看透“簡單”背后的道理
———關于《整十整百數乘一位數的口算和估算》同課異構帶來的思考

蔣守成（特級教師）

《整十整百數乘一位數的口算和估算》是蘇教版小學數學三年級上冊第一單元第一課時的內容，這個課時中既有整十整百數乘一位數的口算，又有接近整十整百數乘一位數的估算。這樣既能使學生已經掌握的表內乘法得以自然延伸，又能使整十整百數乘一位數的口算與相應的估算有機融合，為學生自主探索并理解兩三位數乘一位數的筆算方法打下基礎，鋪設臺階。因此教材十分重視通過問題情境、動手操作、交流討論等數學活動，讓學生達成兩個方面的目標：一是明晰算理掌握算法，并能正確計算；二是在運用口算和估算解決問題的過程中提升口算和估算的思維價值，全面提升學生的運算能力。

我們都知道運算能力不僅僅是會算和算正確，還包括運算本身的理解，如運算對象、運算的意義、算理等。而運算的形式和方法包括口算、計算、估算和驗算。口算在明晰算理的過程中提升了學生的思維水平，估算在對運算過程的加工改造和對運算結果的預測估計過程中蘊含著復雜的思維活動，對培養學生的邏輯推理能力具有不可忽視的作用。那么如何通過看似“簡單”的口算和估算教學，實現形成計算技能提高運算能力和發展數學思維兩個目標，全面提升口算和估算的思維價值？金壇區華羅庚實驗學校的朱敏和金壇區西城實驗小學的蔣菊妹兩位老師基于不同學情，對于不同側重點的關注，進行同課異構，他們通過有價值的數學學習活動設計，讓學生在理解口算算理的基礎上探究算法；在估算過程中理解估算的意義、發展估算能力和估算意識，從而提升其思維價值，他們的設計從不同角度給我們以啟發與思考。

一、基于算理探究算法，看透簡單算法背后的道理

學習一種數學運算，既要掌握其算法，更要理解其算理，盡管歸結于具體步驟與程序的算法，在執行運算時并不一定還要考慮其算理，但得出算法的過程卻離不開算理。對于整十整百數乘一位數的口算教學，我們都有這樣的教學經驗:讓學生得出20×3和200×3的正確答案，難度并不大。20×3，直接算2× 3=6，再在 6后面加一個 0；200×3，直接算2×3=6，再在6后面加兩個0……如此操作性的方法，簡單易記，學生也喜歡。課堂上只要一個學生提到這一種方法，全班學生基本都會認同。于是學生對整十整百數乘一位數的口算的技能也突飛猛進，有了良好的成功體驗。這樣的教學看起來似乎沒什么問題，但大家也都清晰地意識到學生很快接受這種操作技能性的方法，而真正能體現算理的方法“2個十乘3，得6個十是60；2個百乘3，得6個百是600”的方法被學生拋棄了。這樣的教學少了算理的理解和體驗過程，只關注口算的技能就背離了本節課的目標和價值，我們如何看透直接算2×3=6，再在6后面加一個0這樣“簡單”背后的道理，讓簡單算法和算理相融合呢？基于學生的認知經驗緊扣算理展開和算法的探究，朱老師和蔣老師為我們展示了不同的一面。

1.基于算法追尋算理。

教學研究表明，學生通過自身活動所獲得的知識遠比被動接受教師的傳授理解的透徹，朱敏老師根據學生已有的數學經驗，設計主題化問題情境，在基于問題解決的基礎上設計數學活動，啟發學生聯系已有的知識經驗，主動建構算法。經歷有方法到方法簡，從算理明到方法通的過程，形成了良好的認知結構系統。

活動一“寫算法”。朱老師在學生解決植樹多少棵時，讓學生獨立思考，自己想辦法，把自己解決問題的方法寫在作業單上，然后進行交流。在交流中呈現出了兩種不同的方法。第一種算法，20×3就是3個20相加，20+20+20=60（棵）學生用學過的加法來解決乘法，問題解決了，但口算乘法的目標沒達到；第二種算法，20×3先算2×3=6，再在6的后面填上一個零就是60，算法有了但算理不清，學生不清楚為什么要這樣算。

