從數學史中汲取營養
———《用字母表示數》教學設計

卞慶龍

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第99～100頁。

【教學過程】

一、與史同步，經歷知識產生過程

1.感知——初步理解用字母表示數。

（課件依次出示用小棒圍成的1個、2個、3個三角形）

師：像這樣用小棒圍成不連續的1個、2個、3個三角形，各需要多少根小棒？如果再繼續圍3個、4個、5個三角形，還各需要多少根小棒？怎樣列式表示圍每種三角形所需小棒的根數？

（學生說，教師板書算式）

師：你們能繼續擺下去嗎？你想擺多少個三角形？需要多少根小棒？

（教師指多名學生回答）

師：你知道三角形的個數和所用的小棒根數有什么關系嗎？

師：大家想擺的三角形個數各不相同，你們能用一個式子既能表示我們已經擺好三角形所用小棒根數，又能表示我們心中想擺出的三角形所用小棒根數嗎？請大家寫在作業紙上。

教師展示:所用小棒根數=a×3。

師：a表示什么？a×3表示什么？

生：a表示擺成的三角形個數，a×3表示所需小棒的根數。

師：小棒根數也就是數量，也就是說a×3能夠表示數量。（板書：數量）

師：a能表示1個三角形嗎？能表示2個三角形嗎？能表示3個、4個三角形嗎？a能表示你心中想擺的三角形嗎？

生：能。

生：a表示變化的數。

師：a能取小數嗎？a能表示分數嗎？

生：不能，這里a只能表示自然數。

師：原來a表示的數是有范圍的。

師：這里的3為什么不用字母表示？

生：3是我們已經知道的，是固定不變的數，所以不需要用字母表示，我們用字母表示變化的數，一道式子就可以表示所有的答案。

師：通過擺三角形我們知道：變化的數量可以用字母表示，同一個字母可以表示很多的數。已經知道的固定不變的數不需要用字母表示。

2.感悟——進一步用字母表示數。

師：（出示一個黑布袋，神秘一晃）黑布袋中有50元錢，知道由哪些面值的貨幣組成嗎？

（教師從袋中掏出部分1元、5角、1角的錢幣）

師：如果用去10元，剩下多少元？

師：如果用去15.8元，剩下多少元呢？

師：如果讓你去買文具，你想用多少錢去買文具，還剩下多少元？

……

師：你能用一個式子表示用去一部分錢后，剩下的錢數嗎？

生1：如果用字母a表示用去的錢數，剩下的錢數就是50-a。

生2：如果用字母b表示用去的錢數，剩下的錢數就是50-b。

……

師：我們可以用不同的字母表示用掉的錢數。這里為了交流的方便，我們把用去的錢數用字母b表示，剩下錢數就用什么表示？

（學生說，教師投影：50-b）

師：這里50表示什么？b表示什么？50-b表示什么？

生：50表示原有的錢數，字母b表示用去的錢數，50-b表示剩下的錢數。

師：50-b表示剩下的錢數，錢數也是一個數量，50-b表示數量；而且在“50-b”中，通過50-b我們清楚看出原有的錢數、用去的錢數和剩下的錢數三者之間的關系。

（教師相機板書：數量關系）

師：這兒的b可以表示哪些數？

生1：可以表示10元。

生2：可以表示15.8元。

……

師：也就是說字母b可以表示變化的數。

師：b能表示小數嗎？b能表示分數嗎？

二、了解簡寫規則由來，掌握代數式簡寫方法

師：如果用S表示長方形的面積，長方形的長是a,寬是4，這個長方形的面積怎么表示？

生：S=a×4。

師：如果長方形的長是x,寬是4，面積該怎么表示呢？

生：x×4。

師：德國數學家萊布尼茨發現乘號和字母X很像，就提出如下建議：

課件出示：

你知道嗎？

德國數學家萊布尼茨認為“×”容易與字母“x”相混淆，建議用“·”表示乘號；如果有數，數要寫在字母的前面。這樣，用“·”標志乘號得到了廣泛的承認。如今，歐洲大陸派（德、法等國）規定以“·”作乘號。其他國家則以“×”作乘號，“·”為小數點。而我國則規定以“×”或“·”作乘號都可，一般用于字母或括號前的乘號可略去。

教師請學生根據上述規定重新說說a×4、x×4 的寫法，并根據學生回答相機板書a×4=4·a=4a。x×4=4x。

師：a×4可以看成表示4個a，你覺得哪種寫法看起來更簡潔。

生：4a和a×4都表示4個a，但是4a看起來更簡潔。

師：a×1該怎樣簡寫呢？

生：a×1=a。

師：為什么等于a？

生：任何數乘1得原數。

師：開始我們寫的a×3該怎么簡寫呢？

請學生在作業紙上寫一寫。

師：如果正方形的邊長是a，那它的面積是多少？

生：a×a。

投影課件出示：

你知道嗎？

1636年，蘇格蘭人蘇姆對a×a的形式做了簡寫，寫成aa的形式。一年后，數學家笛卡爾對此進了了改良和推廣，把a×a寫成 a2，表示 2個 a連乘，讀作“a的平方“ ”。現在世界各國普遍采用笛卡爾的縮寫方法。

（學生讀）

師：請大家說a×a可以怎么簡寫？怎么讀？b×b怎么簡寫？c2等于什么呢？

（學生練習后集體交流，教師相機教學a2與2a的區別）

師：如果用字母 a、b、h 分別表示梯形的上底、下底和高，梯形的面積公式可以怎么表示呢？

生：S=（a+b）h÷2。

師;這里的加號、除號能省略嗎？

生：不能。如果省略加號、除號，人們就會把它們誤解為乘法了。

師：對，在含有字母的式子中，只有乘號可以省略，加號、減號、除號是不能夠省略的。

三、以史為鑒，滲透代數思想

出示表格。

師：（指 5×3=3×5）這是我們以前學過的什么運算律？

生：加法交換律。

師：加法交換律用字母怎么表示？

生：a+b=b+a。

師：5×3=3×5也能表示加法交換律啊？

生：5×3=3×5只能表示一種特殊情況，不能代表其他情況。而a+b=b+a能表示所有的情況。

師：也就是說用字母表示加法交換律具有高度的概括性。

師：［指 8×（3+5）=8×3+8×5］這是我們以前學過的什么運算律？

生：乘法分配律。

師：用語言敘述一下乘法分配律的內容。

生：兩個加數的和與一個數相乘，可以先把這兩個加數分別與這個數相乘，再把乘得的積相加，得數不變。

師：乘法分配律用字母怎么表示？

生：(a+b)×c=a×c+b×c。

師：字母表達式和文字表達相比，你覺得哪種表達方式好？

生：字母表達式好，字母表達式比文字表述更簡潔、更明白。

師：用字母表示運算律、公式，不僅概括，而且簡潔。當然，我們在用字母表示運算律、公式的時候，一定要理解字母表達式所表示的意義。

四、課堂總結，揭示課題（略）