牛頓-歐拉

0引言

真空手在晶圓加工過程中承擔(dān)著定位和傳輸晶圓到指定腔室兩項(xiàng)關(guān)鍵任務(wù)，是IC裝備的核心關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。因?yàn)榧庸ぞA的工作環(huán)境和生產(chǎn)加工的工序要求,機(jī)器人持有晶圓在高速的條件下運(yùn)行時必須保持手臂穩(wěn)定，避免由于加速度的原因而造成硅片的飛出損壞，從而影響作業(yè)的正常執(zhí)行和生產(chǎn)率，導(dǎo)致真空設(shè)備的潔凈度下降報廢率增加。鑒于此，單臂真空手機(jī)器人要求特別苛刻，特別是清潔度、控制精度、運(yùn)動性能、穩(wěn)定性和可靠性。因此，對加工晶圓傳輸?shù)臋C(jī)械手研究其運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)等其關(guān)鍵技術(shù)是對IC產(chǎn)業(yè)的蓬勃發(fā)展的重要保證。

近年來，動力學(xué)技術(shù)已經(jīng)從理論階段逐步走向應(yīng)用階段。Degani A等研發(fā)了一種基于動力學(xué)單傳動裝置垂直攀爬機(jī)器人[2]。Swevers J等提出了一種工業(yè)機(jī)器人的動力學(xué)模型識別[3]。Zomaya A Y研究了在機(jī)器人動態(tài)模型:理論和應(yīng)用程序中提取和計算參數(shù)識別的問題[4]。Dongsun Kim等提出了一種管理家庭服務(wù)機(jī)器人軟件的應(yīng)用動力學(xué)軟件架構(gòu)[5]。Sung Jin Yoo等研究了利用柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反饋控制自適應(yīng)輸出：動力學(xué)表面設(shè)計方法[6]。

本文首先將單臂機(jī)械手分為上升軸、旋轉(zhuǎn)軸和伸縮軸三個部分。然后詳盡介紹了單臂真空手的運(yùn)動學(xué)模型、插值算法和動力學(xué)模型，經(jīng)過仿真試驗(yàn)表明，動力學(xué)和插值算法的正確性[6]。

1真空手運(yùn)動學(xué)

如圖1所示，為真空手坐標(biāo)系分布，機(jī)器人的MDH參數(shù)如表1所示[8]。

圖1　真空手機(jī)械手連桿坐標(biāo)系關(guān)系圖

通常把描述一個連桿和下一個連桿間相對關(guān)系的齊次變換叫做T矩陣[9]。本文首先采用MDH方法建立坐標(biāo)系，進(jìn)而用齊次變換矩陣來建立機(jī)器人末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型[10]。根據(jù)以上這些參數(shù)可以得到表1桿件坐標(biāo)系之間的關(guān)系，同時獲得各個關(guān)節(jié)之間的變換矩陣。

表1　真空手機(jī)器人的MDH桿件坐標(biāo)系

1.1機(jī)械臂幾何法運(yùn)動學(xué)正解

本文提出了一種幾何法求解運(yùn)動學(xué)方程，真空手運(yùn)動學(xué)正解如下：

(1)

1.2機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)反解

機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)反解：根據(jù)真空手機(jī)的位置、姿態(tài)和連桿長度，求解出機(jī)械臂各個軸應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少角度，以滿足已知的位置和姿態(tài)[11]。

通過逆運(yùn)動求解得各個關(guān)節(jié)角度，可以實(shí)現(xiàn)對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析、編程和軌跡規(guī)劃等工作。用逆矩陣求解關(guān)節(jié)角度雖然看起來簡單但是計算過程復(fù)雜[12]。本文根據(jù)MDH構(gòu)建的運(yùn)動學(xué)方程，使用常規(guī)的方法來求解機(jī)器人位置值到機(jī)器人管家值的轉(zhuǎn)換，通過推到可以得到：

(2)

1.3運(yùn)動學(xué)驗(yàn)證

機(jī)器人末端軌跡為一螺旋線，根據(jù)運(yùn)動學(xué)逆解公式計算出各關(guān)節(jié)角度值。將上面螺旋線逆解求取出的一系列關(guān)節(jié)值代入正解運(yùn)算公式中，求解出對應(yīng)的一系列正解值，將正解值與上面規(guī)劃的螺旋線對比如下圖2所示。

