重視過程　感悟思想　提升能力
——《數學思考》教學

蔡立東

【教學內容】

人教版六年級下冊第100頁例1。

【教學過程】

一、談話設疑，激趣導入

1.激趣設疑。

師：同學們，我們班有多少人？我們班40個同學，加上老師就是41人，如果我們每人握一次手，需要握多少次？為什么不是41次呢？

師：如果41個人，每兩個人握一次手，一共要握幾次手呢？

揭題：這節課我們就一起用數學的方式來思考這個問題。（板書：數學思考）

2.體驗與思考。

師：為了便于研究，我們用小圓點來代表人，兩點間的線段代表握手。有多少線段就代表握手多少次。請同學們拿出1號學習單，試著畫一畫、數一數。

師：（現場采訪）你連線的時候有什么感受？有什么困難嗎？

師：數量多很難數清楚，對于這種復雜的問題，該怎么開始研究呢？41個點太多，那我們就“化繁為簡”（板書：化繁為簡），從簡單的開始入手，你們認為最少可以從幾個點開始研究？然后逐步增加點數，尋找其中的規律（貼板書：找規律）。

二、逐層探究，發現規律

1.自主探究，感知規律。

師：為了更好地研究，先來讀一讀同桌2人合作要求：先連線，再把相應的數據填在表格中，最后把你們發現的規律在四人小組內交流。請拿出2號學習單，開始研究吧！（黑板貼“點數”“線段條數”“2 個點～5 個點”）

師：同學們，你們完成了嗎？先請一組同學來匯報，隨著點數的增加，線段條數分別是多少？那你們找到規律了嗎？

小結：看來同學們對點數和線段條數有了初步的感知，為什么點數是一個一個增加，線段條數卻2條3條4條遞增加呢？下面，我們繼續來深入思考與研究。

2.再次探究，理解規律。

（1）探尋新增條數的內在規律：新增加的點要與之前的點分別相連。

師：同學們，我們知道2個點只能連1條線段，（板書：1條）。3個點時能連3條線段，3個點比2個點時增加了2條，你們能用紅色水彩筆畫出增加的2條線段嗎？（學生用水彩筆描出增加的2條線段，并展示學生作業）為什么是這兩條呢？

師：再增加一個點，變成4個點時，增加了哪幾條線段？增加到5個點時，又增加了哪幾條？請你們用水彩筆把增加的線段畫出來！（學生用水彩筆描出增加線段，并展示學生作業）

師：同學們，再次連線段后，你們有新的發現嗎？

生：新增加的點要與之前的點分別相連。

小結：為了讓大家能更直觀地認識，我們一起來看電腦演示。按照你們的發現，你覺得再增加一個點變成6個點會新增幾條線段？為什么？

（2）歸納線段條數的計算規律。

師：3個點能連多少條線段，用算式怎么表示？（板書：1+2=3條）

師：現在，4個點和5個點時，分別能連多少條線段，你能用算式表示嗎？

生：4 個點，3+3=6。

師：這兩個3分別是什么意思？也就是在1+2的基礎上又增加了3條。(板書：1+2+3=6條)5個點時能連幾條線段？怎么列式？

生：1+2+3+4=10（條）。

（板書：1+2+3+4=10條）

師：你是怎么想的？也就是在1+2+3的基礎上又增加了4條。

師：如果是6個點，不連線，你知道一共可以連成多少條線段嗎？你是怎么得出的，為什么？（板書：1+2+3+4+5=15）

師：8個點呢？你能寫出算式嗎？把算式寫在1號學習單的背面。你們是怎么列出這個算式的？請大家觀察點數和線段條數的算式，你有什么發現？為什么要加到7為止？

師：怎樣計算線段條數，誰能用自己的語言歸納一下？（板貼：歸納）只要知道點數是幾，就可以從1開始，一直加到比點數少1的那個數為止，所得的和就是線段總數。

師：現在你們能解決41個點的問題了嗎？誰來說說，該怎么列式？

生：1+2+3+……+40=820

師：為了書寫方便，我們寫出前面的2～3個數后，中間的數我們可以用省略號來代替。怎么計算更方便？

師：同學們，其實這就解決了課一開始41個人握手的問題。這兩個問題，本質上是一樣的。來看看剛才有沒有同學答對呢？

師：如果點數繼續增加，你還能很快地說出算式嗎？100個點？n個點呢？

生：1+2+3+……+（n-1）。（板書）

3.歸納小結，提煉方法。

師：請大家回顧一下，在剛開始我們覺得“41個點連成多少條線段”這個問題點數太多很難，現在多少個點都難不住大家了，這是為什么呀？

師：我們是怎么找到規律的？（先從2個點開始研究，在研究的過程中發現規律，利用規律進行計算）

師：我們剛才在解決這個問題的過程中，用到了一個非常重要的思想方法，那就是“化繁為簡”。從2個點的簡單例子開始，通過觀察，分析，找出內在的規律，然后歸納出一個結論，最后解決問題，這是一種推理的思想方法，（板書：推理）是研究問題的重要方法。

三、思考與應用

師：希望同學們在感受與理解這些數學思想方法后，能借助它們更好地解決問題。

1.桌椅問題。

陽光小區近期將舉行百家宴，社區主任將擺桌的任務交給我們同學。1張桌子可以坐6人，2張桌子可以坐10人，按這樣的擺法，10張桌子拼在一起，一共要搬多少把椅子？

師：你是怎么算的，說說你是怎么思考的？還有不同的思考與算法嗎？（6+4×9=42、4×10+2=42、6×10-2×9=42 或5×2+8×4=42）

師：如果是25張桌子呢？（4×25+2=102,6+4×24=102或6×25-24×2=102）

師：如果是n張桌子呢？［4n+2，6+4（n-1）或 6n-2（n-1）］通過計算，我們可以發現，這3個算式是相等的，都可以用4n+2來表示。

師：剛才我們把兩張桌子的短邊拼在一起，有時候也可以把長邊拼在一起。那么，這時10張桌子要擺多少把椅子呢？

2.擺一擺、找規律。

師：這些圖形都是由小棒擺出來的，如果接著擺下去，想一想，第6個會是什么圖形？你是怎么知道的？

師：你知道第7個是什么圖形，第7個圖形需要用多少根小棒？請你在1號學習單里算一算。

師：那么擺第n個圖形需要用多少根小棒？2（n-1）+3=2n+1 或者 3n-（n-1）=2n+1

教師小結：同學們，要解決10張桌子需要幾把椅子，第7個圖形需要用幾根小棒，我們都是從第1張桌子和第一個圖形開始，由簡單入手逐步思考與發現，最終解決復雜的數學問題。看來在數學與生活中，“化繁為簡”是推理的重要思想與方法。

3.觀察下面圖形，正方形個數與直角三角形的個數有什么關系？先將表格填寫完整，再回答問題。

_正方形個數　2　3　4　5　……直角三角形個數　4　8　12　…… 100

（1）若有x個正方形，則直角三角形的個數為（ ）。

（2）若有y個直角三角形，則正方形的個數為（ ）。

師：5個正方形，有多少個直角三角形？你是怎么想的？

四、課堂總結

師：同學們，今天這節“數學思考”課上完了，回顧一下，你有什么收獲？