走向更具數(shù)學(xué)意義的概念教學(xué)
——從袁紅老師《認(rèn)識面積》一課說起

許衛(wèi)兵（特級教師）

在數(shù)學(xué)知識體系中，概念（包括定義、原理、法則、規(guī)律、術(shù)語等）是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向前、向上發(fā)展的基石。無論是傳統(tǒng)教學(xué)，還是現(xiàn)今課堂，都十分重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

現(xiàn)場觀摩袁紅老師執(zhí)教的《認(rèn)識面積》，感觸很多。這節(jié)課不僅在情境創(chuàng)設(shè)、課堂結(jié)構(gòu)、自主學(xué)習(xí)、有效調(diào)控等傳統(tǒng)教學(xué)要點方面做得很講究，很有實效，更為鮮明的特點是，對“面積”這一數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)意義詮釋得很好。

翻閱詞典、查閱百度詞條、打開近二三十年來的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對于“面積”的定義可謂是高度一致，選用教材里的表述就是“物體表面或平面圖形的大小”。盡管現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材中，有些版本（如蘇教版）已經(jīng)不出現(xiàn)這句話了，但老師們教學(xué)時還是扣準(zhǔn)這層含義來進(jìn)行的。

回顧“面積”一課的日常教學(xué)（也包括部分名師的課堂），大多是在課堂開始幾分鐘比較黑板面、書本面、課桌面大小后，老師直接給出“物體表面的大小，叫做它們的面積”的定義，然后讓學(xué)生模仿著說“課桌面的大小就是課桌面的面積”“黑板面的大小就是黑板面的面積”等。這樣的教學(xué)具有很強的“短、平、快”的特點，也是圍繞面積的固有定義來展開的。但很顯然的是，這樣的教學(xué)，“告訴”的痕跡很重，尤其是沒有將面積的“計量”意義表達(dá)出來（所謂計量，即把一個暫時未知的量與一個已知的量作比較）。說白了，給了學(xué)生的只是一句話，還不是對面積本質(zhì)意義的解釋。相比而言，袁紅老師《認(rèn)識面積》的教學(xué)，將“面積”放在計量系統(tǒng)中教學(xué)，按照“認(rèn)識面→有的面大，有的面小→面的大小可以通過多種方法來比較→用某一個標(biāo)準(zhǔn)去度量時，面的大小就可以用數(shù)據(jù)刻畫（描述）出來→這種新的計量產(chǎn)生‘面積’”的邏輯脈絡(luò)，凸顯的是它的計量意義。毫無疑問，這是對傳統(tǒng)教學(xué)的一次突破和超越。

由此可以看出，對每一個數(shù)學(xué)概念的理解，并不能簡單地局限在這個概念的文字表述上。事實上，有一些數(shù)學(xué)概念、術(shù)語，在教材中連文字的定義都沒給，比如長度、時間、圓、加法等，再比如，“10個球放到3個抽屜里，每個抽屜里至少要放幾個球”里的“至少”就是一種特定的數(shù)學(xué)表達(dá)，具有特別的數(shù)學(xué)意義——考慮最不利、最平均的情況。教學(xué)中，無論有文字定義還是沒有文字定義，都不能簡單地停留在文字表述上，或者滿足于讓學(xué)生能說能記所謂的概念或定義，更為重要的是，要深入把握概念的數(shù)學(xué)意義，教出概念的本質(zhì)要義。

那如何才能讓數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實現(xiàn)這樣的意義表達(dá)呢？我們不妨從以下幾個方面來嘗試：

