對比解讀教材引領有效教學
———以《有余數除法》教學為例

徐建麗

解讀教材的方法眾多，筆者認為，把同一版本修訂前、后的教材進行對比解讀，找出變化之處，厘清改動本意，探求教學啟示，也是非常有價值的。本文以人教版教材中《有余數除法》一課的教學內容為例，談談如何通過對比解讀教材來引領有效教學。

一、對比解讀，關注變化

仔細研讀新舊教材關于“有余數除法”教學內容的編排，發現主要在以下五個方面發生了較大變化。

1．調：舊教材《有余數除法》是三年級上冊第四單元的教學內容，現在調到了二年級下冊第六單元。

2.分：舊版教材中，這一單元的教學安排5個課時的內容；而新版教材中，這一單元的教學安排了7個課時的內容，具體如下：

2001年　2014年內容　課時　內容　課時表內除法豎式的意義　1　認識有余數的除法　1有余數除法的豎式、余數的含義　1　余數和除數的關系　1有余數的除法練習課　1　認識除法豎式　1有余數除法的應用題　1　用豎式計算有余數的除法　1有余數除法應用題練習課　1　解決問題（一）　1解決問題（二）　1小小設計師　1

新教材編排有較大的變化，把認識余數的除法、理解余數和除數的關系分為2課時。第1課時著重于理解有余數除法的意義，第2課時著重理解余數與除數的關系，第3、4課時才真正學習有余數除法的計算方法。除法豎式學習從第1課時調整到第3課時。

3．換：舊教材的情境采用的是關于“擺花盤布置會場”的主題（圖1），新教材以“擺圖形”、“分草莓”的活動導入（圖2、圖3）。

圖1

圖2

圖3

4．補：舊教材中在認識余數意義之后的“做一做”為兩道式子計算，在“理解余數與除數的關系”之后的“做一做”是三道算式辨別題（圖4）。

圖4

新教材中的在“認識余數意義”之后的“做一做”是“圈一圈，填一填”，學生通過圈、填、寫，理解有余數的除法算式。在理解余數與除數的關系之后的“做一做”是一道開放題，用一堆小棒擺五邊形，探究余數可能出現的情況（圖5）。

圖5

5.拓：舊教材的應用練習題以有余數除法的計算為主，形式以填空、豎式計算、判斷改錯、簡單問題解決為主。新教材除了以上內容，還拓展了“周期問題、租船問題、租房問題”等，拓寬了有余數除法應用研究的時空。

二、分析原因，厘清意圖

新教材對舊教材做了五處改動。為什么會有這樣的改動？改動背后隱藏著怎樣的理念與意圖呢？

1援新教材更加注重意義本質。

新教材將本節課從三上移到二下，讓學生在學完《表內除法》后接著學習《有余數除法》——通過比較“平均分分完了與平均分后有剩余”的不同，突出了余數的本質意義。教材中沒有出現“有余數除法”的嚴格定義，而是采用直觀描述的方法進行介紹,以問題“余數表示什么”引起思考。對此，我們有必要了解什么是有余數除法。

“有余數除法”的概念在《小學數學基礎理論和教法》中被定義為：“已知兩個數a、b（b是自然數），要求兩個整數q、r，使q、r滿足以下條件：a=bq＋r，r＜b。這樣的運算叫做有余數除法。一般記作：a÷b=q…r，讀作：‘a除以b等于q余r’。”理解有余數除法的同時，不得不提起與有余數除法直接相關的一個定理——整除定理：設a、b是兩個給定的整數，且b≠0，如果存在唯一的一對整數q與r，滿足a=bq＋r，0≤r＜a。那么，b|a的充要條件是r＝0。如此看來，整除與有余數除法這兩個概念是并列關系而不是包含關系，不能把整除看作特殊的有余數除法（余數為0）。

2.新教材更加注重操作體驗。

過去，對有余數除法的教學往往倚重于計算，而不是把重點放在意義的理解上。新教材將教學內容在課時上一分為二，“余數的含義”以及“余數和除數的關系”分成2個課時學習，除法豎式學習從第1課時調整為第3課時，在余數意義理解之后再學習。這樣的編排，突出了對余數除法意義的理解。

新教材比舊教材更加注重操作體驗。舊教材給學生的感覺是有余數除法就是計算題，只要會計算就可以了，顯然這樣的理解是有失偏頗的。新教材非常注重學生操作活動的設計并提供了大量的素材，通過擺圖形、分草莓、分鉛筆等多個、多次分物活動，引導學生把直觀形象與抽象概括相結合，采取邊說邊操作，邊討論邊操作等方式，讓手、腦、口并用，獲得數學活動經驗。大量操作活動的設計，不僅幫助學生親身體驗，積淀直接的抽象經驗和歸納演繹的經歷，而且更好地實現了橫向數學化。

