深刻理解課程標準和教材才能設計出好課

吳增生

在現行義務教育《數學課程標準》第三學段中，平行線分線段成比例是第九個基本事實，課程標準把這一基本事實作為證明相似三角形判定定理的邏輯起點。因此，這一結論具有重要意義。課程標準提出“掌握”要求，主要指的是能運用其推論的結論證明相似三角形的判定定理。

基本事實（公理）不需要證明，但需要讓學生體會其合理性。

不同于其他八個基本事實，該基本事實對于初學者并不那么顯而易見。“四條線段成比例”很難憑直觀感受到，基于測量計算判斷線段是否成比例又往往受到測量精度、誤差等影響。因此，讓學生理解其內容，體會基本事實的合理性，是本課的重點。

一、教學實踐中存在的問題——從一個課例說起

某教師設計了如下的教學過程：

【活動1】（1）讓學生任意選取橫格紙上的三條橫線，畫出三條平行線，分別記為l1、l2、l3。（2）任意畫一條直線l4與這三條平行線相交。（3）分別度量所截線段的長，然后計算其中兩條線段長的比，做好記錄。（4）猜想：比值與什么因素有關？

交流：每個人畫出的平行線有什么不同？直線l4被這三條平行線所截，得到幾條線段？分別是被哪兩條平行線截得的？每個人計算的比值相同嗎？你認為比值與什么因素有關？

（5）再畫一條直線l5與這三條平行線相交。度量l5被這三條平行線所截線段的長，計算其中兩條線段長的比。

問題：你有什么發現？這說明什么？你能用文字語言歸納這個發現嗎？

這個結論尚不具有一般性，它是我們在橫格紙上發現的。如果將橫格紙換成白紙，結論還成立嗎？

【活動2】（1）在所給的白紙上任意畫三條平行線，分別記為l1、l2、l3。

（2）任意畫兩條直線l4、l5使它們被這三條平行線所截。

（3）度量所截線段的長，計算對應線段的比，做好記錄。

（4）與同學交流你發現的結論。

【活動3】用圖形計算器拖動其中一些點和直線，以改變其位置，觀察數據的變化。與同學交流你發現的結論。

問題：平行線間的距離會不會是無理數呢？

教師在引導學生連續拖動平行線相對位置中讓學生體會比值是無理數時仍然成立，在此基礎上得到平行線分線段成比例的結論。

接著，教師讓學生對照圖1寫出基本事實的題設和結論。

在此基礎上進一步提出問題：你還能得到哪些比例式？

引導學生得到幾個典型的等價比例式。

【練習】

已知：如圖2，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，

則DF= 。

【思考】已知：如圖3、圖4，在△ABC中，DE∥BC，且分別與邊AB、AC（或兩邊的延長線）交于D、E。你能說明圖3、圖4中“平行線分線段成比例”的基本圖形的關系嗎？你能得到對應的比例關系嗎？

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教師引導學生得到相應的比例式。

【小結】1.本節課我們分別進行了哪些活動？這些活動分別得到了什么結論？

2.平行線分線段成比例這一基本事實的內容是什么？

3.本節課的活動過程體現了什么樣的研究方法？

這一課例的設計，是把平行線分線段成比例這一基本事實作為孤立的知識點來探究的。這樣的教學中雖然學生經歷了觀察、猜想、驗證等數學活動，但是課堂中沒有學生自然合理的數學思考。首先，為什么要學習這一基本事實？它有什么作用？其次，學生怎么能想到要在橫格上畫平行線l1、l2、l3及另一直線l4？這是天上掉下來的嗎？第三，教學中只是把教材中的驗證活動具體化、系統化，整堂課只有測量和驗證，不知道為什么要這樣驗證。因此，這種探究是假探究。第四，為什么要用手持技術？是技術為教學所用，還是教學服從于技術？盡管答案是無可爭辯的，但由于操作前缺乏事實的自然猜想和驗證方案的設計，教學中的實際情況是技術綁架了教學。本課產生這些問題根本原因在于對課程標準和教材理解不夠到位，導致孤立地看待教科書中的“探究欄目”，沒有從幾何圖形研究的基本套路出發思考問題，沒有把平行線分線段成比例這一基本事實放到相似三角形判定探究這一大背景中思考教學設計，缺乏幾何研究的大視野。

