高中數學中的傳統文化管窺

張思婷

筆者在學習高中數學的過程中，發現了一個有趣的現象，看似枯燥的數學公式、定理、概念等內容，其實包含著非常有趣的傳統文化。其中既有講述數學文化史方面的知識，也有講述數學的思想和方法、價值與作用的故事，還講述了發生在數學家身上離奇有趣的故事。通過學習數學中的文化知識，不僅能讓學生從宏觀上把握數學，掌握數學思想，開闊思維，創新方法，而且還可以把枯燥的數學變得生動有趣。

一、高中數學中傳統文化的內容

1.數學中的歷史文化知識

數學伴隨著人類的起源而起源，伴隨著人類的發展而發展，是人類在認識和改造世界過程中逐漸發展并形成的一門科學，從“涉獵計數”與“結繩記事”開始，人類就開始運用數學知識來認識世界。當數學成為一門科學之后，又反過來變成了人類改造世界的一種工具。

從我國來看，我國在歷史上長期以來以農業經濟為基礎，從而形成了以農業文化為主體的文化格局，因此，通過我國古代數學不僅能夠認識到數學與農業經濟的密切關系，也能看到農耕文化對我國數學發展的影響。

我國古老的數學典籍《九章算術》中共包含了246個問題，基本上都與農業生產密切相關。其中，無論是“方田（土地測量）”還是“粟米（百分法和比例）”，無論是“衰分（比例分配）”還是“少廣（減少寬度）”都是與土地相關或對糧食的分配的計算方法，即使是“商功（工程審議）”那樣的以工學為主的運用科學，也是關于農業水利工程的測算。至于“均輸（征稅）”、“盈不足（過剩與不足）”、“方程（列表計算的方法）”和“勾股（直角三角形）”也無不與農業和糧食的稱量有關。同樣，盛行于唐代的《五曹算經》也是一部為地方行政人員所寫的應用算術。所謂“五曹”，就是指對田地面積、軍隊給養、粟米問題、糧食征收、運輸儲藏五種問題的計算或測算方法，其中涉及現代數學中的比例問題。即使是祖沖之對于圓周率和圓面積的輝煌成就，都可以追尋出農業的印記。

2.數學中的有趣故事

在數學漫長的發展歷史中，積累了大量的數學傳說和數學故事。雖然說數學傳說和故事不屬于數學史的范疇，但是很多數學問題的提出或產生起源于這些傳說和故事。比如，沈文選和楊清桃所著的《數學方法溯源》一書中，記載了一個非常有意思的數學故事——韓信立馬分油：

韓信立馬分油：據載漢代軍事家韓信一日訪友歸來，途經一集市，遇見一賣油翁與顧客爭執。顧客欲買5斤油，賣油翁言無法計量，因而告訴顧客，要么買3斤，要么買7斤。韓信詢問得知，賣油翁油蔞中有油10斤，但他僅有能裝3斤油的萌蘆和裝7斤油的I，而顧客執意要買5斤油。韓信在馬上略加思索道：“你二人無須再爭，看我給你們分油，葫蘆歸罐罐歸簍，分好油來回家走。”按照韓信的辦法，交易很快完成，買賣雙方皆大歡喜。

這是一道需要動腦子才能解答的問題，具體做法是從油簍中往油葫蘆里倒三次，前兩次油葫蘆中的油全部倒到油罐中，第三次油葫蘆中的油只能往油罐中倒1公斤，油罐就滿了；將油罐中的油全部倒回油簍，再將油葫蘆中剩下的2公斤油倒到油罐中；從油簍中往油罐中倒一葫蘆油（3公斤），這時，油簍和油罐中各有5公斤油。問題因此得以解決。這些有趣的數學故事，一方面有利于學生對知識背景的理解，另一方面增加了學生學習數學的趣味性和文化氣息。

3.古代數學的成就

在我國古代，有一些數學家對數學的發展具有巨大的貢獻。

例如，在學習“立體幾何”的問題時，課本介紹了祖暅定理。祖暅是著名數學家祖沖之的兒子。他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異。”意思是說：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積（冪）總相等，這兩個幾何體的體積相等。祖暅的這一定理與意大利數學家卡瓦列利的卡瓦列利原理完全一致，但祖暅卻比卡瓦列利要早1100多年。

再如，在學習勾股定理的時，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）（1/2）

此外，在高中教材中在學習“二項式定理”時引入“賈憲三角（又稱帕斯卡三角）”。賈憲的主要貢獻在于求“開方作法本源圖”中各項系數的方法。之前，我國關于正數開平方、開立方的運算僅限于四次方（高次冪開方）以下的范圍，而賈憲運用了“增乘開方法不僅可以對任意高次冪的開方，而且還能求得任意高次展開式系數，還能隨乘隨加，反復迭代，真正解決了我國開高次方和任意有理數的高次方的問題。之后幾乎所有的數學家都是以此為基礎展開探索。賈憲之后，南宋數學家秦九韶終于把以增乘開方法為主體的高次方程數值解法發展到了十分完備的程度，這對于整個數學的發展具有不可估量的價值。

宋代數學家秦九韶在《數書九章》自序中，把數學的功效概括為：“大則可以通神明，順性命；小則可以經世務，類萬物。”正是由于數學在政治、文化、經濟、生活中有著廣泛的應用價值，才使得數學以實用性為依托，在中國古代社會獲得了一份生存權。

二、高中數學中的文化精神

數學是一種具有高度滲透性的文化。數學作為一種文化根植于人類豐富思想的沃土之中，是人類智慧和創造的結晶。數學文化的歷史，以其獨特的思想體系，保持并記錄了人類在特定社會形式和特定歷史階段文化發展的狀態。不僅是各門學科的重要基礎，也是發展現代科技，推進社會進步，提高經濟發展水平的重要基礎。

在我國，儒家思想一直占據著主流地位，數學被看成“六藝”之末。儒家也認識了數學的實踐作用，因此在儒家的“六藝”中也列出了“數”這一“藝”，但同時，在注重倫理道德與人文科學的儒家看來，數學又是“六藝”中的“小道”，是為其他領域學科服務的。因此，數學僅僅被當作一種運用工具而不是一種完整的邏輯體系和專門的學問。對數學作用理解的偏頗造成了我國數學以實用性和發展算法為主要特征的“中國特色”。我國古代數學的主要目標不是定理，也沒有具體的定理和公理，我們的目的是解決形形色色的問題，主要表現在解方程上。運算體系就是一種為解決問題，著重具體計算的一種算法的體系。上述《九章算術》與《五曹算經》中關于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股與田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹等的計算都是從“致用”的目的出發。這樣的理解，完全符合我國傳統文化中“經世致用”的思想，如果說儒家思想體系的主要作用在于“經世”的話，那數學的作用就是“致用”而已。因此，當我們的先人取得了一個個驚人的數學成就后，對于社會的貢獻就是一個巧妙的解方程的方法，是一個實用而且好用的工具。這也就是我國古代的數學發展沒有形成完善的邏輯體系和完整的數學理論的主要原因，從而導致解決數學問題經常出現按圖索驥、不知所措的尷尬局面。隨著數學的發展，中國人認識到數學不僅僅是一種實用的工具，還包含著深層次的民族文化的理性精神。只有充分挖掘這種理性精神，我們才能真正地把握數學的內蘊，才能讓數學成為我國傳統文化的有機組成部分。