《圓面積的拓展練習》設計與教學

徐英飛

【教學內容】

人教版六年級上冊《圓的面積》之后的補增內容。

【課前設想】

六年級上冊的小學數學作業本上有這樣一道題：

如下圖，點O為圓心，正方形OABC的面積是20cm2，求圓的面積。

學生第一次碰到它時，說是不會做，原因是因為不知道半徑，于是我告訴學生“圓面積的計算公式是S=πr2，而r2就是正方形的面積，因此20cm2可以直接拿來用。可是過了一段時間，當學生再次碰到這道題目時，又不會了，問了原因，居然又是因為不知道半徑，于是只好再講一遍。但到期末時，在復習卷中又出現了這樣的題目，結果又有好多學生不會了，問了原因，居然又是因為不知道半徑，真是讓人又氣又急。

其實每次學生不會時，我都是講解得很認真的，但卻總是回到起點。于是我不得不進行反思：這道“大家都覺得困難且又反復出錯”的題目，真的靠教師簡單講一下就能解決嗎？如果能，為什么講了那么多遍還是見不到效果？是學生的記性太差還是我的教學出了問題，想必肯定是后者。于是我冒出一個念頭：類似于這樣的題目，能不能讓學生像新授課一樣經歷一個探究過程？

【教學過程】

一、舊知回顧

師：同學們，最近我們學習了有關圓的知識，你能回憶一下嗎？

生：圓有圓心、直徑、半徑、周長、面積……

師：怎樣計算圓的周長？字母公式是怎樣的？

生：直徑乘圓周率就是圓的周長，C=πd，C=2πr。

師：（課件出示：圓周長的一半）它的長度又該怎么算？

生：πr。

師：那么圓面積呢？

生：S=πr2。

師：這個公式又是怎么推導出來的？

生：把圓剪拼成一個近似的長方形，長方形的長等于圓的半周，也就是πr，寬是圓的半徑，也就是r，所以圓面積S=πr×r，也就是 S=πr2。

二、簡單練習

出示：已知 r=2cm，d=6cm，c=25.12cm，求圓的面積。

（學生自練，匯報，教師板書）

師：通過這道題，你明白了什么？

生：要求圓面積，必須得先知道半徑。

三、任務挑戰

出示：（如前圖）已知正方形的面積是20平方厘米，圓面積是多少平方厘米？

師：我們把這樣的正方形，稱為小正方形，接下來請同學們獨立解決。

教師巡視后板書：

20÷4=5（cm），3.14×52=78.5(cm2)。

師：你怎么看？

生：我認為是錯的，他是把20平方厘米當小正方形的周長了；另外，5厘米也不是圓的半徑，不然，小正方形的面積就是25平方厘米了。

師：如果允許你換個數字，你希望是多少？

生：4平方厘米，9平方厘米，16平方厘米，25平方厘米……

師：為什么？

生：因為這些數字可以分解成兩個相同的數字相乘，這樣就可以知道圓的半徑了。

師：假設小正方形的面積是9平方厘米，那么圓面積是多少平方厘米？請獨立完成。

教師巡視后板書：

方法一：9÷3=3（cm），3.14×3×3=28.26(cm2)；

方法二：3.14×9=28.26(cm2)。

師：對于這兩種方法，你怎么看？

生：我認為兩種方法都是對的，方法一是先求出圓半徑，然后再根據公式求出圓面積；方法二是把9直接拿來用了，因為小正方形的面積就是半徑的平方。

師：你更喜歡哪一種？為什么?

生：更喜歡第二種，因為更簡單。

師：我們再回到先前的挑戰題，現在你是否會做了？

生：3.14×20=62.8（cm2）。

師：你們同意嗎？為什么？

生：20平方厘米就是半徑的平方，因此可以直接拿來用。

師：假設小正方形的面積是1cm2，那么圓面積是多少？

生：1×3.14=3.14（cm2）。

師：如果是2cm2呢？

生：2×3.14=6.26（cm2）。

師：你發現了什么？

生：圓面積是這個小正方形面積的π倍。

師：所以圓面積還可以怎么求？

生：先求出小正方形面積，再乘π。

師：哪個字母公式更符合？

生：S=πr2。

師:那么根據剪拼，公式應該是怎樣的？

生：S=πr×r。

師：看樣子，不同的思路，公式的寫法也不一樣。

師：到現在為止，你有什么新的收獲？

生：要求圓面積，不是非得知道半徑；計算圓面積，可以從轉化成長方形開始，也可以從小正方形開始；同一個字母公式（π×r×r），不同拆分代表的意義不同。

師：現在有一個圓，半徑是4cm，要求它的面積，你準備走哪條路徑？請畫一畫，算一算。

生：3.14×42=3.14×16=50.24（cm2），先求小正方形面積，再求圓面積。

生：3.14×4×4=12.56×4=50.24（cm2），先求半周長，再求圓面積。

四、延伸拓展

1.小正方形的面積仍是20平方厘米，那么圓的外切大正方形的面積是多少平方厘米？

2.圓內接正方形的面積是40平方厘米，那么圓的面積是多少平方厘米？

3.已知正方形的面積是60平方厘米，你能求出跟它相關的圓的面積嗎？

五、全課總結

【課后反思】

1.先方后圓，也是計算圓面積的一條好路徑。

學生能夠熟記公式S=πr2，但未必能理解公式的真正含義，所以遇到作業本中的那道習題就不會了。或許他們知道πr2是由πr×r簡寫得到的，也知道πr×r是通過把圓轉化成長方形推導出來的，但從未想過S=πr2中的r2是代表什么意思。

這節課打破了學生固有的思維，從而走出了一條求圓面積的新路徑。同樣是三個字母相乘“π×r×r”，如果是分割成（πr）×r，那么就是“半周×半徑”，如果是分割成π×r2，那么就是小正方形面積的π倍。所以先方后圓，也是求圓面積的一種好方法。

2.延伸拓展，輕松理解圓與外切（內接）正方形的關系。

探究圓與外切（內接）正方形的關系，雖不是學生必須掌握的知識，但在教材的第74頁也出現了，它是通過計算來發現圓與外切正方形之間的關系，但過程是相當繁雜的。有了這節課，學生很輕松地就可以知道“圓外切正方形的面積與圓面積的比是4:π”。再比如圓內接正方形的面積與圓面積的關系，也只要稍微轉化一下就可以知道兩者之比是2:π。所以學好這節課，意義很大。

3.為數學知識拓展課，提供一點建議。

《浙江省教育廳辦公室關于建設義務教育拓展性課程的指導意見》指出：拓展性課程可分成“知識拓展、體藝特長和實踐活動”，小學主要開設體藝特長類和實踐活動類課程，到了初中再增加知識拓展類課程。這就意味著小學主要是后兩類，如果再細分到數學課程，那么只有“實踐活動類”了。但筆者認為小學數學也需要有適當的知識拓展課程，因為當下，“例題簡單而練習困難”是真實的現狀，但當面對較難的練習題時，往往是教師自己講一下，結果導致學生不懂或一知半解，等到下次再碰到這樣的題目時又不會了。所以筆者很希望有這樣的課，可以讓學生對這樣的難題好好探究一下。本文中說到的題目，就是非常好的例子，它以基本知識為主，又脫離奧數題，所以對于好中差學生都極為有利。