二、教學改進建議——用幾何研究大視野設計教學

1.創設情境，提出問題

在討論了相似多邊形的定義和性質后，根據幾何圖形研究的一般套路，先研究特殊的相似多邊形——相似三角形，在給出相似三角形的定義后，自然要提出研究其判定的問題。類比全等研究相似三角形判定，在尋求減少條件判定相似的目標下思考問題：怎樣減少條件？仍然采用全等中的實驗操作方法嗎？顯然，由于相似沒有全等那樣直觀，難以用實驗方法直接探索，于是，需要理性分析：如圖5，通過把兩個三角形移到有一個角重合，思考能否減少條件？顯然，直觀地看，其余的兩個內角相等可以用邊的平行關系來代替（即可以減少一個角相等的條件），如果能用平行關系推出邊的比例關系，比如■=■=■——就最好了，于是提出研究主題：首先要研究平行線截兩直線，截得的線段是否對應成比例？■=■是否成立？

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2.直觀觀察，提出猜想

學生直觀觀察，提出猜想（如圖6）。

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如圖，如果l1∥l2∥l3，是否有■=■，如果這個式子成立，則只要等號兩邊都加1，等式仍然成立，于是就容易得到■=■，再把直線DE平移使點A與D重合，就得到“兩條平行線截三角形兩邊所截得的線段對應成比例”這一命題。

引導學生根據問題研究需要結合圖形直觀得到猜想：“如果l1∥l2∥l3，那么■=■。”

3.測量計算，驗證結論

引導學生用手持圖形計算器從特殊到一般地驗證結論：

（1）借助等距平行橫格（如練習本中的橫格線），若■=1，通過直接測量可得■=1；

（2）若■=3，通過測量計算可得■=3；

（3）若■=■，測量計算可得■=■；

（4）借助手持圖形計算器驗證：若■=k，測量計算可得■=k，可以讓k變化并用動畫展示。

（5）讓學生想象當k為無理數時，（4）中的結論仍然成立。教師說明可以證明這一命題，限于所學知識不夠，這里不加以證明（用手持圖形計算器也無法檢驗比值是無理數的情況）。

4.理解事實，得出推論

（1）讓學生用自己的語言表述基本事實，形成對基本事實的理解。在基本事實基礎上根據比例性質得到另兩組比例線段：如果l1∥l2∥l3，是否有■=■，■=■？

（2）把把基本事實特殊化，得到推論：

如圖7，若BC∥B′C′，則有■=■。

相應地，比例還可以表示為另兩種形式：

如圖，若BC∥B′C′，則有■=■，■=■。

5.應用新知，拓展研究

（1）教師引導學生思考：■=■=■是否成立？要證明這個命題，只要證明■=■即可。

教師引導學生分析：已知BC∥B′C′要證明■=■，主要困難是線段AB′、AB和B′C′、BC不是平行線截得的四條線段，為此，過C作AB′的平行線CM，交B′C′于M點，則四邊形BB′MC是平行四邊形，于是有BC=B′M，問題轉化為證明■=■，而■=■問題轉化為證明■=■，

這可以由CM∥AB′利用基本事實的推論得的。

在此基礎上讓學生獨立完成證明過程。

（2）形成相似三角形判定的預備定理。由（1）可知，在BC∥B′C′的條件下不僅得到△ABC和△A′B′C′的三個角分別相等，而且也證明了這兩個三角形的三邊分別成比例。于是，這兩個三角形就相似了。因此，可以得到如下判定兩個三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線截原來三角形，所截得的三角形與原三角形相似。

引導學生進一步思考：平行三角形一邊的直線截三角形兩邊的延長線，所截得的三角形與原三角形相似嗎？并把這個問題的證明留給學生作為作業來完成。

接下來，可以引導學生進行課堂練習和小結。

三、基于課例的思考：在理解教材的基礎上設計教學才能發展大智慧

同樣的內容，在理解教材程度上的不同，就會設計出不同的教學，學生所得也是不同的。數學的核心教育價值在于發展學生自然合理的數學思考能力，在于用數學發展智慧。如果把平行線分線段成比例看作一個孤立的基本事實進行探究，其結果可能只是讓學生驗證結論，難以發展學生的數學思維；如果把該基本事實作為相似三角形判定探究的邏輯出發點，讓學生在幾何圖形研究的大視野和研究三角形相似條件的大背景中提出問題、分析問題和解決問題，則不但可以讓學生基于幾何研究的一般套路中自然合理地提出猜想，然后通過測量和實驗驗證猜想（當然用現代技術讓每一個學生都借助圖形計算器進行獨立驗證效果更好）。而且能有效發展學生的發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，積累幾何研究的數學活動經驗，發展邏輯思維能力。

用數學的一般觀念和思想方法引領學生進行觀察和思考，這是用數學發展學生的智慧，實現數學育人的根本做法，也是數學課堂教學設計高立意的聚焦點。要做到這一點，需要教師在理解數學、理解學生、理解教學的基礎上科學設計教學，需要教師用數學視野深刻領會課程標準和教材編寫意圖，領會學生的學習規律。在深刻理解課程標準和教材的基礎上才能設計出具有高立意、低起點的好課。