“演”活數(shù)學(xué)模型“變”出數(shù)學(xué)本質(zhì)
———《相遇問(wèn)題》教學(xué)實(shí)錄

王　潔

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，激活經(jīng)驗(yàn)

（小麗每分鐘走55米，10分鐘到學(xué)校。小麗家到學(xué)校一共多少米？）

師：你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：55×10=550（米）。

師：在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，用到了哪個(gè)數(shù)量關(guān)系？

生：速度×?xí)r間=路程。

師：小麗從家到學(xué)校的路程，就是小麗10分鐘走的路程，所以用速度×?xí)r間=路程來(lái)計(jì)算。這是過(guò)去學(xué)習(xí)的一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，我們今天一來(lái)起研究?jī)蓚€(gè)物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。

二、情境表演，建立模型

1.模擬兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，理解相遇問(wèn)題的基本特征。

（出示：小華和小芳同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校，小華每分走60米，小芳每分走70米，經(jīng)過(guò)4分鐘兩人在校門(mén)口相遇。他們兩家相距多少米？）

第一次表演：初次嘗試。

生：我覺(jué)得他倆出發(fā)的時(shí)候不齊，一個(gè)先走，一個(gè)后走。

師：那應(yīng)該怎樣演？

生：要一起出發(fā)。

師：你從哪兒看出來(lái)？

生：“同時(shí)”，說(shuō)明兩人要一起出發(fā)。

生：小華和小芳的速度沒(méi)演好，應(yīng)該小華慢一點(diǎn)，小芳快一點(diǎn)，最后還要同時(shí)到達(dá)。

生：“小華每分走60米，小芳每分走70米”，說(shuō)明兩人的速度不同。

生：“4分鐘”，那說(shuō)明小華走了4分鐘，小芳也走4分鐘。

生：我覺(jué)得“走向?qū)W校”也很關(guān)鍵。

師：說(shuō)明兩人的行走方向是怎樣的？用一個(gè)詞表示？

生：“相遇”，最后相遇了。

師：相遇的地點(diǎn)在哪里？

生：學(xué)校。

第二次表演：把握關(guān)鍵。

師：學(xué)校為什么不在兩人正中間？

生：因?yàn)樾∪A和小芳都走了4分鐘，而小華的速度慢，4分鐘走的路程就短一些，小芳的速度快，4分鐘走的路程就長(zhǎng)一些。

師：首先演出哪個(gè)詞？

生：同時(shí)。

師：接下來(lái)要演出哪些關(guān)鍵詞？

生：速度，時(shí)間。

師：兩人的速度不同，時(shí)間卻都是4分鐘，準(zhǔn)備怎么演？

生：我覺(jué)得可以讓小華的一步跨小點(diǎn)，小芳的一步跨大點(diǎn)，每人都跨4步表示4分鐘。

第三次表演：“演”“畫(huà)”結(jié)合。

師：請(qǐng)觀(guān)眾們把表演過(guò)程記錄下來(lái)。想一想用什么方法怎樣記錄既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)潔？

生：畫(huà)線(xiàn)段圖。

師：同學(xué)們的記錄都很有個(gè)性，讓我們來(lái)一起看看。

師：用這種記錄方式，你們能看懂嗎？有什么要說(shuō)的嗎？

生：記錯(cuò)了，兩個(gè)人都走了4分鐘，他兩邊都畫(huà)了3個(gè)箭頭，只記了3分鐘。

師：看得真仔細(xì)，記錄的時(shí)候準(zhǔn)確是前提。

師：這里的 1、2、3、4 的小格子是什么意思？

生：小華那邊的小格子表示小華的速度，小芳那邊的小格子表示小芳的速度，1到4表示走了4分鐘。

生：圖畫(huà)得很好，但是小華和小芳的速度不知道。

師：說(shuō)得對(duì)。記錄的時(shí)候要不僅要把圖畫(huà)準(zhǔn)確，還要盡可能把速度、時(shí)間等關(guān)鍵信息記下來(lái)。

師：再看這位同學(xué)記錄的，位置正確嗎？關(guān)鍵信息都有嗎？

師：對(duì)比三種方法，你喜歡哪種？理由是什么？

生：第三種。因?yàn)榈谌N記得對(duì)，而且把關(guān)鍵的信息都記下來(lái)了。

師：是的，畫(huà)線(xiàn)段圖的時(shí)候要將題中的出發(fā)點(diǎn)、相遇點(diǎn)、關(guān)鍵的條件和問(wèn)題都表示清楚。

