講道理激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訴求

林　琳　羅鳴亮

常有人說數(shù)學(xué)姓“思”，“思”在這兒可作“思考、思維”之意，正所謂“思接千載、視通萬里”。奧加涅相在《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》一書中也提出“區(qū)別于傳統(tǒng)的教學(xué)，現(xiàn)代教學(xué)的特點在于力求控制教學(xué)過程以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展”。在新課程的視野下，許多教師都意識到學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展已經(jīng)成為教學(xué)的主要目標(biāo)之一。但是反觀教學(xué)的現(xiàn)實，我們?nèi)匀荒馨l(fā)現(xiàn)很多“不講理”或“偽講理”的教學(xué)，從而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維功能的僵化的現(xiàn)象。那么，講道理對激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維究竟有什么樣的影響、能帶來什么樣的幫助呢？

一、直面“規(guī)定”辨“理”，感悟思維的批判性

數(shù)學(xué)上有許多規(guī)定，如：長方形的長乘寬能求出長方形的面積；列小數(shù)加法豎式時小數(shù)點對齊，而在列小數(shù)乘法豎式時末位對齊；在混合運(yùn)算中先算乘除再算加減等等。大都通過符號、文字或圖形的形式呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)文本上。它既掩蓋了知識發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)，也隱藏了數(shù)學(xué)家經(jīng)歷過的直覺、猜想、錯誤、反思、驗證等發(fā)現(xiàn)知識的過程?？瓷先ミ@些規(guī)定似乎都是硬邦邦的，需要被重復(fù)、被強(qiáng)化。而事實上，數(shù)學(xué)的許多規(guī)定都是有其道理的。對于這些規(guī)定雖然不需要學(xué)生一一證明，但正如課標(biāo)指出的：“要讓學(xué)生感受規(guī)定的合理性，并在這個過程中學(xué)會數(shù)學(xué)思考，感悟理性精神?！痹诮虒W(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生以批判的眼光審視“規(guī)定”的合理性，透過關(guān)注數(shù)學(xué)規(guī)定的表面，去思辨數(shù)學(xué)規(guī)定背后隱含的道理。

如《混合運(yùn)算》一課，眾所周知，本課就知識而言相對比較簡單，顯性的目標(biāo)是掌握先乘除后加減的運(yùn)算順序和遞等式的計算方法，大部分學(xué)生都已懵懂知道“先乘除后加減”的計算法則，在學(xué)生看似“已經(jīng)會”的情況下，教師面臨的問題是：如何在看似“平淡”的“未學(xué)先知”的計算教學(xué)中組織學(xué)生參與、互動，并獲得心智、能力以及數(shù)學(xué)思考的發(fā)展？現(xiàn)在的計算教學(xué)不再是單純的程序性訓(xùn)練，每個學(xué)生所用的計算方法應(yīng)該建立在學(xué)生深刻理解的數(shù)學(xué)觀念的基礎(chǔ)之上。教師在教學(xué)“先乘除后加減”的算法時應(yīng)更重視促進(jìn)學(xué)生從算理層面理解算法，這樣學(xué)生對算法的掌握才不再是簡單的模仿、機(jī)械的套用，而是理解后的應(yīng)用。

（創(chuàng)設(shè)購物情境）

師：你們在二年級時就已經(jīng)知道了，但現(xiàn)在是四年級，四年級的同學(xué)是會講道理的。應(yīng)該要怎么才能讓我女兒明白先算除法是有道理的呢？同桌先商量商量。

（學(xué)生對照具體的購物經(jīng)驗，說出了為什么先算30÷2的道理。教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從“頭”想問題。要求找回多少元，必須要先求出用去多少錢，因此先要算30÷2，求出一個的價錢）

師：我女兒又去了文具店。請看（出示墨水10元、文具盒7元、記事本3元、鋼筆7元、毛筆5元、圓珠筆3元）

師：她會買什么呢？買的東西總價格列式為7+3×2，你猜她買了些什么？

生：一個文具盒、一本記事本和一支圓珠筆。

生：一個文具盒和2支圓珠筆。

……

師：請想一想，為什么先算3×2是有道理的?

