高中數(shù)學(xué)中常見數(shù)列求和方法探究

邢志強(qiáng)

摘 要： 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要模塊，所占比例較大。尤其是數(shù)列求和方法多而雜。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)常見的數(shù)列求和方法如公式法求法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)求和、分組求和進(jìn)行探究，以期提高解題成功率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；公式法求法；倒序相加法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)求和法；分組求和

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1008-3561（2016）04-0089-01

數(shù)列這部分內(nèi)容出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)人教版必修5第二章，課本重點(diǎn)介紹等差數(shù)列及等比數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別采取倒序相加和錯(cuò)位相減法。但是，在平時(shí)解題訓(xùn)練中出現(xiàn)的題目，絕非簡(jiǎn)單的等差或等比數(shù)列求和。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)高中數(shù)學(xué)中常見數(shù)列求和方法進(jìn)行探究。

一、公式法求和

能夠用公式法求和的，是課本中列舉的等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求法。例1：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an，n∈N* 。（1）求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn . （2）已知{bn}是等差數(shù)列， Tn為其前n項(xiàng)和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20. 解析：（1）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以an=3n-1，Sn=（3n-1）. （2） ∵b1=a2，b3=a1+a2+a3=13，∴b3-b1=10=2d，∴d=5，故數(shù)列{bn}是以3為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以T20=20×3+×5=1010. 解題感悟：利用公式求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，需要先對(duì)數(shù)列的類型作出判斷，因而對(duì)等差或等比數(shù)列的定義要特別清楚。除了定義判斷外，常見的方法還有通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和公式法、等差（比）中項(xiàng)法等。

二、倒序相加法

課本借助高斯算法引進(jìn)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求法，即倒序相加法。倒序相加法適用題型的數(shù)列特點(diǎn)是距離首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等。例2：設(shè)函數(shù)f（x）= 上兩點(diǎn)為P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若=（+），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：（1）求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。（2）若Sn=f（）+f（）+…+f（）+f（），求Sn. 解析：（略） 解題感悟：此類題目往往在知識(shí)交匯處命題，與數(shù)列、函數(shù)、不等式、向量聯(lián)系較緊密，量大面寬，學(xué)生要學(xué)會(huì)知識(shí)融會(huì)貫通。倒序相加注重一個(gè)等式（自變量的和是定值，函數(shù)值的和也是定值），利用題目條件推導(dǎo)此類式子是解題關(guān)鍵。

三、錯(cuò)位相減法

課本推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和采用了錯(cuò)位相減法，推廣以后可以用錯(cuò)位相減法解決一類數(shù)列求和問題，即一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘以一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列，該數(shù)列的前n項(xiàng)和可采用此法。例3：人教版必修5習(xí)題2.5A組第4題（3）：求和1+2x+3x2+……+nxn-1 .解析：（略） 解題感悟：很多學(xué)生對(duì)于錯(cuò)位相減法在具體操作過程中漏洞百出，不能完整作答。究其原因，主要是對(duì)錯(cuò)位二字沒有正確理解。再者，含參問題一定要分類討論。同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在運(yùn)算時(shí)能力較差。

四、裂項(xiàng)求和

裂項(xiàng)求和首先是將數(shù)列的通項(xiàng)拆分成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，然后求前n項(xiàng)和時(shí)，利用正負(fù)相消的原理將中間若干項(xiàng)抵消掉，剩下有限的幾項(xiàng)再求和。需要注意的是，必須搞清楚消掉了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)。一般保留的項(xiàng)前后具有對(duì)稱的特點(diǎn)，即前面剩下的項(xiàng)數(shù)與后面剩下的項(xiàng)數(shù)相等。例4：（人教版必修5習(xí)題2.3B組第4題）數(shù)列

前n項(xiàng)和 Sn=++++…+.研究一下，能否找到求Sn的一個(gè)公式。你能對(duì)這個(gè)問題作一些推廣嗎？解析：（略） 解題感悟：裂項(xiàng)求和法適用的題型數(shù)列通項(xiàng)往往是分式結(jié)構(gòu)。平時(shí)，要多留意幾個(gè)常見的裂項(xiàng)公式（篇幅所限，略）。

五、分組求和

數(shù)列的通項(xiàng)公式是由明顯差異的幾部分構(gòu)成時(shí)，并且每一部分可以求和，可按分組求和的方式進(jìn)行求和，此法便于操作。例5：已知an=2n-3×5-n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解析： （略） 解題感悟：分組求和時(shí)，首先應(yīng)抓住數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行研究，找出每一部分的差異，然后每一組轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的等差或等比數(shù)列，它們的求和采用前面介紹過的公式法求和。

六、結(jié)束語

數(shù)列部分的題目常考常新，且與函數(shù)、不等式、向量等聯(lián)系緊密，借助它們命題是一種趨勢(shì)，而且難度較大。這就要求學(xué)生在掌握好基本功（基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能）的同時(shí)，重點(diǎn)提升自己的內(nèi)功（邏輯思維能力），能將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通。在本章的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要多思考，多歸納，多總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陰夏玲.對(duì)某些特殊數(shù)列求和方法的探討[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013（S2）.

[2]杜志建.高中數(shù)學(xué)教材必修5[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2015.