數(shù)學(xué)問題中的思維能力培養(yǎng)

湖北省武漢市新洲區(qū)潘塘中學(xué) 陶興和

數(shù)學(xué)問題中的思維能力培養(yǎng)

湖北省武漢市新洲區(qū)潘塘中學(xué) 陶興和

數(shù)學(xué)問題解決是指面臨一個(gè)具有新意的數(shù)學(xué)問題，企圖尋找有關(guān)概念、規(guī)律、方法等去解決這問題，從而達(dá)到目標(biāo)的一種心理活動(dòng)。數(shù)學(xué)問題的解決是一種創(chuàng)造性的腦力活動(dòng)，需要各種心理活動(dòng)的參與，但其中最重要的是思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對數(shù)學(xué)問題的解決可以達(dá)到使學(xué)生主動(dòng)地從事實(shí)踐，觀察、思考、探索、交流，獲得知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維；學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力。本文介紹在數(shù)學(xué)問題解決中，如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、遵循解決數(shù)學(xué)問題的思維過程

思維在問題解決過程中起著關(guān)鍵的作用，只有遵循解決數(shù)學(xué)問題的一般思維過程，并能在每個(gè)階段靈活有效地進(jìn)行思維，才能順利解決數(shù)學(xué)問題，發(fā)展思維能力。關(guān)于問題解決的過程，按現(xiàn)代教學(xué)論和心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題解決是在數(shù)學(xué)思維與方法指導(dǎo)下，有目的地運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能分析與解決數(shù)學(xué)問題的過程。在總結(jié)國內(nèi)外研究的基礎(chǔ)上，針對數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和中學(xué)生的年齡特征，提出了審題、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、檢驗(yàn)、反思五階段構(gòu)想。

1.審題

審題就是理解題意，我們所面臨的數(shù)學(xué)問題本身就是“怎樣解這道題”的信息源，只不過題目中的積極暗示往往通過語言文字、公式符號(hào)以及它們之間的關(guān)系間接地告訴了我們。因此，開始研究題意時(shí)，應(yīng)逐字逐句地思考問題敘述中每一個(gè)詞（每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語）的意義，仔細(xì)做出直觀的圖形、表格或式子，使之直觀化、具體化，清晰地羅列出問題中的各個(gè)元素，弄清楚其中哪些元素是給定的已知條件，哪些是所求的未知結(jié)論，條件與結(jié)論間和哪些知識(shí)有關(guān)。盡力找出題中的重要元素，在圖上用直觀的符號(hào)標(biāo)出已知元素和未知元素，做到了以上各項(xiàng)，就意味著你對整個(gè)問題的情景有了清晰的、明確的和具體的印象和理解。如果在此基礎(chǔ)上，我們可以確定解題的策略，那么只需將此決策付諸實(shí)施。如若不行，則需要嘗試著進(jìn)一步全面、深刻地理解題意，比如在所作圖形、表格或式子中試著去改變題目中各元素的位置，并就此考慮能否對問題的敘述做不同的理解，由此再看題中的條件是否多余、互相矛盾，是否還缺少什么條件，這樣做有可能發(fā)現(xiàn)題目中很重要的內(nèi)容。

2.轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換就是在審題的基礎(chǔ)上，思索已知與未知之間的轉(zhuǎn)化，這就需要善于運(yùn)用聯(lián)想、類比、模擬和歸納分析綜合手段，把問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的或簡單的問題，從而確定解題的策略。一般地說，在對問題有了完整的印象和理解的基礎(chǔ)上，我們可以從已知條件或未知結(jié)論的任何一方入手，架起溝通已知與未知之間聯(lián)系的橋梁，從而使問題得到解決。如果由未知的結(jié)論，容易想到某一個(gè)具有相同或相似結(jié)論，且早已解決的熟悉問題，就從結(jié)論入手，執(zhí)果索因，找到通向己知條件的大道。如果從已知條件中可以推導(dǎo)出一些有用的東西，從中可以發(fā)現(xiàn)最接近結(jié)論的熟悉的解題方法，就直接從條件入手，將這些條件分解成一連串的子問題，依次解決這些子問題就可以構(gòu)成原問題的解。如果上述辦法行不通，就從整體上考慮問題。如果能與一個(gè)類似的有關(guān)的熟悉問題聯(lián)系起來，就可以構(gòu)造并解決類似的問題，從中找到解決原題的途徑，如若不然，可以適當(dāng)?shù)睾喕瘑栴}的條件，考慮問題的特殊情形。通過特殊化問題的解決猜想出一般化問題的結(jié)論，再加以證明，從而使問題得到解決。或者將題目的條件或結(jié)論擴(kuò)大到更容易入手的一般性問題，通過解的問題，從中找到解決原題的途徑。如若不然，可以適當(dāng)?shù)睾喕瘑栴}的條件，考慮問題的特殊情形，通過特殊化問題的解決猜想出一般化問題的結(jié)論，再加以證明，從而使問題得到解決；或者將題目的條件或結(jié)論擴(kuò)大到更容易入手的一般性問題，通過解決一般化問題的方法、技巧或結(jié)果，順利地解出原題。如果原問題實(shí)在難解，設(shè)法同時(shí)改變條件和結(jié)論，或者將條件與結(jié)論換個(gè)說法。

