溝通聯系承上啟下
———《商的變化規律》教學設計與解讀

李春英（特級教師）

一、復習和差變化規律，激發探究規律興趣

1.復習和的變化規律

師：（出示5以內加法表）還記得這張表嗎？你能從這張表中發現什么規律？

師：（板書：從上往下，從下往上）還可以怎么看？還能發現哪些規律？

小結：這是一年級上學期的一個表格，從不同的角度觀察，我們會發現不同的和的變化規律。

【解讀：從最簡單的5以內加法表格的規律開始，降低找規律的難度，提高找規律的表達。雖然也可以直接從積的變化規律入手，但是考慮到商的變化規律應該是加減乘除中的最后一個變化規律了，有必要在這節課讓學生們完整地感悟和差積商之間的聯系。而且重要的不是發現規律，而是能夠用簡潔精煉準確的數學語言表達自己的發現。】

2.復習差的變化規律

師：（出示20以內退位減法表）這張表格中的規律你能說一說嗎？

師：橫著看誰不變？豎著看誰不變？斜著看誰不變？

師：在什么不變的情況下，一個數加1，另一個數要減1呢？為什么？

小結：從不同的角度觀察，我們都能發現有一個數是不變的。為什么其他兩個數都發生了變化，而這個數可以不變呢？這里藏著的是差的變化規律。

【解讀：差的變化規律和商的變化規律有著極其相似之處，它不僅能夠為商的變化規律提供方法上的支撐，還能為商的變化規律的總結提供語言上的幫助。】

二、復習積的變化規律，探究商的變化規律

1.復習積的變化規律。

師：（出示下圖）快速口算，你能用一句話說一說你發現的規律嗎？

師：（出示下圖）剛才我們是讓乘法中的其中一個因數不變，現在我們讓乘法中的積不變。你能填出方框中的數嗎？你能用一句話說一說規律嗎？

師：你覺得找規律的時候，先找到哪個數比較容易發現規律？

師：你是怎么發現不變的數的呢？

小結：這是我們剛剛學過的積的變化規律。我們可以先找到不變的數，再找到變化了的數，然后分析變化了的數的變化特點，最后用準確的語言表達出來。

【解讀：積的變化規律和商的變化規律是相通的，因為乘和除的運算本身就是互逆的。四年級的學生對乘除之間的互逆關系應該非常熟悉了。二年級學習乘法口訣的時候，用一句口訣寫出4個算式的訓練就是基礎。這里埋下伏筆，意在用這個材料進行轉化，一旦轉化成功，商的變化規律便呼之欲出，水到渠成了。】

2.探究商的變化規律。

師：和有變化規律，差有變化規律,積也有變化規律，猜一猜，商有變化規律嗎？

師：怎樣來探究商的變化規律呢？用大表格還是小表格？為什么？

師：你可以用剛才這幾個表格來探究商的變化規律嗎？

生：可以。把剛才的乘法表格轉化成除法表格就可以了。

師：怎么轉化？請你選擇其中的一組在練習本上寫一寫。

師：通過變形，我們成功地把3組乘法算式轉化成了4組除法算式。觀察這四組算式，你能找到每組算式中不變的數嗎？圈一圈。

師：這些不變的數分別在除法算式中的哪一個位置上？同桌互相說一說。

師：你能像老師剛才出示的乘法算式一樣，把這4組算式也寫成表格的形式嗎？試一試。

反饋并呈現算式表格：

表1　

表2

表3　

表4

師：這四個表格中藏著除法中商的變化規律。剛才我們已經找到了每組算式中不變的數所在的位置。請你仔細觀察每組算式中其他兩個數是怎樣變化的？有什么規律？

師：請同學們四人小組合作探究。

【解讀：學生寫算式表格形式的過程其實也是他們體會變與不變關系的過程。在寫的過程中，首先要把不變的數單獨放在一個位置上，不用畫表格；其次要用一一對應的思想把剩下的兩個數放進相應的表格里。當學生能夠用這樣的形式表示出這幾組除法算式的時候，也是他們完成觀察這幾組除法算式數據特點的時候。】

