淺談大學數學的概念教學設計
——以定積分為例*

黃敢基　盧小梅　韋琳娜

（廣西大學數學與信息科學學院，廣西南寧530004）

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淺談大學數學的概念教學設計
——以定積分為例*

黃敢基盧小梅韋琳娜

（廣西大學數學與信息科學學院，廣西南寧530004）

摘要：文章對大學數學概念教學的重要性和存在的問題進行了討論和分析，并以定積分的概念為例，對大學數學概念教學設計進行了探討，提出了包含概念的引入、解釋、應用和延拓等方面的課堂教學設計方法。

關鍵詞：大學數學；概念教學；定積分

Abstract:This paper discusses and analyses the importance and the existing problems of the concept teaching in college mathematics，and explores the concept teaching design of college mathematics by taking definite integral as an example.A design method，including introduction，interpretation，application and prolongation，etc，is proposed.

Keywords:college mathematics；concept teaching；definite integral

大學數學是目前大學本、專科絕大多數專業都開設的一門公共基礎課，其內容主要包括《高等數學》、《概率論與數理統計》及《線性代數》三門課程。一方面，大學數學能為各專業知識的學習和應用提供理論支撐和方法指導，其重要性不言而喻。另一方面，數學作為研究數量關系和空間形式的學科，其理論和方法具有很強的邏輯性和抽象性。如何將在學生眼中“抽象乏味”的大學數學教好？是長時間以來困擾眾多高校數學教師的問題。

一、大學數學概念教學的重要性及現狀

俗話說：“萬丈高樓平地起”，每一門學科理論體系的構筑均以基本概念為基礎。而概念往往表征著某一類自然或社會現象的共性，具有高度的抽象性和概括性。因此，有效的概念學習對理解和掌握相關學科的理論體系具有重要的作用。大學數學豐富的內容決定了其概念眾多的特點，許多數學概念不僅具有高度的抽象性和概括性，還蘊含有豐富的歷史文化知識和哲學思想。概念作為最基本的知識單元，毋庸置疑，教好大學數學必須要從教好概念出發。雖然也有眾多的學者對概念教學進行了探討，［1］但時下很多大學數學課堂中對數學概念的教學仍然存在著諸多問題，主要體現在以下三個方面：（1）一些教師對概念教學重要性認識不足，舍本逐末，只重視學生的解題能力的訓練。（2）一些教師雖然也反復強調概念的重要性，但在教學時對概念的講解僅僅停留在文字的層面，而缺失對概念背景及蘊含在其背后的數學思想和文化作深入的剖析。（3）概念教學的手段老舊，既沒有充分發揮現代化多媒體技術的優勢，也沒有很好地與專業相融合。這些問題的存在必然導致學生難以正確理解和掌握數學概念的本質和含義，更別提應用其思想方法解決實際問題，留下的印象無外乎“高大上的抽象數學”而已，從而不可避免地產生了厭學情緒，嚴重影響了后繼內容和專業課程的學習。

如前所述，大學數學概念教學是數學課堂教學的重要一環，同時也是目前教學中重視程度或有效教學開展較為薄弱的一環。因此，研究和實施有效的數學概念教學方法和手段，對提高大學數學課堂教學質量具有重要的意義。為此，下面我們以定積分的教學為例，從概念的引入、解釋、應用和延拓等方面對數學概念的課堂教學設計進行探討。

二、大學數學概念教學設計

（一）概念的引入

概念的引入是概念教學的開始，有效的引入不僅能激發學生學習興趣，也有助于學生對概念本質的理解和掌握。常見的概念引入方式主要有直接引入、案例引入、背景故事引入、類比引入、設問引入等。作者以為，不管是采用什么樣的引入方式，概念教學的開展必須遵從人類認知的規律，即人們認識新事物總是遵循從簡單到復雜、從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程。同時，數學概念的引入也要考慮學生認知水平，所舉的案例或故事、所類比的知識或設置的問題必須屬于學生熟悉或能理解范疇，也即使學生“看得見、摸得著、辨得明”。如以定積分的概念為例，可由問題+背景+引例+定義的模式引入。具體教學設計如下：

（1）先復習初等數學中長方形、梯形等規則圖形面積的求法。再設問：不規則平面圖形如校園荷塘或農田的面積怎樣求？由此激起學生的好奇心。（2）在前面設問的基礎上，指出求平面圖形面積以及求曲線長、曲面圍成的體積、物體的重心和引力問題是十七世紀由社會發展需要所產生的主要科學問題之一，并由此促成了定積分產生和發展。通過簡要的背景介紹，使學生對數學概念的形成和發展歷史有初步的了解，并增加了進一步求知的欲望。（3）介紹經典引例——先細講曲邊梯形面積的求法再粗講變速直線運動的位移求法，重點突出兩者結果在結構上的共性，由此引出定積分的概念。