圖2　運(yùn)動學(xué)正反解驗(yàn)證

圖中藍(lán)色曲線代表規(guī)劃的螺旋線，紅色曲線代表規(guī)劃螺旋線經(jīng)一次反解→正解后計算得到的螺旋線，從圖中可看出兩條曲線處于重合狀態(tài)，證明了機(jī)器人運(yùn)動學(xué)計算的正確性。

2三次樣條插值

在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述就是函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，函數(shù)曲線具有k階光滑性，滿足的階數(shù)越高，就表現(xiàn)為光滑性越好[8]。分段線性插值具有零階光滑性，分段Hermite插值具有一階光滑性，三次樣條插值則具有二階光滑性[9]。

2.1三次樣條插值的原理

因此，由天然的約束條件可給出3(k-1)+k+1=4k-2個方程。而k個分段共有k個三次方程，共需4k個約束條件。

樣條本質(zhì)上是多段三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線，在拼接處連續(xù)，且一階和二階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)[11]。樣條最初是基于彈性條設(shè)計的工具，這是因?yàn)闃訔l函數(shù)是受到k+1個點(diǎn)約束的彈性條的最小能量形狀，而彈性條總是傾向于穩(wěn)定在能量最小的位置。

2.2三次樣條插值的實(shí)現(xiàn)

其中hi=xi+1-xi，i=0,1,…,k-1。積分兩次，再利用插值條件確定積分常數(shù)，可求得樣條函數(shù)如下：

(3)

鑒于此，借助MATLAB圖形工具箱，實(shí)現(xiàn)三次樣條插值的樣條曲線，得到圖3和圖4的曲線示圖，分別對應(yīng)最近鄰插值、分段線性插值和三次樣條插值的對比效果曲線[5]。從圖4可以看出，三次樣條插值曲線較光滑，保持了兩插值節(jié)點(diǎn)間的單調(diào)性。

圖3　最近鄰和分段線性插值

圖4　三次樣條插值

3真空手的動力學(xué)建模

在控制精度和動態(tài)控制指標(biāo)的要求下，傳統(tǒng)的控制效果很差，難以滿足較高的性能指標(biāo)的晶圓傳送需求[9]。要實(shí)現(xiàn)優(yōu)異的運(yùn)動效果，必須要對機(jī)器人本機(jī)進(jìn)行動力學(xué)分析[10-11]。鑒于此，引入動力學(xué)的控制是一條有效的途徑。采用力矩前饋控制(動力學(xué)前饋補(bǔ)償)法，可效的改善機(jī)器人的性能[12-13]。

在真空手傳送晶圓的工作過程中，升降運(yùn)動、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和水平伸縮運(yùn)動都是單獨(dú)進(jìn)行運(yùn)動的，也就是說其中一個運(yùn)動模塊運(yùn)動時，其它模塊是保持不運(yùn)動的。運(yùn)用牛頓-歐拉動力學(xué)將上升、旋轉(zhuǎn)和伸縮進(jìn)行了動力學(xué)的三個部分解耦，可以有效的簡化動力學(xué)方程的復(fù)雜度[9-10]。下面本文將從三個方面來分別計算動力學(xué)的方程。

3.1機(jī)械參數(shù)

如表2所示，為真空手的實(shí)際機(jī)械參數(shù)。

表2　真空手機(jī)器人的機(jī)械參數(shù)

3.2牛頓-歐拉動力學(xué)

牛頓-歐拉外推法

外推：i：0~5

(4)

牛頓-歐拉內(nèi)推法

內(nèi)推：i：6~1

(5)

3.3升降軸動力學(xué)

升降軸運(yùn)動：當(dāng)單臂SCAR機(jī)器人進(jìn)行升降運(yùn)動時，旋轉(zhuǎn)和伸縮是不運(yùn)動的。一般來說對于升降軸，使用公式(5)計算動力學(xué)：

(6)

3.4旋轉(zhuǎn)軸動力學(xué)

一般來說對于旋轉(zhuǎn)軸，使用如下公式(7)計算動力學(xué)：

(7)

其中c包含靜摩擦力和克服真空隔離裝置的摩擦力系數(shù)，τ為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)電機(jī)提供的扭矩。