3.提煉商的變化規律。

師：通過四人小組的合作討論，誰能說一說你們發現的規律？

師：觀察表1，你發現了什么規律？

生：從上往下觀察，除數不變，被除數乘幾，商也乘幾。

生：從下往上觀察，除數不變，被除數除以幾，商也除以幾。

師：你們知道“商也乘幾”或者“商也除以幾”中的“也”是什么意思嗎？

師：你們能再找幾個例子驗證一下嗎？

小結：發現一個規律之后要進行驗證。多舉幾個例子來證明自己的發現是正確的。

師：觀察兩個表2，你發現了什么規律？先試著用準確的語言和同桌說一說。然后舉幾個例子驗證一下你發現的規律，看看是否正確。

（反饋同桌交流情況）

師：觀察表3，你又發現了什么規律？你能很快說出來嗎？自己試著說一說。

（多請幾個學生來說）

師：這個規律中，誰是不變的？除了先說不變的數之外，你還有別的說法嗎？試一試。

生：可以先說變化的，再說商不變。

師：把“商不變”這三個字放到最后去說，請你試一試。

師：這個數可以是任意一個數嗎？為什么？

生：不可以是0。因為0不能作除數。

生：因為同時乘0兩邊都得0，看不出變化規律，沒有意義。

【解讀：商不變的規律教學處理與前兩個稍有不同，是讓學生獨立思考并總結提煉的。不論從哪一個角度來表達這個規律，只要是學生自己總結的，就要給予充分肯定。】

師：你能再舉幾個例子驗證商不變的規律嗎？通過舉例你又有什么新的發現？

生：我發現商不變的規律能幫助我們簡便計算。

小結：通過觀察4個算式表格，我們發現了商的三個變化規律。這三個變化規律既有區別也有聯系。而且這些規律能讓計算更加簡便。

三、閱讀商的變化規律，運用商的變化規律

1.閱讀商的變化規律。

師：請同學們打開數學書第87頁，自己閱讀。想一想，你剛才總結的語言和數學書上的一樣嗎？哪點不一樣？為什么？

師：找出第87頁中你認為最關鍵的詞，圈一圈。和你的同桌說一說，為什么說這個詞是最關鍵的？

師：在你覺得還不理解的地方畫上“？”，問一問你的小伙伴。

反饋：“同乘”是什么意思？“同除以”呢？

師：你能把書上的例子繼續寫下去嗎？以第（3）個為例，你還能寫多少個這樣的算式？為什么？

小結：同樣，（1）和（2）也能寫出無數個這樣的算式。有興趣的同學友可以試一試。

【解讀：閱讀數學書也是一種能力。可以先閱讀再教學，也可以先教學再閱讀。因為對教材的解讀不僅僅是教師的專利，學生同樣有解讀教材的權利。通過閱讀，進一步加深對規律的理解。能寫出無數個這樣的算式不僅是對商不變規律的再運用，而且滲透了極限思想。】

2.運用商的變化規律。

基本練習：獨立完成第87頁“做一做”。同桌互批。

反饋：請三個學生分別報一組得數。

教師追問：這樣的算式還有嗎？運用了哪一個規律？同桌互相說一說。

師：請同學們獨立完成第89頁第1題。

集體反饋：請你說出完整的過程。如120÷30=12÷3=4，被除數和除數同時除以10，商不變。

小結：運用商不變的規律，可以使看似復雜的計算變得簡便。關鍵是要看清楚算式中的數字特征。

師：請同學們看書第89頁第5題。以搶答的形式很快說出商來。

小結：第1題和第5題的每個算式中都有明顯的特征，一眼就能看出來被除數和除數同時要除以幾。如果算式中數字特征不明顯，你還能很快說出商來嗎？

【解讀：仔細研究教材中的題目，你會發現每一道題目都有它獨特的教育教學功能。所以不要急于跑到教材外邊尋找練習題目，先好好分析教材中的這些題的價值，充分利用，然后適度開發與拓展。】

綜合練習：出示 280÷35、180÷36

師：你能把它們轉化成除數是一位數的除法算式來口算嗎？根據是什么？

師：你能再舉幾個例子考考你的小伙伴嗎？

小結：看到除法算式，先觀察算式中被除數和除數的數字特征，就像剛才的這兩道題目一樣，如果我們沒有觀察到它們的數字特征，就要列豎式來計算了；如果我們能夠觀察到它們的數字特征，就可以運用商不變的規律使計算簡便。

師：（出示 700÷25、1000÷125）你能運用今天學的規律進行簡便計算嗎？有幾種方法？試一試。

小結：為了使計算簡便，我們可以根據數字特征選擇同乘還是同除。同乘簡便就選擇同乘，同除簡便就同除。

拓展練習：100÷25=400÷（ ）=（ ）÷200=（ ）÷（ ）=1÷（ ）

課堂總結：今天我們通過觀察算式特點發現了商的變化規律，通過驗證總結了商的變化規律，通過運用靈活了商的變化規律。如果你忘記了這些規律，不要著急，你可以想一想我們今天學習的方法，自己寫幾個式子重新找到規律。方法永遠比知識更重要！

【解讀：通過一組有層次的題目，在運用規律的過程中體會規律的價值，并達到靈活運用發展思維的目的。】