高中數學解題中隱含條件的分析與應用探討

?鄭昭霞

高中數學解題中隱含條件的分析與應用探討

?鄭昭霞

高中數學是高中階段重要的學科，數學學科具有抽象性，尤其是高中數學，其難度程度較大。在高中數學解題中會有隱含條件，不容易被發現，所以，進一步加大了數學解題的難度系數。教師在教學時，要教導學生挖掘隱含條件的方法，發現題目中隱含的問題，降低問題的難度，最終尋找到問題解決的途徑。因此，本文將主要結合高中數學實例，具體分析挖掘高中數學解題中的隱含條件的方法,為高中數學解題教學提供合理的參考意見，提升學生數學解題的正確性。

高中數學解題；隱含條件；分析與應用

隱含條件是指存在數學問題中不容易被直接觀察的條件，需要學生通過已定的條件和已有的數值中，不斷地對其推敲與變形，最終找到數學問題的隱含條件。通常來說，隱含條件的深度與廣度直接決定數學問題的難易程度。在高中數學學習階段，學生在解題過程中會經常性碰到已知條件明顯不夠的情況，因此，學生要轉變數學解題思維，及時地挖掘題目中的隱含條件。所以，在數學解題時，教師要有意識地引導學生挖掘數學問題中的隱含條件，學會發現問題、分析問題，最終找到隱含的條件解決問題。

一、高中數學解題時充分挖掘隱含條件的意義

在高中數學解題過程中，學生的思維能力影響學生掌握數學知識能力[1]。在當前數學學習時，教師要重視學生數學思維能力的培養，思維是學生思考活動的外在體現，影響這學生解決問題的正確性。我國在不斷推進教學改革，要求教師培養學生的思維能力，引導學生運用數學思維能力解決數學問題，學生在解題中發現問題、分析與解決問題。學生思維能力提高有利于提高學生的解題效率。

同時，在初中階段，數學會直接給出公式和定義的性質，很多條件都已知，學生只要將數值帶入公式中運算便可。但是，高中數學問題的難度系數加大，數學解題比較復雜，需要進一步對書本公式進行變形，從已知條件中尋找隱含的條件，將已知條件與所學公式類比，找出相似之處，最終得出正確的答案[2]。所以，在高中數學解題中，教師要善于培養學生的數學思維，仔細分析數學問題，從已知的條件中去挖掘隱含條件。教師時，教師要逐步地引導學生挖掘問題的隱含條件，提高學生的解題質量。

二、高中數學解題時挖掘隱含條件的具體對策

1. 采用類比聯想數量關系方法 高中的數學題目具有基礎性與綜合性，不僅要求學生掌握學習內容，還要求學生關注對數學知識的理解，并應用所學知識進行解題實際題目[3]。在解題時，經常會遇到有些題目沒有給出直接可以類比的數學公式，沒辦法從已知條件和所求問題中找到關系。因此，在數學解題過程中，要善于激活認知動因，掌握激活認知內容的方法。認知動因的激活需要想象，而激活認知內容策略需要依靠類比。在數學解題過程中，需要結合類別與想象，最終解答出正確的答案。

例如：在解答“一個等比數列，前n項和為48，前2n項和為60，球等比數列的前3n項和”。教師要教導學生充分地挖掘此題的隱含條件。根據認知動因激活策略，從而想到等差數列的列斯解題方法，弄清前n項、后n項與題目中的前n項和的意思。其中前2n項與前3n項具有不同的意思。為進一步挖掘題目中的隱含條件，通過以往的解題經驗發現一個等差數列的前n項、次n項以及后n項的和也會同樣的構成一個等差數列。同時，范文同學，此題中數列的前n項、次n項以及后n項的和是否也會成一個等比數列？可以采用一般的策略驗證，如2,4,8,16是一個等比數列，前2項和、次2項和以及后2項和分別為6/24/96，形成的同樣是一個等比數列，其公比為4。再回到原題，將其轉換為，一個等比數列的前n項和為48，次n項和為12，將前3n項和設為S，再依據成等比數列的關系便能解決此題。因此，在解題時，要善于調動學生以往的知識經驗，從而正確的挖掘題目中的隱含條件。

