淺談內力做功的一些問題

張立那

摘 要：多個物體組成的系統應用動能定理及判斷系統的機械能是否守恒時，除分析系統所受外力做功外，還要考慮系統內力做功，內力做功時，物體已不能看作質點，必須視作質點系（而不是剛體），其各部分（質點）之間有相對位移。

關鍵詞：動能定理；機械能守恒；功能原理；系統內力；內力做功；高中；物理

我們在研究功能問題時，往往會遇到這樣一類問題，例如：

人由蹲著站起來的過程，地面支持力對人做不做功呢？

分析人的受力：重力和地面支持力。蹲著和站起來后，初、末速度均為零，則動能變化為零。對這一過程列動能定理，應有：

但實際支持力的作用點并未發生位移，從功的定義看，力的方向上沒有發生位移（地面自然可視為剛性地面，沒有形變），不具備做功的條件，所以，支持力應不做功。

換一個角度從功和能的關系來看，如果地面支持力對人做功，則地面必然給人提供能量，事實上地面不可能給人提供能量，因此地面不可能對人做功。

而如果支持力不做功，只有重力做功，那么人的動能增量應不等于零，這又與實際結果矛盾。問題出在什么地方了呢？

實際上，這是一個內力做功的問題.

是要有前提條件的，即我們所研究對象應可看作一個質點或由許多質點組成的可看作剛體的質點組。顯然，人體在起立過程中既不能看作質點，也不能看作剛體，而是可以變形的質點組。這樣此動能定理表達式在此時已不適用，當然也就不能再簡單列出上式了，也就是說上述做功的說法欠妥。

第二：我們必須清楚，功是能量轉化的量度，其中的“功”應指的是內力功和外力功的總和。在此問題中，內力指人身體各部位肌肉內力，外力指重力和地面支持力。

我們把人體看作是由N個質點組成的質點組，應有質點組的動能定理：ΣA外+ΣA內=ΔEk，其中ΣA是組成人體的各質點所受所有外力和內力功的代數和，也就是所有外力功和所有內力功的代數和等于其動能增量。

人體起立過程，是身體各部位肌肉內力在起作用，內力的作用點要發生位移，而且位移方向與力方向一致，導致內力功不等于零，也就是說，是肌肉內力做功與人體重力做功相抵消，導致起立過程中人體的動能增量等于零。

關于內力做功問題，在中學階段，一直是難點問題。

誤區一 內力對應一對作用力與反作用力，受牛頓第三定律的影響，容易認為這一對內力功也是大小相等，方向相反，應相互抵消，所以內力功一定為零。

實際上，由于這一對內力分別作用在兩個物體上（或同一物體的兩個部分上，或質點系內的相互作用的兩個質點上），而這兩個物體的位移，一般來說并無什么普遍的規律，因此，這一對內力的功無論大小或者正負也并不確定，也就是說這一對內力大小雖然一定相等，但位移的大小關系不確定，正負功也不確定，可以簡單的證明一對相互作用力的功是“一切皆有可能”，即可同時為正；也可同時為負；也可同時不做功；也可一正一負；也可一正（負）功，一個不做功。同時我們可以證明一些很重要的結論如：一對滑動摩擦力做的總功一定為負值，而一對靜摩擦力做的總功為零等。

研究表明內力的功僅決定于力和質點間的相對位移。所以，研究內力功，一定要注意質點間的相對位移。

誤區二 容易混淆內力功與外力功。如前邊討論的人站起來的過程，誤把肌肉內力功當成支持力的功。

比如說從蹲著以一定速度起跳之后并落地的整個過程當中，人跳起獲得了動能（機械能），但是人和地面的作用力缺乏做功的條件，沒有做功，那么人獲得的機械能是內力做功的結果，在跳起過程當中，人的化學能轉變成機械能，這個過程當中，人機械能不守恒。落地時，他的機械能減少，不是人和地面的彈力做功，人和地面之間在彈力方向上缺乏位移（地面視為剛性地面），沒有做功，所以在人與地面碰撞的時間內機械能減少是內力耗散的作用。

從質點組的動能定理角度來看：內力功和外力功的代數和等于系統質點組動能的變化，人在整個過程中內力功和外力功之和等于人的動能的增量。人在起跳時內力做正功，跳下著地時內力做負功，整個過程支持力不做功，跳起過程中不做功，落地過程中亦不做功。