3.新教材更加注重難點突破。

有余數除法的結果涉及“兩個單位”，這是正確理解有余數除法意義的一個難點。相比舊教材，我們會發現新教材有意識地讓學生結合具體情境，通過直觀解釋，幫助學生克服單位填寫的困難。新教材中有余數算式的出現，大多是“情境——操作——算式［□÷□=□（ ）…（ ）］”的模式，單位已經標注，通過填寫單位名稱和答案，引導學生在多次關注中加深理解余數除法的意義。

三、理解變化，有效教學

1.重視有余數除法的教學價值。

在小學教學中，有余數除法是常見的運算，它不僅存在于多位數除法的計算過程中，而且應用于解決周期問題中。初等數論的證明中最重要、最基本、最常見的工具是有余數除法，也稱為除法算法。有余數除法的重要性不只是體現在算術計算中，而且也是數論證明的重要工具。所以，有余數除法不能只作為計算的一部分內容，只要求學會算題，而應該充分重視其價值，理解其意義。

2.經歷數學化過程，發展建模能力。

“有余數除法”是小學數學教學中數學化的經典課題。弗賴登塔爾說：“用數學方法把實際材料組織起來，這在今天叫做數學化。”將非數學的內容數學化，就是將這些內容組織成合乎數學準確性要求的結構。

在課堂教學中，教師可以通過蘋果、草莓、小棒、豆子等實物，來幫助學生理解余數概念。

【片斷一】

師：請大家把9個蘋果平均放到3個盤子里，先動手分一分，再用算式表示，并解釋算式的意義。

生：（動手分后）9衣3=3。

師：（1）把9個蘋果平均放到2個盤子里，動手分。能否用算式來表示呢？（2）將9個蘋果平均分到4個盤子中，動手分，用算式表示，并解釋意義。

生：9衣2=4多1，9衣4=2多1。

師：我們通常用這樣的算式來表示，9衣4=2…1。誰來解釋這個式子的意義？

要分的蘋果數 盤子數 每個盤子中的蘋果數 剩余的個數

師生歸納余數的概念。

上述片斷的教學核心，在于幫助學生經歷現實問題數學化的過程，獲得數學建模的直接經驗和體驗，完成建模過程，即現實問題——數學問題——數學問題的解——現實問題的解。

3.尋找規律，理解規則。

余數為什么要比除數小？教師通常引導學生這樣思考，以分物品的活動為例，“如果余數比除數大了就還可再分”。其實，這樣解釋既不符合生活現實，也不符合數學邏輯。如果沒有規定余數要比除數小，那么就會有不同的計算結果，這在數學中一般是不允許的。因此余數要比除數小，是為了保證計算結果的唯一性。如何讓學生理解這一規定呢？

【片斷二】

師：用8根小棒擺正方形，能擺幾個？

生：擺2個。8衣4=2。

師：先想一想，有9、10、11根小棒的話，可以擺幾個正方形，還剩幾根小棒？再用算式表示。

生：9衣4=2…1，10衣4=2…2，11衣4=2…3。

師：觀察以上三個算式，你能接著寫出下一個算式嗎？

生：12衣4=2…4。

師：你是怎么想的？

生：被除數增加1，余數也增加1。

師：是這樣嗎？有不同的想法嗎？

生：12衣4=3，沒有余數。

師：為什么余數沒有了？

生：余數有4根，就可以再擺一個正方形了（用12根小棒操作一次）。

師：照這樣的規律繼續往下寫，你能寫出哪些算式呢？

生：13衣4=3…1，14衣4=3…2，15衣4=3…3。

師：請觀察以上6個算式，有什么規律？關注余數的變化，你發現了什么？

生：除數都是4，余數都是1、2、3。

生：余數都比4小。

師：真的嗎？交流一下，這是為什么？

生：余下如果有4根，就可以擺成一個新的正方形。

師：用一堆小棒擺五邊形，如果有剩余，可能會剩幾根小棒？

……

上述片斷的教學核心，在于學習的素材是兩組各3個有聯系的除法算式，算式除數、商相同，相似度高，學生自然而然會把注意力集中到被除數有序變化，余數有序變化，很快發現余數周期性變化的規律。學生發現了這個變化的周期，也就容易理解余數要比除數小了。

綜上所述，通過對同一版本的前、后修訂教材的對比解讀，我們可以比較準確地把握教材的設計意圖，在此基礎上再進行一系列的分析思考，如素材是否需要調整，是否需要補充，怎樣對教材素材進行二次加工、開發等，不僅能夠促使我們合理有效地用好、用活教材的素材，抓住數學本質，而且可以通過大膽地對教材的呈現方式進行適當加工、改造、優化或重構，做到創造性地“用教材”。