3.實(shí)施

實(shí)施是在找到解題方法以后把它付諸實(shí)施，也就是展開解題思路、構(gòu)思解題步驟，實(shí)施具體的運(yùn)算、推理的過程，是解決數(shù)學(xué)問題的中心環(huán)節(jié)，是訓(xùn)練有條理地思考問題、表達(dá)想法的有效途徑。解題過程要規(guī)范，要做到正確、合理、完滿、清楚及簡捷。

4.檢驗(yàn)

檢驗(yàn)就是對整個(gè)解題過程加以檢査驗(yàn)證。可采用“以粗為主、粗細(xì)結(jié)合”的方法來檢驗(yàn)。“粗”指的是檢查題意是否誤解，已知數(shù)據(jù)、圖形是否出錯(cuò)，條件是否全部用上，是否符合解題要求，解題過程是否合理，步驟是否完整，結(jié)果是否科學(xué)，即從整體上粗略檢查題解。“細(xì)”指的是檢查解題過程中的每一步推理是否合乎邏輯，每一步計(jì)算是否準(zhǔn)確無誤，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是否準(zhǔn)確。此外，還可以根據(jù)題目自身的特點(diǎn)，變換角度檢驗(yàn)，如用圖形檢驗(yàn)、選點(diǎn)檢驗(yàn)、取特殊值或特例檢驗(yàn)、對比檢驗(yàn)等。即通過不同的途徑、方法來核對結(jié)論的正確性，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。

5.反思

反思就是對已完成的解題過程進(jìn)行反思，是提高分析問題和解決問題的重要途徑，也是提高學(xué)生思維能力的有效手段。反思包括對解題過程一步步地進(jìn)行檢查驗(yàn)算，回顧解題策略，分析能否從不同角度、不向思路去解題。這樣，可以有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性、靈活性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和分析問題、解決問題的能力。

中學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維過程中的四個(gè)階段不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互作用、相互影響的，且每個(gè)階段都是在與主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相互作用中進(jìn)行的。在數(shù)學(xué)問題解決過程中，要讓學(xué)生掌握思維的常規(guī)，并靈活、有效地進(jìn)行思維，提高他們的思維能力、分析問題和解決問題的能力。

二、訓(xùn)練解決數(shù)學(xué)問題的思維策略

數(shù)學(xué)的解題思維策略，從哲學(xué)的觀點(diǎn)來說是指主體在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，宏觀上采取的方針、原則；從心理學(xué)觀點(diǎn)來說是指選擇、組合、改變或操作背景命題的一系列規(guī)則，以便填補(bǔ)問題的固有空隙；用方法論觀點(diǎn)來說，解題策略是最高層次的解題方法，是解題中帶有普遍意義的思想方法；從本質(zhì)上來說，解題的策略是變換的，是未知向已知的轉(zhuǎn)換。下面介紹七種常用的思維策略。