生：因為要求總共花了多少錢，先要算出2件3元文具的價錢，然后再加上7元。

生：先算3×2就是先算3+3。

師：好，請用線段圖把這個算式表示出來。結(jié)合線段圖想一想還可以怎么列式？可以怎樣計算？

生：7+3+3。

生：先用7加3等于10,10再加3等于13。

師：（出示：7+3+3+3+3+3+3）現(xiàn)在呢？你們是怎么算出來的？

生：因為這道算式里有6個3，所以先算6×3，然后再加上7等于25。

師：有不同算法嗎？為什么都不從左往右連加呢？

生：太麻煩了！

師：對，先算后面的6個3簡便多了。

師：（100-5-5-5-5-5 -5-5）這個算式呢？

生：100連續(xù)減去7個5，就是先把7乘5等于35，再用100減去35等于65。

師：對，這一題可以先算7個5，好，現(xiàn)在回過頭看看7+3×2，你又會怎么說出先算3×2的道理呢？

生：3×2是2個3相加，先求2個3的和，再加7。

生：先求出2件3元的總價錢，再加上7元。

師：（小結(jié)）其實每一個算式背后都有一定的故事，而混合運(yùn)算都是在講述兩個或兩個以上的故事，乘法和除法都是在完成其中的一個故事。

從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，加減是數(shù)量變化的低級形式，也是運(yùn)算上最基本的算法。先有了加減，然后在相同數(shù)遞加或遞減的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了乘除。所以，乘法是連加同一數(shù)的簡便算法；除法是遞減同一數(shù)的簡便算法。這就是說，乘除比加減已經(jīng)高了一級，在計算效果上，也提高了一步。因此，為了簡化問題，計算方便，就自然地產(chǎn)生了盡量先運(yùn)用乘除的規(guī)定。

在這個案例的教學(xué)中非常好地做到了兩點：其一就是讓學(xué)生能夠結(jié)合具體情境來理解“為什么要先乘除后加減”；同時更挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生能結(jié)合算式本身的意義來理解算理。具體來說就是先將情境抽象為線段圖，再提升到乘除法的意義，一步步引導(dǎo)學(xué)生通過已學(xué)的知識分析、探討，并解釋新知算理，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了從現(xiàn)象到本質(zhì)，從局部到整體的過程，層層遞進(jìn)，深入理解運(yùn)算順序的規(guī)定是有其深層意圖的。

對于數(shù)學(xué)中的規(guī)定，我們可以從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的視角加以審視，從直接經(jīng)驗對學(xué)生學(xué)習(xí)的積極作用加以考慮。學(xué)生經(jīng)過親歷數(shù)學(xué)規(guī)定形成與發(fā)展的過程，學(xué)會在思維活動中善于估計思維材料、檢查思維過程，不盲從、不輕信，就能實現(xiàn)自我對思維活動各環(huán)節(jié)、各方面的調(diào)整、校正。

二、鼓勵“生疑”追“理”，追溯思維的深刻性

心理學(xué)研究表明：學(xué)生思考的積極性和深刻性，往往來自于一個對他們來講充滿疑問的情境。因此，在課堂上有時我們可以故意留點疑問，露點破綻，或在講解過程中設(shè)置誤區(qū)，引起學(xué)生的質(zhì)疑，盡量為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會，促使學(xué)生思潮涌動、追根究底。

以《四邊形的分類》一課為例。教師出示一個信封，讓學(xué)生自由猜測，當(dāng)學(xué)生猜可能是正方形、長方形、菱形、等腰梯形、平行四邊形時，教師露出信封中圖形的一個角，通過讓學(xué)生觀察，再猜信封里可能裝的是什么圖形？學(xué)生從最初的泛泛而問到提出要告訴“有幾組對邊互相平行”這一條件的補(bǔ)充，同時說清為什么需要這個提示，初步感知等腰梯形和平行四邊形之間既有共同之處，又有本質(zhì)區(qū)別?？此坪唵蔚牟聹y，實際背后卻隱藏著豐富的思考。當(dāng)學(xué)生根據(jù)兩組對邊互相平行的圖形是平行四邊形時，教師拿出的卻是長方形，此時，學(xué)生又陷入了思維沖突中。教師適時拋出一個問題串：它是平行四邊形嗎？為什么？為什么又說是特殊的平行四邊形？特殊在哪？這個長方形也要擺到黑板上去，應(yīng)該擺在哪？為什么？繼續(xù)猜下一個也是兩組對邊分別平行且四條邊都相等，當(dāng)學(xué)生根據(jù)提示都激動地?fù)尨鹗钦叫螘r，教師及時追問：正方形應(yīng)該擺在黑板上的哪個位置？隨著教師拿出的卻是菱形，鼓勵學(xué)生反思為什么猜錯了。

