高中數學教學中滲透轉化與化歸思想的策略與建議

? 錢翠芬 丁春艷

高中數學教學中滲透轉化與化歸思想的策略與建議

? 錢翠芬 丁春艷

轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數學問題的解決總離不開轉化與化歸，轉化與化歸的思想方法應滲透到所有的數學教學內容和解題過程之中。

轉化與化歸思想；基本類型；基本原則；常見考點

轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數學問題的解決總離不開轉化與化歸，未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題的轉化等。各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數學教學內容和解題過程之中。

一、轉化與化歸思想的含義

轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而得到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。

轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正(如無理方程化有理方程要求驗根)，它能帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。

二、轉化與化歸的基本類型

轉化與化歸思想方法用在研究、解決數學問題時，思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式。轉化與化歸的基本類型有：正與反、一般與特殊的轉化；常量與變量的轉化；數與形的轉化；數學各分支之間的轉化；相等與不等之間的轉化；實際問題與數學模型之間的轉化等。

三、轉化與化歸應遵循的基本原則

1.熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決；

2.簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據；

3.和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律；

4.直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決；

5.正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。

四、轉化與化歸要規范

1.條件轉換要全面：在對題目進行分析時，條件的梳理、轉化是解題的重點，在條件轉化時，一定要對條件全面考慮，挖掘隱含條件，不能顧此失彼，造成轉換不等價。如由抽象不等式轉化為一般不等式的過程中，一定要注意到定義域和單調區間。

2.轉換過程要準確：解題過程中運用一些定理、公理或結論時，必須保證過程準確，不能錯用或漏用條件，和公理、定理的適用條件進行比對，轉換過程中推理變形要等價。

3.轉換思路要靈活：解決數學問題的過程就是一個由條件到結論的等價轉化的過程，數學中的解題即轉化過程往往不是唯一的，在解題時我們要從條件出發，靈活轉化，從不同的角度解決問題。

五、轉化與化歸的常見考點分析

【題型1】集合問題：對于許多集合問題，通過轉化，將不熟悉和難解的集合問題轉化為熟知的易解的問題，將抽象的問題轉化為具體直觀的問題，便于將問題解決。

【題型2】函數問題：函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數幫助，解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關系轉化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍。

【題型3】不等式問題：較為典型的是恒成立問題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉化為函數的最值來求解。構造函數解題是數學中的常用方法，通過巧妙地構造輔助函數，把原來的問題轉化為研究輔助函數的性質，從而使問題得以解決。

【題型4】三角問題：在三角函數中通過切化弦、統一角、統一三角函數名稱、換元等手段，轉化為求值(域)、最值、比較大小等問題。

【題型5】數列問題：如考查遞推數列的通項公式的求解，通過構造函數利用導數判斷函數的單調性。

【題型6】立體幾何問題：立體幾何中有些問題的證明，可以轉化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運用平面幾何知識。

【題型7】解析幾何問題：常常可運用多種方法進行解答，聯系多個知識點，實現多種角度的轉化，有助于提高發散思維能力。

【題型8】具體、抽象問題：此類問題往往直接求解不容易，通過從抽象到具體再到抽象，使學生從心理上感到非常輕松，把抽象問題具體化，在抽象語言與具體事物之間建立聯系，從而實現抽象向具體的化歸。

【題型9】正難則反轉化問題：有一些數學問題，如果從條件出發，正面考慮較難較繁，不妨調整思考方向，從問題的結論入手，或從問題的條件與結論的反面入手進行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”。“正難則反”是一種重要的解題策略，靈活運用，能使許多難題獲得巧解。

【題型10】實際應用問題：實際問題常常可以轉化成具體的數學問題進行求解，如函數問題、方程問題、不等式問題等來解決。

數學思想方法的學習是一個潛移默化的過程，沒有一個統一的模式可以遵循，而是在多方領悟、反復應用的基礎上形成的，化歸也不例外。學生在解題過程中，必須根據問題本身提供的信息，利用動態的思維，多方式、多途徑、有計劃、有步驟地反復滲透，要善于反思解題過程，倒攝解題思維，回味解題中所使用的思想，去尋求有利于問題解決的化歸途徑和方法。正如笛卡爾所說：“走過兩遍的路就是方法”。在平時的教學中，用理論來審視教學實踐，以教學實踐來檢驗、修正教學模式，提升我們應用數學思想的能力和素質，從而提高教學效益。

云南省曲靖市第二中學 655000)