看下面一個例子，物理環境是運動員（質量為m）從一張繃緊的水平彈性網面h高處自由落下，著網后，沿豎直方向蹦回到離水平網面H處的高處（H>h），運動員與網接觸時間T已知，把這段時間內網對運動員的作用力當做恒力處理，求這個力的大小。（注意：彈性網面區分于地面，兩者是完全不同的概念）

許多人有一個認識上的錯誤：從能量的角度看，人離開蹦床時的動能大于落向蹦床時的動能，也就是說人的動能增加了，那么這個增加的能量是從哪里來的呢？他們認為是蹦床給人的。實際上，人與蹦床相互作用過程中，如果不考慮蹦床的質量，那么蹦床既沒有得到機械能，也沒有損失機械能，從做功來看，人與蹦床一起下落過程中人對蹦床的壓力對蹦床做正功，一起上升時則做負功，總功為零。由于人的腳與蹦床面始終接觸，在整個過程中一起運動，兩者路程完全相同，故床對人支持力做的總功也應為零，但可由對物理過程的分析可知，蹦床支持力總功為零的情況同地面對人做的功為零的情況是兩回事。對蹦床問題從能量轉化和守恒思想分析，實際上是運動員的機械能轉化為彈性床的彈性勢能，之后彈性勢能再轉化為人的機械能。

同前邊問題一樣，人增加的動能或機械能由人體內部的肌肉能量轉化而來的。這種情況生活中屢見不鮮，人跑步，動能哪里來？人坐著揮動手臂，動能從哪里來？這些都是人體內部能量轉化而來的。在有其他形式的能量轉化為機械能的情況下，從能量角度分析問題時就不能認為物體的動能改變完全來源于外力的功，也就是說，一個系統機械能的改變，不僅與外力功有關，還與內力功有關，如果內力有非保守力存在并做功，則機械能也會因此而改變，機械能既可能增加，也可能減少。

再如，人穿著溜冰鞋站在非常光滑的冰面上，用力推墻壁，人將向后運動獲得動能，這也是肌肉內力做功引起人體動能增加而非推力做功或墻的支持力做功的結果。機動玩具汽車擰緊發條后松開，它就向前運動，這是其內部發條內力做功，將彈性勢能轉化為動能，而非地面靜摩擦力做功.同樣人走路，地面的靜摩擦力也不做功，而是人的內力做功的結果（從質點組的動能定理角度來看：人在運動過程中內力和外力做功之和等于人的動能的增量，而外力不做功，因此人在走路時仍然是人靠肌肉收縮做功，內力做功等于人的動能的增量。人的內力做功，從而把人體內的化學能轉化為機械能）。

為什么這一類問題中人們容易把內力功當成推力、摩擦力等做功呢？這些外力跟內力做功是否有什么聯系呢？我們再看一實例：

太空人在太空中如果不借助于其他助推作用，僅靠自己行走，那真將“寸步難行”。雖然人體內部肌肉內力仍在做功，人卻不能正常行走。

可以看出，單純由于內力做功不可能使物體組的動能增加。還必須借助于外力。也就是說：這些外力雖然不做功，但它們可以使內力所做的功的一部分轉化為物體組的平動動能。定量地說，它們可以控制究竟有多少內力功能夠轉化為質點組的動能，其效果就跟它們自己做功一樣。

再看下面一個問題：

一只足球以10m/s的速度豎直落地并以5m/s的速度豎直反彈，問整個過程中地面對足球做功嗎？

我個人認為地面對球一直不做功.理由：支持力的作用點沒有位移，不滿足做功的條件.

正如人沿樓梯上樓過程中（樓梯不動），支持力對人不做功一樣，但若自動扶梯將人帶上樓的過程中則支持力對人就做功.這里的“位移”應是力的作用點的位移，但對單個質點而言，物體位移與力作用點的位移是統一的，若物體不能看做質點時，此時力的位移只能是力的作用點的位移。從做功的角度來看，人在登樓時，地面對腳底有支持力時，腳沒有發生位移，腳騰空向上運動時，支持力消失，也就是說支持力的作用點沒有位移，故支持力不做功。實際上人在登樓時，已不能把人看作一個質點處理，而從質點組的動能定理角度來看，人所受外力和身體各部分之間內力做功之和等于人的動能增量，即內力與重力做功之和為零，這說明人的身體各部分之間的內力做正功。事實上人在爬樓時是人通過肌肉收縮做功，也就是人的內力做功，從而把人體內的化學能轉化為機械能與內能（人體五分之四的熱能來自肌肉收縮），即人的重力勢能是通過消耗人體的化學能能來轉化來的。但自動扶梯將人帶上樓的過程中，人可視為質點，此時支持力對人做功。