第一，將概念放在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中來教學(xué)。關(guān)聯(lián)性是數(shù)學(xué)知識體系的重要特征，用系統(tǒng)的、聯(lián)系的眼光理解概念，可以更加凸顯概念的數(shù)學(xué)含義。比如，六年級認(rèn)識圓柱和圓錐這兩種形體（小學(xué)里只涉及直圓柱和直圓錐），通常都是將它們視為兩種不同的形體來研究，事實上，如果將圓錐看成是圓柱的某一個底面縮小為一個點（圓心），那就可以將圓錐的認(rèn)識建立在圓柱的基礎(chǔ)上，很容易解釋“為什么圓柱有無數(shù)條高，而圓錐只有一條高”“為什么圓錐可以采用跟圓柱相似的體積計算公式，只不過要乘以三分之一”等道理。再比如，認(rèn)識小數(shù)的時候，不僅要和分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來——一位小數(shù)就是十分之幾，兩位小數(shù)就是百分之幾……我們還要看到，小數(shù)和整數(shù)之間也是相通的，每一個小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)——只要用更小的計量（數(shù)）單位，比如，0.3元是小數(shù)，但是，如果將它用“角”做單位，就變?yōu)椤?角”。反過來，整數(shù)也是可以變成小數(shù)的，只要用更大的計量（數(shù)）單位。每一個概念都不是孤立存在的，即便是簡單的自然數(shù)1、2、3、4、5……都應(yīng)該讓學(xué)生明白這不只是五個數(shù)，更是一組數(shù)列：1加上1就變成了2，2加上1就變成3，3再加上1就是4……如此延續(xù)，自然數(shù)列就產(chǎn)生了。在數(shù)學(xué)體系中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，能賦予它更強大的系統(tǒng)能量，讓學(xué)生認(rèn)識更透，掌握更牢。

第二，賦予概念以特定的過程、思想、方法意義。數(shù)學(xué)是人類的創(chuàng)造，而創(chuàng)造總是和過程聯(lián)系在一起的——數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是過程，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的習(xí)得需要過程，數(shù)學(xué)知識本身的數(shù)學(xué)含義也是和過程、思想、方法等緊密聯(lián)系的。比如，平均分的教學(xué)，通常都會從“結(jié)果”來看——是不是分得同樣多了。事實上，如果從原初的“一共”開始，然后經(jīng)歷“分”的過程，最后變成“好幾份，并且每份同樣多”（即“幾個幾相加”），也就是，從“一共”到“幾個幾”的過程看成平均分，那平均分就具有“過程”意義。這種過程意義，不僅跟除法算式的寫法有直接的聯(lián)系，而且反過來從“幾個幾”變成“一共”就是乘法，由此學(xué)生也很容易理解“除法是乘法的逆運算”的原理了。再比如，學(xué)習(xí)加法，不僅要結(jié)合具體的情境和故事理解加法是一個過程，而且要讓學(xué)生用同一道加法算式講出更多的不一樣的生活故事，從中感受每一個加法算式所具有的“模型”意義，而這正是模型思想在小學(xué)一年級教學(xué)中的極好體現(xiàn)。

第三，基于兒童自己的理解和表達(dá)來教學(xué)。數(shù)學(xué)是很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有時需要將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)用生動的方式表達(dá)出來，正如烏申斯基所說：“兒童是用形式、聲音、色彩和感覺來思維的。直觀性是一種發(fā)展觀察力和發(fā)展思維的力量，它能給認(rèn)識帶來一種情緒色彩。如果不形成發(fā)達(dá)的、豐富的情緒記憶，就談不上童年時期的完滿的智力發(fā)展。”在教學(xué)“軸對稱”時，與其死命地抱住“沿著一條直線對折，圖形兩邊能完成重合叫做軸對稱圖形”，還不如讓學(xué)生做一個“白紙壓畫”的實驗（在白紙上滴一滴墨水，然后沿著墨水處將白紙對折，然后用手在墨水處壓一壓，再打開白紙，就看到一個怪模怪樣但是軸對稱的圖形），并讓學(xué)生試著講述白紙上壓出來的墨水畫的特征，從中更好地感悟和理解“軸對稱”的含義。有時我們也可以讓學(xué)生動手“畫數(shù)學(xué)”，用自己喜歡的方式表達(dá)對數(shù)學(xué)的理解，比如學(xué)習(xí)“角”之后，畫一個人兩腿并攏，手臂伸平，表示“直角”；學(xué)完乘法后，將3×2=6畫成兩個人在喝咖啡，一共有3組。這種生動的、直觀的方式，雖然不很嚴(yán)謹(jǐn)，但都直通“軸對稱”“直角”“乘法”的本質(zhì)要義。用直觀表達(dá)抽象，用感性觸摸理性，是小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)非常值得倡導(dǎo)和研究的。

總的說來，向?qū)W科本身回歸，更好地發(fā)掘數(shù)學(xué)的學(xué)科價值，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)改革的重要方向。對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有舉足輕重作用的概念教學(xué)，只有更好地挖掘和解讀其蘊含的數(shù)學(xué)意義，并通過這種意義的表達(dá)，讓學(xué)生更好地懂?dāng)?shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)才會迸發(fā)出更強大的生命力。