活動二“擺小棒”。朱老師追問學生為什么添一個零就行了呢，讓學生擺一擺小棒，說一說其中的道理。學生通過擺小棒，明白植一行要2捆，3行就要3個2捆，是6捆，所以是60棵；進一步思考得到20×3是2個十乘3，得6個十，就是2×3得6后面加一個0是60。這樣不僅知其然而且還知其所以然，實現了有意義的知識內化。

活動三“題組練習”。在學生明晰算理的基礎上朱老師精心設計三個題組的練習，引導學生主動地遷移之前的“整十數乘一位數”的學習經驗，嘗試類推到“整百數乘一位數”的口算。師生之間兩次分層次的交流活動各有側重，一是進一步明確了整十數乘一位數與整百數乘一位數口算方法內在的一致性，并對易錯的習題從算理上進行了點撥；二是通過縱向的比較和聯系，水到渠成地歸納出這一類口算的算法，促進學生形成系統化、結構化的思維方式。

2.明晰算理優化算法。

我們知道，算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探討有助于學生掌握算法。蔣菊妹老師創設購物情境，列出數量關系。通過擺小棒活動幫助學生理清算理。活動呈現三個層次。

第一個層次，根據數量關系和已有經驗擺。在擺的方法中體會數量關系，為理解口算算理提供經驗。

第二個層次，為什么這樣擺（3個20），根據像這樣“每堆2個十，擺了3堆”來說說是怎樣算的嗎？學生基于操作明晰2個（十）×3=6個（十）也就是60，所以2×3=6，20×3=60。

第三個層次，基于算理掌握算法。蔣老師在學生明晰算理的基礎上安排了兩道整百數乘一位數的變式練習，讓學生在比較中自主發現并總結整十、整百數乘一位數計算方法的共同特點，主動建構內化算法。

在數學活動中蔣老師將單調的算式放到具體情境中，賦予每個算式“活”的生命；將抽象的算理融合到具體情境中，賦予計算“活”的靈魂。在理解算理時，通過簡單易行的擺小棒活動進行自主探究，使學生在自主探究中感悟和理解算理，形成算法，真正在過程中提升學生的運算能力。

二、聚焦問題激發需求，體驗估算解決問題的價值

估算主要指在計算或者測量中，無法或無需精確計算時所采用的一種數學方法。它不僅是日常生活中的一種常用的計算方法，它更是一種思維的方法。因此在教學中不能滿足于僅讓學生掌握估算的方法，而是要通過估算教學，理解估算的意義，體會估算的作用，從被動估算過渡到自覺估算、自主估算，從而增強估算意識，提高估算能力。兩位老師都選擇學生身邊的實際問題作為教學素材，以問題解決為主要載體，從不同點切入，用不同的路徑，實現讓學生在解決實際問題中增強估算意識，提升估算能力，體驗估算的價值。

1.在問題解決中培養估算意識。

所謂估算意識，就是當人們面對一個實際問題時，不急于計算準確結果，先采用適當的方法估計得數的大致范圍，以及對他人的結果自覺地用估計的方法判斷是否正確，并逐步形成習慣。朱老師基于估算意識的培養，在估算教學這個板塊，以問題為核心設計教學活動，著力于讓學生經歷估算方法的選擇過程以及用估算方法解決問題的思考過程，實實在在地讓學生明白“為什么要估算”、“怎樣估算”以及“估算有什么好處”、“估算時要注意什么”等基本問題，在問題解決中培養學生的估算意識。

“為什么要估算”。朱老師設計了“帶200元買4箱西瓜夠不夠”的問題，學生依據之前的學習經驗進行思考，卻發現還不會筆算“48×4”，只會口算“50× 4”。在這樣的認知沖突之下，教師不失時機地提出“你能不計算就能解決問題”的目標驅動，由此，學生產生估算需要，感受到估算的作用，回答了學生內心“為什么要學估算”的問題。

