靈活重組教材凸顯推理過程
———以“加法交換律“”乘法交換律”重組教學為例

徐春艷

【課前思考】

數學運算定律的教學是培養學生推理能力的有效載體。運算定律這個知識點的學習，我們從小學一年級就開始滲透教學，學生在一二三年級積累了大量的數學活動經驗。在四年級進行系統的運算定律教學，應該讓學生對所有的運算定律有一個整體的感悟，明白它們之間內在的聯系，同時讓學生親身經歷“提出問題——引發猜想——驗證猜想——歸納總結——拓展延伸”的過程。

【前測和分析】

教學之前我們對四年級兩個班的80名學生進行了以下測試和訪談：

1.請選擇（在合適的題號后打√）。

親愛的同學們，你知道或聽說過“交換律”嗎？

（1）知道或聽說過。（）

（2）沒有聽說過。 （）

2.判斷正誤。

（1）25+35=35+25（）

（2）25×4=25×6（）

（3）25+35=55+5（）

（4）4×15=30×2（）

（5）12×32=32×12（）

3.在括號里填上合適的數。

（1）21+56=56+（）

24+57=（）+24

28×32=32×（）

36×22=22×（）

（）+56=（）+17

35×（）=4×（）

（2）你能寫出幾個類似的等式嗎？試著寫幾個吧！

4.你覺得交換律是怎樣的？你能用自己的方式把它表示出來嗎？（比如文字、畫圖、字母、算式等）

前測結果統計：第1題知道或聽說過的占37.5%，沒聽說過的占62.5%；第2題全對的有58人占72.5%；第3題全對的有68人占85%，其中能正確舉例的有75人；第4題能用自己的方式正確表示出交換律的有64人占80%。

前測結果分析：學生能從大量的例子中發現數學規律，只是不知道這種規律叫交換律，不能用準確簡潔的語言描述自己的發現。前測中發現學生舉例時并沒有對等式左右兩邊的得數進行檢驗，學生的數學猜想、類比、歸納、概括等能力需要進一步的培養。

【教學實踐】

【教學片斷一】

課件出示：李叔叔準備騎車旅行一個星期。今天上午騎了40km，下午騎了56km。

師：你發現了什么數學信息？能提出一個數學問題嗎？

生：李叔叔今天一共行了多少千米？

師：怎么解決這個問題？

生：40+56=96（千米），56+40=96（千米）。

師：請注意觀察這兩個算式。你想說什么？

生：40和56交換了位置，和不變。

師：既然40+56和56+40的和都是96，那這兩個算式我們就可以用等號連接。

師：是不是任何兩個數相加，交換加數的位置，和都是一樣的呢？

生：是的。

生：不一定。

師：僅憑一個例子就下結論似乎草率了些。我們不妨把這個結論當作一個猜想。既然是猜想，那我們還要怎么辦？

生：多舉幾個例子進行驗證。

師：你準備怎么驗證？

生：寫一些加法算式，交換加數的位置，看看和是否一樣。

（學生舉例驗證）

師：誰愿意分享你的成果？

生：13+20=20+13。

師：為什么可以用等號連接？

生：因為這兩道算式都等于33。

師：為了更好地驗證我們的猜想，我們必須要有嚴謹的態度，先計算結果，再判斷結果是否相等，然后才用等號連接。

師：還能再舉幾個例子嗎？

（全班交流舉例驗證的情況。需要引導學生舉出不同類型的例子，如多位數、分數、小數交換加數位置的各種情況）

師：看來舉例驗證猜想里面也有不少學問，有了這么多例子，可以得出結論了嗎？

生：可以。

師：在舉例時，有沒有誰發現了反面的例子，也就是交換兩個加數的位置和變了的？

（學生搖頭）

總結歸納得出加法交換律：“交換兩個加數的位置，和不變。”同時提煉出“提出問題——引發猜想——驗證猜想——歸納總結”這一思維過程。

學生用不同的方式表征加法交換律：

生：◆＋●=●＋◆（符號表征）

生：甲數＋乙數=乙數＋甲數（文字表征)

生：a＋b=b＋a（字母表征）

【教學片斷二】

師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的好方法。但有時候從已有的結論中通過變換、聯想，往往會形成新的猜想，進而形成新的結論。比如：“在加法中有交換律，那么在其他運算中呢？”

（學生思考、交流討論）

形成新的猜想：

1.減法中，交換兩個數的位置，差不變？

2.乘法中，交換兩個數的位置，積不變？

3.除法中，交換兩個數的位置，商不變？

師：通過類比、聯想，我們由加法拓展到減法、乘法、除法，是一種很有價值的思考。接下來請大家在練習紙上寫下你的猜想，然后按照剛才的方法來驗證。

（根據學生的驗證，全班交流）

師：大家覺得減法有交換律嗎？

生：沒有。

師：你舉了幾個例子？

生：舉了兩個例子。我覺得只要有反例，就證明我們的猜想是不成立的。

師：這種舉反例的方法真不錯！只要有一個例子不成立，那就證明猜想是不成立的。

（學生繼續交流自己的猜想，得出除法也沒有交換律）

生：我們小組通過舉了大量的例子，發現乘法也有交換律。

師：有反例嗎？

生：舉不出反例，證明猜想是成立的。

根據學生的結論，得出：交換兩個因數的位置，積不變。這叫做乘法交換律。用字母表示為：a×b=b×a。

師：通過剛才同學們的探索，我們得出了加法和乘法有交換律，比較這兩種運算定律你有什么發現？在以前的學習中哪些地方用到了這兩種運算定律？

師：通過這節課的學習，你有什么收獲？

【教后思考】

1.重組教材實現了知識的板塊式呈現，有助于引導學生感悟知識的整體意識。

通過教材重組，我們抓住了加法交換律和乘法交換律的共性特點“交換位置，結果不變”，打通了知識內在的聯系。加法交換律和乘法交換律很相似，類比的意義很明顯，教學中把加法交換律作為知識的生長點，從原有的結論出發，用變換、聯想的方法產生新的猜想，進而驗證得出新的結論。這樣教學，學生經歷了“提出問題——引發猜想——驗證猜想——歸納總結——拓展延伸”的推理全過程。

2.在淺層的知識背后挖掘深層的價值內涵。

教學中發現學生得出加法交換律是不費吹灰之力的，我們此時的教學重點是讓學生學會探究的方法，享受正確的推理過程。

小學生的模仿性強，如何推理，需要給出正確的范例。教材的重組讓學生在加法交換律的學習中經歷了全過程，并以這個知識點作為新組塊知識學習的生長點，主動遷移到乘法交換律的探究上，并充分引發聯想——減法、除法有交換律嗎？通過不割裂的板塊式教學，讓學生在有序觀察、比較分析、不斷探索中學會了科學的推理方法，培養了歸納推理能力。