2.解決問(wèn)題：明晰道理。

師：看著圖，你能分析數(shù)量關(guān)系并解答嗎？

生：70×4+60×4=280+240=520（千米）。

師：70×4 算的什么？60×4呢？280+240指什么？

生：280是小芳4分鐘走的，240是小華走的，把它們加在一起就是一共走了多少米，也就是他們兩家的距離。

生 ：（70+60）×4=130×4=520（千米）。

師：70+60算的是什么？

生：70+60算的是小華和小芳1分鐘一共走了多少米。

師：為什么還要乘4？

生：因?yàn)樽吡?分鐘，就是4個(gè)130米。

師：70是小芳的速度，60是小華的速度，把兩個(gè)速度合起來(lái)，就是兩人的速度和。他們一起從出發(fā)到相遇，共走了幾個(gè)速度和？

生：4個(gè)速度和。

師：仔細(xì)對(duì)比一下，觀(guān)察兩種算式，你想到了什么？

生：乘法分配律。

師：看來(lái)，解決這樣的問(wèn)題時(shí)，我們可以應(yīng)用乘法分配律由一種方法得到另一種方法。

師：像這樣，兩人所走的路程和就等于相距路程的問(wèn)題，稱(chēng)為相遇問(wèn)題。（板書(shū)課題）

師：回顧解決問(wèn)題的過(guò)程。你覺(jué)得解決相遇問(wèn)題的過(guò)程中，哪個(gè)環(huán)節(jié)讓你印象深刻？解決問(wèn)題的過(guò)程中又是什么給了你幫助？

生：我感覺(jué)表演印象很深，因?yàn)楸硌莺苡腥ぃ€幫助我們找到了關(guān)鍵信息。

生：畫(huà)了圖列算式更方便。

師：通過(guò)表演，抓住了題中的關(guān)鍵信息；通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖，找準(zhǔn)了數(shù)量關(guān)系；通過(guò)分析線(xiàn)段圖，找到不同的解題方法，還發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。學(xué)習(xí)就是這樣一個(gè)不斷深入的過(guò)程。

三、變式辨析，深入理解

1．線(xiàn)段圖變式。

師：這是剛才的線(xiàn)段圖。什么變了？什么沒(méi)變？

生：方向變了，速度和時(shí)間沒(méi)變。

師：剛才兩人是相對(duì)而行，現(xiàn)在呢？

生：現(xiàn)在是相反而行。

師：也可以稱(chēng)為相背而行。什么時(shí)候兩人會(huì)相背而行？

生：放學(xué)的時(shí)候。

2．對(duì)比深化。

師：（出示兩幅圖）兩個(gè)故事，兩幅圖，有什么相同的地方和不同的地方？

生：速度和時(shí)間是一樣的，問(wèn)題也一樣，但是走的方向不一樣。

生：算式是一樣的。

師：行走方向不一樣，為什么解答方法是一樣的？

生：因?yàn)闂l件沒(méi)變，問(wèn)題也一樣。

生：因?yàn)槎际乔髢扇艘还残卸嗌倜住?/p>

師：雖然兩個(gè)故事中兩人行走方向不同，但是數(shù)量關(guān)系是一樣的，都是把兩人行走的路程相加求路程的和。（手勢(shì)比劃）所以這樣的相背問(wèn)題也屬于相遇問(wèn)題的范圍。

3．簡(jiǎn)化線(xiàn)段圖。

師：（將題中的問(wèn)題改成經(jīng)過(guò)30分鐘，兩人相距多少米）還是放學(xué)的故事，什么變了？

生：時(shí)間變了。

師：30分鐘怎樣在線(xiàn)段圖上表示出來(lái)？

生：畫(huà)30個(gè)小格子。

生：我不同意，這樣太麻煩了，可以先每人畫(huà)一個(gè)格子，中間用省略號(hào)，就不用一個(gè)一個(gè)都畫(huà)出來(lái)了。

生：可以把小格子去掉。

師：好主意，這樣清楚又簡(jiǎn)潔。瞧，現(xiàn)在我們得到了一張比較簡(jiǎn)潔的線(xiàn)段圖。其實(shí)線(xiàn)段圖的畫(huà)法沒(méi)有統(tǒng)一的格式，只要基本能將學(xué)校、小芳家、小華家的位置關(guān)系、條件和問(wèn)題準(zhǔn)確、合理、簡(jiǎn)單地在圖上表示出來(lái)就可以了。

師：看著圖能列出算式嗎？

生：60×30＋70×30=1800+2100=3900（米）。

生：（60＋70）×30=130 ×30=3900（米）。