概念定義的“淡化”及其正確性
——對初中數學教材中幾個概念定義的商榷

云南省會澤縣待補中學　浦　帥　王利娟

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概念定義的“淡化”及其正確性
——對初中數學教材中幾個概念定義的商榷

云南省會澤縣待補中學浦帥王利娟

摘 要：數學概念定義不論怎樣“淡化”都必須全面、準確地反映出概念的內涵和外延。有幾個問題值得反思：怎樣給數學概念下定義？數學概念定義的“淡化”原則是什么？如何處理概念定義的“淡化”與“正確性”兩者間的關系。

關鍵詞：概念定義 概念本質 “淡化” 可接受性 等價性

一、引言

數學概念是事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐從數學所研究對象的許多屬性中抽出其本質屬性概括而成的，因此對概念的敘述都是很精煉的。數學概念是進行數學推理、判斷的依據，是建立數學定理、法規、公式的基礎，是形成數學思想方法的出發點。因此，數學概念是數學學習的基礎，是數學教學的重要組成部分。數學概念的表達是否本質化，是否正確，將直接影響數學教學活動的開展情況。數學概念作為數學學科的“真理”，在數學教學中至關重要。

二、如何“淡化”數學概念

現行九年制義務教育初中數學教材對大多數概念都以定義的形式給出，對概念定義的描述進行“淡化”處理。現階段，所有概念的定義都十分嚴格地給出是不適宜的。對于初中生來說，他們對這些概念的本質特征有初步認識即可，進一步理解和運用待后續課程完成。這就是說“淡化”是方法，而不是目的。

基于此，現行九年制初中數學教材適當降低某些概念定義的理論高度，在“淡化”概念的“嚴格”表述中做了一些有益嘗試，給予概念直觀、形象而又通俗的解釋與說明。概念的“淡化”處理對幫助學生理解概念十分重要。但是，不論怎樣“淡化”決不能由此影響了概念的正確性，解釋與說明必須緊扣概念本質，脫離了這一點，就與我們本來的目的背道而馳，處理不好，定義本身就是一個模糊以至錯誤的概念描述。

三、數學概念的應用

概念是反映事物本質屬性的思維形式，而概念的定義就是對事物的本質屬性或概念的內涵與外延的確切而簡要說明。但要下好一個定義，除了對需要定義的概念有一個明確認識，還必須符合定義規則：定義必須是相稱的。也就是說定義項和被定義項必須是指同一概念，其內涵和外延必須吻合，概念定義的“題設”與“結論”構成的必須是互逆的兩個真命題。

四、數學概念“淡化”后存在的問題

現行九年制八年級數學（上）對“二元一次方程組”的定義描述是這樣的：由兩個二元一次方程組組成的方程組叫作二元一次方程組。由“二元一次方程”定義“二元一次方程組”符合學生的認知規律，加強了知識的聯系，降低了學生學習難度，似乎達到了概念定義的“淡化”目的，但這個定義不確切，背離了概念定義的“淡化”原則。

這個定義規定：二元一次方程組的每一個方程必須是二元一次方程，同時這里的“二元”僅是指每個方程的“二元”，而不是整個方程組的“二元”。這樣就錯誤地把類似于 “6x-5y=1”這樣的方程組排除于“二元一次方程組”之外，而把形如 “x +y=7”這樣方程組歸于“二元一次方程組”的范疇之內，這顯然是不正確的。

由兩個“二元一次方程”組成的方程組與“二元一次方程組”并不是同一概念。由兩個“二元一次方程”組成的方程組不一定是“二元一次方程組”，而“二元一次方程組”不都是由兩個“二元一次方程”組成。

五、數學定律“淡化”后存在的問題

數學學習過程中，學生通過數學概念的掌握數學知識。類似上面對概念定義的錯誤描述造成一些不良后果：學生學習片面甚至錯誤的概念定義后常常犯一些邏輯上的錯誤，如混淆命題的題設和結論，對題設與結論認識不足，發生像“ x+y=7”是“二元一次方程組”，而“ 6x-5y=1”不是二元一次方程組這樣的錯誤。這是一個不容忽視的問題。

概念定義的敘述必須慎重考慮。教師有必要從概念的本質出發，結合學生的思維特點合理使用“淡化”手段，權衡“淡化”原則，以保證概念的正確性。這將有助于學生正確掌握數學知識，有助于教師順利完成教學任務，對后續課的學習也有積極意義。

六、數學概念“淡化”后因應注意的問題

1.“淡化”后的概念定義要明確。例如，“大于零的數叫作正數”“淡化”為“像5、1.5、10、0.1等大于零的數叫作正數”。后者保證了“正數”的本質屬性，使用了“淡化”手段使概念定義直觀化，降低了學生的理解難度。

2.定義項與被定義項必須指同一概念，是等價的。例如，把無理數的定義“淡化”為“無限小數”或“不盡方根”都是不相稱的。前者犯了定義過寬的邏輯錯誤，定義項（無限小數）的外延大于被定義項（無理數）的外延，因為無限小數還包括無限循環小數，而無限循環小數都是有理數。后者犯了定義過窄的邏輯錯誤，定義項（不盡方根）的外延小于被定義項（無理數）的外延，因為還存在無限多個無理數，它們都不能表示成有理數的方根的形式，如π，e，lg2等。

3.“淡化”后的概念定義應清楚、確切，所列定義項必須是確切的概念，不能用譬喻或其他含糊、模棱兩可的說法替代定義。例如，把“正方形”定義為“正方形是一種有規則的四邊形”，這里“有規則”是一個不可琢磨的含糊概念，學生看了這個定義仍然難以明確“正方形”是什么。

總之，數學概念定義不論怎樣“淡化”都必須全面，準確地反映概念的內涵和外延，反映概念的本質，絕不允許出現由于擴大（或縮小）內涵和縮小（或擴大）外延而造成概念定義的偏差或錯誤。基礎教育階段對概念下定義應堅持概念定義“正確性”的前提下兼顧使用“淡化”原則、直觀性原則、形象性原則，不要舍本逐末，主次顛倒。

文章編號：ISSN2095-6711/Z01-2016-05-0153