中考試題中數學思想方法的探究

◎許明敏

中考試題中數學思想方法的探究

◎許明敏

隨著新課改的不斷深入，中考數學試題已由“知識立意”逐漸轉向“能力立意”。這加大了對初中學生數學能力的考查，特別是運用數學思想方法解決問題的能力的考查。因此初中數學教師就必須隨時關注中考題，了解中考題的命題思路和命題方向用以指導自己的教學，以達到不斷提高教學質量的目的。

中考數學；思想方法

一、什么是數學思想方法

數學思想方法，實質上包含兩方面的內容，即數學思想和數學方法。其中，數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。簡單地講，數學思想就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。數學方法，是指人們為了達到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式。通俗地說，數學方法就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。

二、近年中考數學試題中所考查的數學思想方法

在近年來的中考數學試題中，對數學思想方法的考查力度越來越大，其考查的數學思想主要有：函數與方程的思想、轉化與歸化的思想、分類討論的思想、數形結合的思想、整體的思想。

1．方程與函數的思想方法 函數思想是指變量與變量之間的一種對應思想。方程思想則指把研究數學問題中已知量與未知量之間的數量關系，轉化成方程或方程組等數學模型。值得注意的是，當函數值為零時，函數問題其實就轉化成了方程問題。同樣，我們也可以把方程看做是一個函數的函數值為零時求自變量的問題。在一些中考試題中，常常可設法利用函數和方程方法將命題中隱含的等量關系或對應關系，通過列方程、方程組或求函數解析式來解決問題。而且利用方程或函數的思想方法求解，問題也可達到常“化繁為簡”的效果。

2．轉化與化歸的思想方法 數學題目千變萬化，深淺不一，有些題目要由條件直接求解較為困難，這時候就會難倒很多學生，因為初中學生的經驗比較少，他們解題一般都是靠經驗從直觀方面解決，因而遇到這些不能由直接條件解出來的題目會覺得比較辣手。在這種情況下，學生就應該考慮運用恰當的數學方法進行變換，將原問題的條件或結論進行轉化，把陌生的問題化歸為新的問題（相對來說較為熟悉的問題），并通過已有知識求解新問題，達到解決原問題的目的。這便是轉化與化歸的思想方法。具體來說，轉化是將數學命題由一種形式向另一種形式的轉換過程，則化歸是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題。

例：如圖1，矩形ABCD中，BC＝2，DC＝4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E，則陰影部分的面積為＿＿＿＿＿（結果保留π）

分析：陰影部分是一個不規則的圖形，直接求其面積比較困難，考慮轉換思路來解決此問題。若鏈接OE，設OE交BD于F，則易證明△DEF?△BOF，于是求陰影部分的面積就轉化為求扇形OEB的面積，這樣就把求不規則圖形的面積轉化為求規則圖形的面積。

解：連接OE，交DB于F

∵DC切半圓于點E ∴OE⊥DC

易證四邊形ABCD與四邊形OECB都是正方形

∴OB＝ED 又∵四邊形ABCD是矩形

∴AB／／CD ∴∠BOF＝∠DEF，∠OBF＝∠EDF

∴△BOF?△DEF

S陰影＝S扇形OED＝×π×22＝π

轉化與化歸思想是初中數學中最基本的數學思想，常見的許多問題都可以以這種思想解答。如二元一次方程組，三元一次方程組的解決實質就是化為解已經學過的一元一次方程。又如：如果我們把若干個人之間握手總次數（單握）稱為“握手問題”，那么像無三點共線的n個點之間連線、共端點射線夾角（小于平角的角）個數、足球隊之間單個循環比賽場次等等這些問題都可轉化為“握手問題”。因此，在教學中應注意培養學生的轉化與化歸意識，提高學生的思維素質，使其從更深層次上去揭示初中數學各知識點的內部聯系，提高其分析問題和解決問題的能力。

3．分類討論的思想方法 在數學中，如果一個命題的題設或結論不唯一確定，有多種可能情況，難以統一解答，就需要按可能出現的各種情況分類加以討論，最后綜合歸納出問題的正確答案，這種解題方法叫做分類討論法。在中考數學試題中有些題目答案不唯一，學生比較容易因為考慮不周全而漏解，這樣的題型往往需要進行分類討論。

分類討論思想也是近年來中考重點考查的思想方法，由于要用分類討論法解答的數學問題，往往具有較強的邏輯性、綜合性和探索性，這主要考查學生思維的全面性和嚴謹的思維能力。分類思想在中考數學幾何動點問題中的應用較為廣泛，這類試題的解題思路是：在熟悉問題所需要的基礎知識的前提下，正確應用分類討論思想方法，選擇恰當的分類標準，從而全面準確的求解答案。

4．數形結合的思想方法 近年來的各地中考數學試題中出現了借助數形結合思想方法的問題，這類試題綜合性強，能力要求很高，常常作為中考的壓軸題，它能全面考查學生分析問題和解決問題的能力，有助于培養初中學生用相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義觀點分析問題，有利于培養初中學生創新的思維品質。

我們知道，數和形是數學中的兩種表現形式，那么，依形判數，可使幾何問題代數化；由數思行可使代數問題幾何化。所以，我們在解決某些解決數學問題時，可將數與圖形結合起來分析。通過數的計算去找圖形之間的聯系，或結合已知圖形去尋找數之間的聯系。

例：關于x的二次方程x2－9x－2（k－1）＝0有兩個實根，一個跟大于1，一個根小于1，則（）

A．k＜－3 B．k＞－1 C．k＞－3 D．k＜－1

分析：二次方程的一個根大于1，另一個根小于1，怎樣利用這兩個條件是關鍵，利用方程的根的定義無從下手，若把兩根看成函數y＝x2－2（k－1）與x軸交點的橫坐標，再畫出函數的大致圖像，如圖3所示，觀察圖像不難發現，若當x＝1，y＜0時，定能滿足條件。

解：∵二次方程x2－9x－2（k－1）＝0的一個根大于1，另一個小于1

∴二次函數y＝x2－2（k－1）與x軸交點在（1，0）的左、右兩側，

由圖像知，當x＝1時，y＜0，12－9×1－2k＋2＜0，即k＞－3

因此選（C）

數形結合思想作為一種重要的解題策略，并隨時著新課程改革的深入，素質教育的不斷推進，中考中考查此思想的題目比重增大，所以，老師在日常教學工作中要善于挖掘數形結合的例子，提煉數形結合的思想，做好“數”與“形”關系的揭示和轉化，引導學生用圖形直觀地研究數式問題，用數式對圖形性質進行更為豐富、精確、深刻的探討。

5．整體的思想方法 當一個一般性的問題難以入手時，不妨去考慮它的整體情況，通過研究問題的整體形式和結構，進行整體處理，達到迅速解題的目的．這樣不僅可避免繁瑣的計算及復雜的推理，而且能使問題變得直觀、簡單，收到出奇制勝的效果。

運用整體思想可以理清數學學習中的思考障礙，可以使繁、難的問題得到巧妙地解決。在近年來的中考數學試題，整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用。

數學思想方法是數學知識的高度抽象與概括，是數學的生命和靈魂，是數學知識的精髓，又是把知識轉化成能力的橋梁。中考數學試題越來越重視對學生的數學思想方法的考查，這不是單純的考查學生的解題能力，更重要的是對思維品質和創新意識的考查，所以數學思想方法的學習顯得尤為重要，隨著新課程改革的深入推進，對教師在平常教學中滲透數學思想方法也提出了更高的要求。

（作者單位：廣西欽州市靈山縣平山中學 535425）