“怎樣估算”，學生在具體用估算解決這一問題的過程中，遇到的最大困難是對估算結果的意義不理解，部分學生在分析推理“到底夠不夠”存在思維上的障礙。在這一環節中，朱老師先呈現資源，把48估成40和估成50結果判斷都夠的，讓學生比較這兩種估法，你們認為誰的估計更合理？在此基礎上進一步討論，為什么估成了50，正好得出了200元，卻能判斷“帶200元是夠的”呢？讓學生不僅知道估的方法，還能用自己合情合理地推理來說明為什么要這樣估。

然后通過問題解決，學生明白在生活中有時不需要計算出準確結果，只要對結果進行合理地估算，就能快速地解決問題，體會到“估算的好處”，同時也自我總結出“估算時我們要注意些什么”等問題。

2.在系統整合中提升估算能力。

三年級的學生對估算并非一無所知，之前，在解決整數加減法的一些實際問題中，他們已初步積累了一定的估算經驗。因此蔣老師從已有加法估算經驗入手，加大對估算教學的力度，創造性地設計系列活動，經歷了“調動經驗，遷移方法，拓展思辨，完善策略”的過程，層層推進，引導學生靈活估算，讓估算教學不僅僅停留在生硬的模式化低層次上，學生的估算意識在逐層的“有意義的估算問題”中潛移默化地得以增強。

蔣老師調用已有加法估算的核心經驗，為乘法估算服務。并抓住乘法和加法估算的共同特點，在估算中都要根據問題的需要，靈活選擇整十數進行估算，并進行推理，從而做出準確的判斷。所以“估大”還是“估小”的選擇成為加法到乘法的經驗產生正遷移，減少了學習的障礙。這個經驗隨著學習的進程學生逐步體會到估算過程要與估算結果兼顧。這就要求我們老師像蔣老師那樣，在估算中既重視估算過程中方法的選擇與指導，尊重估算方法的差異性，鼓勵估算方法的多樣化，又要承認估算結果與精算結果的不一致，讓學生既體會到估算的簡潔高效，又明白在某些特定問題上估算的局限性。

例如：在綜合運用，完善估算策略活動中，蔣老師呈現了教材第3頁的第7題，并作了適度的延展。

甲城到乙城三種不同火車的票價如下表：

普通列車　特快列車　動車組列車每張198元　每張312元　每張405元

蔣老師買3張同樣價格的火車票，付給售票員1000元。

問題一老師買的是哪一種？學生通過估算很快選擇出特快列車票每張312元接近300元，3張比900元多一些；所以買的應該是每張312元的特快列車票。

問題二如果特快列車每張是340元，1000元買3張還夠嗎？學生通過估一估算一算發現，雖然這個問題估算過程是一樣的，估算結果也是一樣的，但實際1000元不夠買3張。讓學生體會到在特定數據下估算的局限性，需要我們做出更精確的判斷。

由此蔣老師提出，同學們在估算出300×3=900后，還要考慮12×3是不是小于100，才能確定1000元夠還是不夠買3張312元的票。所以在解決問題的過程中需要對估算過程進行比較，還要對估算結果進行辨析，并能解釋估算的全過程，這一過程既是學生在總結估算策略的過程，實質上是估算經驗積累的過程。逐步發展了學生的估算意識和策略。

基于不同的思考、基于不同班級實際，我們在教學中就會有不同的切入點、不同的著重點和不同的課堂教學架構，朱老師重在口算板塊的算理和算法的融合；蔣老師重在對估算教學的系統整合，兩節課都給我們思考和啟發。如果從重構的角度來思考，本課有兩個知識點，整十整百數乘一位數的口算和估算，如何把這兩個有聯系的內容構建一個整體，形成一個系統，從整體的視野下把握本質。我們可以從“數”出發，借“數”助“算”、以“數”驗“算”、用“算”促“估”，從數到算到估形成一個化零為整的新系統。也可以基于班級特點，將例題1、例題2和練習兩課時，進行口算和估算專題教學，做到適度拓展，有機聯系，分中有合。當然肯定還有更多更好的課堂架構視角，期待更多的人一起來實踐、來探討。