開放教學
———“理”大于“算”———《三角形的面積計算》課堂片斷及反思

林　玲

【教學內容】

浙教版五年級上冊第76頁。

【教學目標】

經歷尋找及說明相等面積的三角形的活動，進一步理解和掌握三角形的面積計算方法，強調空間觀念的發展和邏輯推理能力的培養。

【教學重點、難點】

發現等底等高的三角形的面積相等。在組合圖形里找到三角形的底和高。

【教學過程】

小環節1：創造學習材料

圖1

師：如果從7個頂點里任選3個，用線段依次連接起來，可能得到什么圖形？

生：三角形。

師：你們怎么知道是個三角形呢？怎么想？

生：不在同一條直線上的三個點相連，連出三角形。

生：如果將同一條直線上的三個頂點用線段依次連接起來，會是一條線段。

師：同學們的空間想象能力真不錯！

師：任選三個頂點，用線段依次連接，可以畫出很多不同形狀的三角形。大家一起動手試試。

（學生將畫好的作品貼到黑板上，要求一種形狀的三角形只貼一個）

小環節2：尋找面積相等的三角形

師：如果大正方形的邊長是8，小正方形的邊長是4，哪些三角形的面積最容易求出來？

生：（指著圖8）這種在小正方形里的三角形面積最好算。小正方形的邊長是4，4乘4得16，小三角形的面積是它的一半，16除以2等于8。

師：剛才他是求出小正方形面積的一半，你還有其他方法嗎？

生：因為三角形的面積等于底乘高除以2，這個三角形的底和高都是小正方形的邊長4，所以用三角形公式也能求出。

生：（將圖2、圖3與圖8移到一起）這些三角形正好占小正方形面積的一半，它們的面積都相等。

師：（圈畫圖2、圖3和圖8）關于這一類，你還有什么疑問嗎？

……

師：（拿出圖6）哪個圖形的面積與它相等呢？

生：圖4中三角形的面積與它是相等的。我們可以看到這兩個大三角形的面積都是大正方形面積的一半，所以他們的面積是相等的。

生：我有補充。圖5和圖7與它們也是相等的。（學生到黑板將圖4、5、6、7移到一起）大家看！要判斷這幾個三角形的面積是否相等，是不需要計算的。因為涂色部分不涉及小正方形，我們可以不看小正方形，剩下大正方形部分，通過旋轉或者翻轉，完全重合，從而可以得知它們的面積相等。

師：不“算”，從“形”上思考面積，很有特色，值得我們學習。

生：還有圖9中三角形的面積也與它們相等。

師：哦，又有新發現。理由？

生：我用拼組的方法，發現它的面積也是大正方形面積的一半。

師：是不是只能用拼的方法才能求得這個三角形的面積呢？

生：我們可以看到圖 4、5、6、7中三角形的底和高都是8，圖9中三角形的底是大正方形的一條邊，而高與正方形的另一邊平行，也是8厘米。底和高的數據都一樣，面積肯定相等。

師：（遞上尺子）請在圖上畫出高。

生：（一邊作高，一邊說）因為這5個三角形的底和高都是8，所以面積相等。

師：真會思考！同學們有用拼組的方式求出三角形面積的，也有從找底和高的方式來獲取面積的。

生：我們發現等底等高的三角形面積相等。

師：黑板上還有好多的圖呢！大家在畫圖時，老師也畫了（出示圖16）。請你在剩余在三角形中找出與圖16三角形面積相等的圖形。

圖16

生：（指著圖16和圖10）兩個三角形的高對著大正方形的邊長是8，底是小正方形的邊長4，所以推算出這兩個三角形的面積相等。誰還有補充？

生：我有疑問，你怎么知道這個鈍角三角形的高就是大正方形邊呢？

生：這兩個三角形的底都是4很容易看出，而高呢？我們需要畫一畫。

師：把尺子給你，畫一畫標上數據，會更有說服力。

生：（給圖16中鈍角三角形作高）這兩個三角形的底都是4，高都是8，所以面積相等。

師：剛才是通過找底和高，來確認了三角形的面積。還有嗎？

生：我又找到了兩個，它們的底都是4，高也都是8，所以面積與上面兩個三角形的面積相等。

師：同學在找面積相等的三角形時，關注的點在哪？

生：底和高。

師：等底等高的三角形面積相等。

……

【教學反思】

一、開放自主的學習材料

本題中，從7個頂點里任選3個，用線段依次連接起來，一共有35種圖形情況：其中2種是在同一直線上的，另33種則連接出一個三角形。先讓學生預想圖形，發展空間想象能力，再引導他們動手繪制，幫助更多的學生完善圖形的表象，感性認識圖形的構成方式。從課堂即時生成的作品中選取進一步研究的材料，極大地激發了學生主動參與學習的熱情。

二、開放有序的交流空間

本課全班共繪制生成了14種不同的三角形，觀察與計算這些三角形的面積有難有易。教師的教學責任一是通過有意識地提出一些問題來溝通這些學習材料，挖掘面積計算中更為本質的內容；二是組織不同層次的學生通過相互的交流各有所得，各有提高。交流主要分兩步：首先，讓學生找出比較容易計算面積的三角形。一方面可以讓學習能力較弱的學生，有一個認知和情緒上的緩沖；另一方面，這是進一步活動的基礎，借助這些構造極為簡單的三角形，學生可以知道三角形面積推理的基本方法——對應底高和圖形變換。進而，聚焦“找面積相等的三角形”，學生相互補充、相互質疑、相互解釋，在層層遞進的對話中，個體的思考豐富了群體的認識，而群體的認識又反過來使個體的思考走向明晰和自覺。

三、開放有效的問題解決

“找面積相等三角形”的方法很多，完全可以通過逐個計算、比較數值來解決，但這樣做，機械執行三角形面積計算法則的成分高，思考與辨析的成分低?！靶滤季S”數學的幾何教學，重視在動態變換的過程中發展學生的空間觀念。這對學生形成了挑戰，而正因為有挑戰，學習才有增量。本課既鼓勵學生尋求不同的解題策略，又有意識地引導和強化圖形變換這一角度，提倡“推理”重于“計算”，使學生對于三角形的圖形分析和面積計算趨向靈活，在靈活的基礎上達到更深層次的理解和掌握。