素數循序逐增現象與“素數黃金帶”

張爾光

【摘 要】本文將尋求素數的表達式及其得數稱之為“素數黃金帶”，并從將正整數方陣變為棱陣的方法中，發現了素數的循序逐增規律，進而找到了一種可找到優質“素數黃金帶”的形態。

【關鍵詞】素數表達式；素數黃金帶；形態

“素數黃金帶”是素數研究的一個課題。這些年，筆者依照素數與自然數同存相隨及循序逐增規律，對“素數黃金帶”進行了研究和探索，取得了應有的成果。

所謂“素數黃金帶”，是筆者根據人們尋找素數的方法，將“黃金含量”引進素數“域”里面而創立的名詞。是指人們依照素數與自然數同存相隨及循序逐增規律，為尋找素數而創立的表達式及其得數依序形成的“數字鏈條”。而這條“數字鏈條”的素數比率，就是其“含金量”。

“素數黃金帶”的“含金量”有高低之分。筆者認為，如其素數比率等于或小于同自然數范圍的素數比率的，則稱之為劣質“素數黃金帶”；如其素數比率為同自然數范圍的素數比率的2至3倍的，則稱之為普通“素數黃金帶”；如其素數比率等于或大于同自然數范圍的素數比率的3倍以上至4倍的，則稱之為含金量較高的“素數黃金帶”；如其素數比率大于同自然數范圍的素數比率的4倍的，則稱之為優質“素數黃金帶”。

自古以來，不知有多少數學家為尋找“素數黃金帶”創立了不少表達式。他們都希望能找到一條其得數全為素數的“素數黃金帶”。可惜，至今還沒能實現。

據筆者所知，比較有名的素數表達式有“費馬素數”、“梅森素數”。數學家費馬認為，形如22n+1的數是素數（n=0，1，2，3，4，…）。可事實作出了回答，費馬素數，除了前5個得數是素數之外，人們至今還沒找到第6個費馬素數。

梅森素數是指形如2∧P-1的正整數，其中指數P是素數，常記為MP。若MP是素數，則稱為梅森素數。事實證明，到目前為止，人們找到了48個梅森素數。從素數比率這個角度來說，梅森素數也不是一條優質的“素數黃金帶”。但是，梅森素數對素數研究的最大貢獻，是在于為人們尋找更大素數提供了便于計算、驗證的式子。所以，進入電子計算機時代之后，人們新發現梅森素數，便是人們知道的最大素數。

筆者認為，類似于“當0

總而言之，尋找素數的式子還有很多。因筆者知之甚少，不夠資格做更多的解讀。但是，有一點可以肯定，其式子得數依序連續為40個素數的“素數黃金帶”，恐怕難于找到。這是由素數特征所決定的。

這些年，筆者也在尋找“素數黃金帶”。筆者依照素數與自然數同存相隨及循序逐增規律，創立了多個式子，并對式子得數進行驗證，屬于理想的式子只有幾個。其中，“6×m±1”式子算是優良的“素數黃金帶”。此外，發現了一種可找到優質“素數黃金帶”的形態。現將該式子和形態進行分析解讀。

1 “6×m±1”式子的“素數黃金帶”

筆者研究結果表明，“6×m±1”式子，按照m的個位數0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分為10條支線，此10條支線所計得的得數就是10條“素數黃金帶”，且是含金量較高的“素數黃金帶”。為此，筆者將此10條支線的前100個等式的得數素數比率進行了統計（表1）。

表1 “6×m±1”式子得數的素數比率分析表

注：自然數5至6000范圍的素數比率為13.02%.

從表1看出，“6×m±1”式子中的10條支線的得數的素數比率，均大于同自然數范圍的素數比率的3倍。由此可見，此10條支線是含金量較高的“素數黃金帶”。

2 一種可找到優質“素數黃金帶”的形態

筆者依照素數與自然數同存相隨以及循序逐增的原理，應用矩陣的方法，發現了一種可找到多條含金量高的“素數黃金帶”的形態。

筆者根據正整數方陣的原理，將自然數“1，2，3，4，5，6…n”依序按方陣形式排列，然后，再將這個方陣旋轉90°，使之成為四棱矩陣（見圖1）。從這個棱陣的排列數字中，便可發現一種有趣現象。

從圖1看出，如將中線數劃歸與左半棱，那么，左半棱數字中存在素數的量明顯多于右半棱。經驗證，在自然數2至121（112）的范圍，共有30個素數，其中左半棱的素數22個，右半棱只有8個。再認真細看左半棱的數字，不難發現，第3行的邊線數至中線數的2個數均為素數，第5行的邊線數至中線數的3個數均為素數，第11行的邊線數至中線數的6個數均為素數。如將棱陣的自然數擴延至412（即1681），第17行的邊線數至中線

圖1數的9個數均為素數，第41行的邊線數至中線數的21個數均為素數。經筆者對此種現象研究，發現此種現象就是“一種形態素數”。現以表格形式表達出來。見表2。

從表2的4個實例看出，它們有一個共同特征，就是中線數、左邊線數、棱陣行次數均為素數。但不能因此就妄下定論，說具有這個特征的，循著其有序規律而求得的得數“鏈條”，必是一條純金的“素數黃金帶”。因為，筆者研究結果表明，具有這個特征的、循著其有序規律而求得的得數全為素數的，僅局限于此4個實例，“當0

筆者研究結果表明，“n2-n”的式子與“2×C2 n”的式子是同一個意思，即：

22-2=2×1=2×C2 2； 32-3=2×3=2×C2 3；

42-4=2×6=2×C2 4； 52-5=2×10=2×C2 5。

此后依次類推。

又組合數的循序逐增原理告訴我們，C2 n的組合數乃是自然數“1，2，3，4，5，…”的依次累加數，即：

1=C2 2；1+2=C2 3；1+2+3=C2 4；1+2+3+4=C2 5。

此后依次類推。

筆者將以上的規律加基數素數的方法，創立了“當基數素數+（2×C2 n）有可能是素數”的形態，并應用此形態找到了若干優質“素數黃金帶”。筆者將此成果以表3表達出來，以與素數研究者共享。

表3 “當基數素數+（2×C2 n）有可能是素數”形態的4條“素數黃金帶”

注：素數黃金帶d，其（41+2×C2 2）至（41+2×C2 40）的39個式子得數全為素數，（41+2×C2 41）式子得數1681，是合數，為41的平方.表中的素數比率不含（41+2×C2 2）至（41+2×C2 40）的39個式子得數.

從表3看出，表中a、b、c、d四條“素數黃金帶”的素數比率，均為同自然數范圍的素數比率的5倍，甚至還高于“235狀態”的10條“素數黃金帶”的素數比率10個百分點，尤其是“素數黃金帶d”，其素數比率遙遙領先，應該說是“素數黃金帶”的王者。可見，表中a、b、c、d四條“素數黃金帶”是優質“素數黃金帶”。

在對“當基數素數+（2×C2 n），有可能是素數”的形態的研究中，筆者根據兩素數差的原理，又發現了奇素數原理，即“奇素數+（2×C2 n）”式子的得數雖然不可能是全為素數，但是，凡是大于3的奇素數均可表為“一個小于其的奇素數+（2×n）之和”。筆者正是根據這個“奇素數原理”，發現了哥德巴赫猜想成立的證明方法（見《中國少年》2016年第三期《哥德巴赫猜想成立的兩種證明方法》）。

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