1.化歸原則

化歸原則是指把一個(gè)我們面臨的新的陌生問題，通過恰當(dāng)變換轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)解決的熟悉問題。化歸原則是對解題有指導(dǎo)意義的重要原則，它在解題過程中有著廣泛的應(yīng)用，比如把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，未知轉(zhuǎn)化為已知，立體幾何題轉(zhuǎn)化為平面幾何題，高次轉(zhuǎn)化為低次，多元轉(zhuǎn)化為一元，超越運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，等等。化歸原則是解題的一個(gè)基本策略，數(shù)學(xué)中常用的消元法、換元法、參數(shù)法、構(gòu)造法等解題方法，實(shí)質(zhì)上都是這一策略的具體應(yīng)用。

2.簡單原則

簡單原則是指設(shè)法將復(fù)雜繁難的問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)簡單、易于解答的問題，本質(zhì)上體現(xiàn)了解題中“進(jìn)”與“退”的辯證思想。當(dāng)“進(jìn)”有困難時(shí)，不妨退下來，退到使我們能認(rèn)識(shí)問題的地方先徹底搞清楚了，然后再前進(jìn)。應(yīng)用簡單原則多可將結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題分解成若干個(gè)相依的簡單子問題，依次解決這些子問題（可得原問題的解，簡單原則是化歸原則的補(bǔ)充和發(fā)揮）。在解題過程中這兩種策略常常結(jié)合在一起進(jìn)行，而僅是著眼點(diǎn)不同。

3.直觀原則

直觀原則是指將一個(gè)形式或內(nèi)容比較抽象的數(shù)學(xué)問題，通過恰當(dāng)聯(lián)想和猜想，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的形象直觀、生動(dòng)具體的問題，借助事物的形象直觀來揭示問題的本質(zhì)屬性，找到原問題的解題思路。運(yùn)用直觀原則解題，最關(guān)鍵的是要對題設(shè)條件做深入的分析，洞察其中的幾何特征，由此構(gòu)造出相應(yīng)的圖形，運(yùn)用圖形直觀求得原問題的解。

4.化同原則

化同原則是將我們面臨的數(shù)學(xué)問題中條件與結(jié)論的差異矛盾，通過變換使兩者逐漸靠攏，清除差異，化異為同，使兩者達(dá)到矛盾的統(tǒng)一。應(yīng)用化同原則的關(guān)鍵是要找到條件與結(jié)論的結(jié)合點(diǎn)，從而確定了同化的方向，最終實(shí)現(xiàn)矛盾的統(tǒng)一。

5.有序原則

有序原則是指當(dāng)我們所面臨的數(shù)學(xué)問題中含有多個(gè)元素時(shí)，可以把它們按一定的順序排列，再依次進(jìn)行變換，從中發(fā)現(xiàn)解題的規(guī)律，使問題得到解決。應(yīng)用有序原則的解題策略，關(guān)鍵是將元素按一定規(guī)則依次排列，循序漸進(jìn)地解決問題。

6.整體原則

整體原則是指當(dāng)我們面臨的是一個(gè)從局部特征入手難以奏效或推理冗繁的問題時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，將需要解決的問題看作一個(gè)整體，通過對問題的整體結(jié)構(gòu)分析和改造，揭示整體與局部的內(nèi)在聯(lián)系，找到解決問題的途徑和方法。運(yùn)用整體原則這一解題策略，把微觀上的局部分析與宏觀上的整體控制辯證地統(tǒng)一起來，有助于拓寬視野，沖破局部細(xì)節(jié)的束縛，看清問題本質(zhì)，獲取簡捷、巧妙的解法。

7.逆反原則

逆反原則是指用一分為二的觀點(diǎn)看待我們所面臨的問題，如果從問題的一個(gè)方面來思考而難以成功時(shí)，就從與之對立的另一方面來考慮問題，最終達(dá)到解決問題的目的，應(yīng)用逆反原則的解題策略，常常從問題的一般性與特殊性、復(fù)雜性與簡單性、相等與不等、已知與未知、直接與間接等對立的兩個(gè)方面來思考問題，尋求解題的途徑。

不難看出，以上各種策略，在解決問題時(shí)，是相互滲透、相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充的。為了更好地發(fā)揮策略的指導(dǎo)作用，須要悉心體察各種策略的基本思想與實(shí)施途徑中所用的數(shù)學(xué)方法與技巧的有機(jī)結(jié)合，應(yīng)用于解題的實(shí)踐，并在實(shí)踐中不斷總結(jié)，提煉新的策略思想，不斷構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷提高分析問題和解決問題的思維能力。