我們可以將自己置身其中想想：假設(shè)自己作為學(xué)生，遇到這樣的情境，以這樣幾個“為什么”的問題串作為思考的導(dǎo)向，將會收獲什么呢？毫無疑問，在擁有了思考探索的空間后，充分經(jīng)歷了探究、思考、再探究再思考……一浪接著一浪的思維沖擊！這樣的“生疑”追“理”巧妙地認(rèn)知了菱形、正方形、長方形、平行四邊形之間的關(guān)系，同時大大地提升了數(shù)學(xué)思維水平。

研究證明，單純的行為參與方式并不能促進(jìn)學(xué)生高層次能力的發(fā)展，只有以積極的情感體驗和深層次的思考為核心的學(xué)習(xí)方式，才能促進(jìn)學(xué)生的主體發(fā)展。學(xué)生只有經(jīng)常追問為什么，才有可能將問題的研究引向深入，才能觸及數(shù)學(xué)的核心。宋朝朱熹曾經(jīng)說過：“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)?！弊鳛榻處煟紫纫獱I造民主寬松的教學(xué)氛圍，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難；其次要引導(dǎo)學(xué)生有理有據(jù)地求證，幫助學(xué)生釋疑解難。這樣一來，學(xué)生就可以通過對教師、對他人、對自己、對教材的質(zhì)疑，冷靜地觀照、審視數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而使得自己的思維走向深刻。

三、徜徉“多樣”明“理”，激活思維的創(chuàng)造性

每個學(xué)生都是獨(dú)立的學(xué)習(xí)個體，他們所擁有的生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、思維經(jīng)驗不盡相同，這使得學(xué)生間的爭鳴變得不可避免。馬克思說：“真理是由爭論確立的?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中有意識地引入爭鳴，能引發(fā)學(xué)生競相迸發(fā)智慧的火花，閃現(xiàn)創(chuàng)新的光芒。

以《長方形的面積》為例，在通過測量長和寬計算出長方形的面積為20平方厘米并闡述理由之后，猜面積是20平方厘米的長方形還可以是怎樣的形狀，長可以是幾？寬是幾？

師：老師家里也有一個長方形，面積一樣（20平方厘米），但形狀不一樣，猜猜看我家那個長方形的長和寬可能分別是多少？

生：長是20厘米，寬是1厘米。

師：你是怎么想的？

生：長是20厘米，寬是1厘米，面積就是20平方厘米。

師：你怎么知道面積是20平方厘米？說出你的道理。

生：擺一行，一行20個。

生：還可以長是10厘米，寬是2厘米。

（教師出示課件：）

師：我家的長方形很苗條，你覺得是哪個？為什么？我家的長方形的長有可能比20厘米還長嗎？

生：不能，已經(jīng)是20平方厘米，再擺下去就是21、22、23……已經(jīng)是極限了。

生：能的，只要寬改成0.5厘米，長改成40厘米。

師：我家長方形的長有可能比40厘米還長嗎？

生：有可能，長80厘米，寬0.25厘米。

生：只要把寬再變短，長就會更長。

師：那我家長方形的長會有多長？

生：把寬分下去，長可以很長很長，無法計算。

長方形面積計算的核心問題是“求長方形的面積為什么要‘長×寬’”，為了讓簡單的素材發(fā)揮最大的效益，以“猜面積是20平方厘米的長方形還可以是怎樣的形狀？”引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度對話。作為教師，在課堂上沉下心蹲下身給更多學(xué)生發(fā)言的機(jī)會而不做過早的裁判，鼓勵學(xué)生從不同的角度去觀察問題、分析問題，學(xué)生在互動交流中重構(gòu)面積推導(dǎo)的關(guān)鍵因素，不斷地被推向了思維的“風(fēng)口浪尖”，閃動創(chuàng)新之苗。

數(shù)學(xué)思維過程就是利用數(shù)學(xué)知識作“工具”解決問題的過程,我們應(yīng)重視知識的形成過程，以有效活動為支撐，引導(dǎo)學(xué)生深思隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的那些深層次的數(shù)學(xué)之“理”，努力實現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識自我把握的確證與表征，從而有效促進(jìn)“數(shù)學(xué)理解”，活化“數(shù)學(xué)思維”。