3.5伸縮軸動力學(xué)(封閉形式)

牛頓-歐拉動力學(xué)計算包括向外迭代和向內(nèi)迭代量部分：

外推i(2～4)：

對連桿2用向外迭代法求解如下：

(8)

對連桿3用向外迭代法求解如下：

(9)

對連桿4用向外迭代法求解如下：

(10)

內(nèi)推i(5～3)：

對連桿5用向外迭代法求解如下：

(11)

對連桿4用向外迭代法求解如下：

(12)

對連桿3用向外迭代法求解如下：

(13)

4計算結(jié)果及分析

首先規(guī)劃一段有的位置曲線值作為算法的輸入端，然后將動力學(xué)計算值作為算法的輸出端。最后對各個軸的動力學(xué)數(shù)值數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和統(tǒng)計，如圖5所示，為牛頓-歐拉動力學(xué)計算動力學(xué)數(shù)值曲線，如圖6所示，為MATLAB機(jī)器人工具箱動力學(xué)數(shù)值曲線。經(jīng)過對比分析，曲線一致。

經(jīng)過將牛頓-歐拉法計算得到的動力學(xué)數(shù)值與MATLAB機(jī)器人工具箱中的動力學(xué)算法得到的各個軸動力數(shù)值相互比較，說明該算法適用于真空機(jī)械手，并且可以推廣到各類機(jī)器人當(dāng)中去，從而驗(yàn)證了算該算法的結(jié)果可靠性、再現(xiàn)性和普遍性。

圖5　牛頓-歐拉動力學(xué)計算動力學(xué)數(shù)值曲線

圖6　MATLAB機(jī)器人工具箱動力學(xué)數(shù)值曲線

5結(jié)束語

本文針對真空手機(jī)器人必須在高速的條件運(yùn)行的下保持手臂穩(wěn)定的問題，詳盡的介紹了運(yùn)動學(xué)建模以及路徑曲線插值的過程。驗(yàn)證了機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型以及正、逆運(yùn)動學(xué)分析的正確性，同時與最近鄰插值相比，三次樣條插值能較好地保留原函數(shù)信息，插值函數(shù)比較光滑。將其動力學(xué)技術(shù)應(yīng)用到該機(jī)器人當(dāng)中去。同時采用力矩前饋控制(動力學(xué)前饋補(bǔ)償)法，對機(jī)械手的動力學(xué)進(jìn)行了仿真求解。仿真實(shí)驗(yàn)表明，運(yùn)動學(xué)、插值算法赫爾動力學(xué)的正確性。

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(編輯李秀敏)

Research Interpolation Algorithm and Dynamics Modeling of Single Vacuum Manipulator

HU Wen-jing1,GAN Ge2,YU Ji-kun1,JIANG Fang-fang3

(1.College of Applied Technology, Dalian Marine University, Dalian Liaoning 116300, China;2.Siasun Robot & Automation Co., Ltd, Shenyang 110168, China)

Abstract：Aimed at vacuum manipulator need to maintain stability of arms problem under the condition of high speed movement. Firstly, use MDH method to establish coordinate system, and obtain the joints connecting rod relative relationship of positive and inverse kinematics description. Then, bicubic interpolation is discussed in robot path planning, and the application of algorithm is used to analyze the teaching path interpolation to eliminate the discontinuous phenomenon in the process of robot movement. Finally，calculate the dynamic equation with Lagrange method. Using the Matlab robot toolbox executes kinematics and dynamics simulation experiment. The experimental results show that the kinematic algorithm, interpolation and dynamic algorithm has good robustness for the precise motion of robot and dynamic control has important significance.

Key words：vacuum manipulator;cubic spline interpolation;dynamic;Newton-Euler

中圖分類號：TH166;TG506

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：胡文靜(1981—)，女，武漢人，大連海洋大學(xué)講師，碩士， 研究方向?yàn)闄C(jī)器人及自動化，(E-mail) huwenjingAa@126.com。

*基金項(xiàng)目：國家863計劃(2012AA041405) ；國家自然科學(xué)基金(11126028)

收稿日期：2015-09-01；修回日期：2015-10-09

文章編號：1001-2265(2016)03-0029-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.03.008