2.對已知條件進行仔細地分析，挖掘隱含條件 通常來說，在初中階段，數學題目會直接給出公式的定義或者性質等，給出相同的數值作為已知的條件，學生只需要簡單地帶入公式就能計算[4]。但是高中數學的解題就比較復雜，它對書本的公式進行變形或者擴展，學生采用已知條件與之前所學公式進行類比，最終找出兩者的相似之處。學生要學會在相似的基礎上對公式進行轉化，從而發現其中的隱含條件，最終得出結論。因此，教師在教導學生解題時，要讓學生學會從已知的條件中尋找隱含條件。

例如：在求解“實數x,y滿足x2+y2-2x+y=0，求x-2y的最值”這樣的題目時。通過對已知條件的分析，發現圓的方程通過坐標原點(0,0)，從而挖掘出第一個隱含的條件，通過配方的方式挖掘出另一個隱含條件：圓的半徑與圓心的坐標(x-1)2+(y+2)2=5。進一步挖掘發現，x-2y=1/2(x2+y2)，說明圓的(x-1)2+(y+2)2=5上的點到坐標原點的距離的一半，根據數形結合的方法得出題目的最大值10，最小值為0。

3.認真審視求證的結論，在推理中挖掘數學隱含條件 在高中階段，數學解題的主要目的是讓學生學會用數學知識與方法，將題目當前狀態與目標狀態之間的差距縮小，最后解答出正確的答案。在解答數學題目時，首先要仔細地觀察題目，在觀察時如果沒有找到可以類比的公式或者相關的定理[5]。那么學生要進一步地分析與推敲題目中所給的已知條件，最終簡化運算的計算量和運算的時間。從而有效地挖掘出數學問題中的隱含條件，最終正確地解答出數學問題。

例如：在解答“已知三角形ABC,求證tan2A/2+tan2B/2+tan2C/2”≧1時。首先，學生要認真觀察題目。從題目的已知條件以及論證的三角函數來看，這兩個方面并沒有實質性的關系，這也就是說，題目之中存在著隱含條件，學生要從數學推理的過程中去解決問題。首先，要進一步激活式子，得出題目中大于等于1的結論，在解題時，整個推理過程要向三角結論的方向靠近。明確推理的目標，這要才能有目標地進行推理。通過先前所學的三角函數知識得到，tanA/2可以變形為tan[π/2(C+B)/2]，同時將tan轉化為cot，得到cot(B+C)/2即為tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2tanA/2=1。這便是題目所給的隱含條件。最后學生根據隱含條件得出題目的最終答案。

三、結語

總而言之，高中數學問題中的隱含條件具有兩面性，一方面會對學生的數學解題帶倆困擾，另一方面，學生一旦發現隱含條件，學生便能快速地解決數學問題。因此，在數學解題過程中，教師要恰當地引導學生，采用科學的教學策略讓學生尋找其中的隱含條件，最終形成正確的解題習慣，嚴謹的數學解題思維。在挖掘隱含條件時，學生要學會從已知條件出發，仔細分析已知條件，適當采用類比聯想的方法，對驗證的結論進行仔細地審視，在不斷地推理中挖掘隱含條件，加速解題的速度。

[1]張紹輝.數學解題中應努力挖掘和利用隱含條件[J].黔東南民族師范高等專科學校學報，2015,16(12)：69—76.

[2]宋遠娜.一道征解題的補充與推廣[J].數學通報，2014,56(08)：39—43.

[3]何軍.發掘隱含條件尋找解題契機[J].數學教學通訊，2015,56(07)：67—76.

[4]王曉東.引導、觀察、分析、挖掘數學中的“隱含條件”[J].伊犁教育學院學報，2015,46(08)：69—76.

[5]傅世球.高中數學解題中隱含條件的挖掘[J].數學通報，2015,89(04)：46—56.

福建省永春華僑中學 362600)