探究“勾股定理”教學中難點的突破方法

? 李梅 岳東旭

探究“勾股定理”教學中難點的突破方法

? 李梅 岳東旭

勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定理。是整個平面幾何的基礎，在現實生活中被廣泛應用。人民教育出版社義務教育教科書八年級數學在編寫的過程中雖然注意到了學生接受知識需要經歷感知、理解、鞏固、應用的過程，設計中重視學生動手能力的培養，然而教材設計過程中學生思維存在很多障礙，教學中要注重引導，幫助學生順利突破思維障礙。

勾股定理；直角三角形；探究活動；平面幾何；重要基礎

勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定理。是整個平面幾何的基礎，在現實生活中被廣泛應用。而勾股定理的教學卻難點重重，實際課堂教學效果大打折扣。

人民教育出版社義務教育教科書八年級數學在編寫的過程中雖然注意到了學生接受知識需要經歷：感知、理解、鞏固、應用的過程，設計中重視學生動手能力的培養，然而教材設計過程中并未給出教學難點突破的方法。如何能在實際教學中引導學生順利突破思維難點，實際教學中筆者做了以下的探究，效果顯著。

一、證明勾股定理——拼圖

雖然勾股定理的證明方法迄今為止已逾500種，但讓學生很自然地想到證明方法是很困難的，特別是學生如何想到用4個全等的直角三角形拼成正方形，利用“等積法”證明。

情景再現：利用手中的四個全等的直角三角形拼圖證明勾股定理

思維障礙：(1)為何要用拼圖證明？(2)為何要用直角三角形拼圖？(3)拼成什么樣的圖形？

突破方法：(1)引導學生思考勾股定理表達式a2+b2=c2,對于等式的證明一般采取從一側證向另一側，或者是兩側向中間證明的方式。然而，對于本式兩側都是簡單的形式，不能再化簡，另一方面引導學生思考勾股定理本身是從“形”到“數”的一個過程，以及學生在學習完全平方公式時，曾用過幾何圖形驗證過完全平方公式的正確性。若在教學中能在這里引導學生思考，則學生很自然可以想到利用幾何圖形證明勾股定理。從而解釋了學生心中所產生的第一個疑惑，順利突破第一層次的思維障礙。(2)引導學生回顧勾股定理的發現過程，它揭示的是直角三角形三邊之間的數量關系。因此在證明過程中自然要用直角三角形作為基本構圖素材。(3)引導學生觀察勾股定理表達式a2+b2=c2本身的特點，再結合回顧勾股定理的發現過程，學生不難發現式子本身符合正方形的面積公式。因此拼成正方形有利于證明定理。教師進一步引導，既然拼成正方形，那么對所需要的直角三角形用什么樣的要求？比如需要幾個，比如幾個三角形是否需要全等等。

二、“選數畫圖”——猜想

情景再現：畫畫看，寫出幾組三角形三邊長，并探究它們之間滿足的數量關系，畫出這些三角形，量量看它們是否是直角三角形。

思維障礙：(1)選哪些數？(2)數量之間的關系有多種。(3)畫圖存在誤差。

教學建議：

基于以上三個問題，教材中所呈現的活動不具有可操作性，即便是讓學生動手操作也是一種假探究，因此在實際教學過程中直接刪去。

三、證明逆定理——構圖

情景再現：證明命題2如果△ABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。

思維障礙及突破方法：

本環節教材中給出的證明方法是：先畫兩條直角邊分別為a,b的直角三角形，如果△ABC與這個直角三角形全等，那么△ABC就是一個直角三角形。

這里如果教材不直接給出思路，學生很難想得到。在實際的教學過程中要引導學生思考所用方法的必然性和合理性。一方面引導學生回顧所掌握的直角三角形的證明方法，無外乎兩角互余，一個角是90°，或者證明和已知的一個直角相等。進而繼續分析問題中給出的條件發現，我們根本無法直接證明兩角互余或者有一個角是90°，那么我們只有第三種方法可用，即證明其中一個角和已知的直角相等。因此必須先構造直角，且還方便證明相等。這樣學生容易想到剛學過的三角形全等知識。構造一個直角邊分別為a,b的直角三角形便顯得自然順暢。下面就是尋找三角形全等的條件。因為條件中沒有有關角的條件存在，三角形全等就是有“SSS”這一唯一的判定方法，到此難點得以突破。

[1][美]邁克爾·塞拉．發現幾何：一種歸納的方法[M]．李翼忠，劉仁蘇，蔡上鶴，等．北京：人民教育出版社，2000．352．

[2]朱哲，張維忠．從趙爽弦圖證明談數學史教學應尊重歷史[J]．中學數學月刊，2005，(10)：12—14．

[3]人民教育出版社義務教育教科書八年級數學下冊。中學數學課程教材研究開發中心編著。2013年10月第一版。

安徽省阜陽師范學院附屬中學 236000)