（二）概念的解釋

在此，我們將對數學概念的解釋分為兩部分：概念的本義解釋和概念的內涵揭示。

1.概念本義解釋

概念的本義解釋主要是對概念的主要條件、相關特征及結論進行講解。以定積分為例，作者認為需要講清楚三個方面：一是二個“任意”，即在區間［a，b］中插入分點的任意性和在每個小區間［xi-1，xi］中取點的任意性；二是講清楚分點個數n→∞與小區間最大長度λ→∞之間的聯系和區別；三是對定積分的符號作解釋，如積分號∫可以看作一個拉長的S，而S則可理解為求和英文單詞Sum的首字母，這正與定積分“累加求和”的本義相符。如有時間，也可順便向學生簡單介紹牛頓和萊布尼茲創立微積分時所用符號的區別，讓學生了解數學概念和數學符號產生和發展的歷史和典故。

2.概念內涵揭示

概念內涵的揭示主要是指向學生剖析概念背后蘊含的數學方法和思想。

首先，由于人類的思維活動一般遵循由形象到抽象的認知規律，故在數學概念的教學中教師應先考慮如何將抽象的概念形象化或直觀化，再通過對概念本質內涵的不斷揭示實現從感性認識到理性認識的升華。以定積分概念為例，定積分的數學方法主體要現在求曲邊梯形面積時采用的“分割、近似、求和、取極限”的方法，并由此得到具有一般性的“微元法”。俗話說“百聞不如一見”，多媒體教學有著傳統黑板教學不可比擬的優勢。［2］在定積分的概念教學中應盡可能利用多媒體教學的優勢，精心制作求曲邊梯形面積的動態課件，通過調整積分上下限、分割點的個數等參數動態顯示曲邊梯形近似求面積的過程。另外，我們也可以將定積分比喻為一塊由無數條線拼成的布。通過直觀的顯示和通俗的比喻，可使抽象的概念變得直觀、生動，從而有助于學生對定積分相應數學思想和方法的理解。

其次，許多數學概念背后蘊含有豐富的哲學思想，在教學中教師應適時、適當向學生介紹相關的哲學思想，以幫助學生更好的理解和掌握數學的思想精髓。如在定積分概念教學時，直線與曲線本是對立的兩方面，但在求曲邊梯形面積時在取極限的條件下可以用直線代替曲線，這體現了哲學的對立與統思想；而由有限個矩形面積近似曲邊梯形面積到通過取極限得到曲邊梯面積的精確值的過程則體現了哲學中量變到質變思想；另外，求曲邊梯形面積的過程：先不求曲邊梯形面積（否定）→轉為求矩形面積→（再否定）再通過取極限求曲邊梯形面積，這一過程蘊含了哲學中否定之否定的思想。因此，在數學概念的教學中，教師應引導學生一起探究蘊含在數學概念背后的思想和文化，培養學生養成用辯證思想思考和解決問題的好習慣。

（三）概念的應用

1934年4月，郭人全在《中國社會現狀與教育問題檢討》一文中指出，當前世界資本主義國家過剩工業品如潮水般涌進中國，期望以農產品角逐于世界市場無異于天方夜譚，中國當以發展工業生產為主，那樣就“無須需求國外市場而只要保證國內市場”，即可使中國經濟自立于世界[23]。吳法軍認為，“利用農產品去換外國的工業品”是造成“中國人民全作了帝國主義的消費人員”的重要原因，強調只有在生產教育上，把工業放到第一位，才可使中國“從落后的農業經濟漸漸向工業經濟發展”[20]。

“學以致用”是學生課程學習的主要目的，也是高等教育培養應用型人才的必然要求。隨著社會的發展，作為公共基礎課的大學數學，其理論和方法已廣泛應用于自然和社會科學各領域，數學學科與各學科間的相互交叉滲透的特征和趨勢越來越鮮明。因此，在大學數學的概念教學中也要體現應用的理念，通過精心設計將數學概念與專業應用相融合，在完成概念的引入和解釋后，任課教師應結合學生的專業方向，再簡要介紹一到二個應用案例。如在定積分的教學中，對于經管專業，可以選講已知某個投資項目的預期收入f（t）和年利率γ，其中t為時間，如何求某個時間區間上總貼現值的案例；而對于電氣專業，可以講述已知電流的時間函數要求電壓的應用案例等等。這樣的設計使數學概念教學與授課學生專業相融合，可以有助于學生正確理解數學“基礎”課程的地位和作用，真實地感受到數學的價值，從而增加數學課程對學生的吸引力，激發學生學習數學的興趣。

（四）概念的延拓

在此，我們也從兩個方面來理解和講述概念的延拓，其一是概念內容的外聯，其二是概念思想的外延。一方面，大學數學一個顯著的特點是知識體系的邏輯性較強，各章節內容的前后關系密切。大學數學課程中眾多的概念往往都不是孤立的，而是都具有某種程度的關聯性，教師在概念教學中必須具有整體的觀念，講清楚各相關概念之間的區別與聯系，即概念的外聯。這不僅有助學生在溫故中知新，更重要的是有助于學生建立課程概念體系，避免只見樹木不見森林。以定積分的概念為例，極限、導數、不定積分等概念都與之相關，在教學中要理清這些概念的關系，幫助學生構建概念關系網絡圖，培養學生邏輯思維能力和系統觀。另一方面，數學概念體現了一類事物或現象的某種本質屬性或思想方法，這種本質屬性或思想方法即為概念的內涵。如著名數學家波利亞所說：“對于一個特例所以要進行這樣周密的描述，其目的就是從中提出一般的方法或模式。這種模式，在以后類似的情況下，對讀者求解問題，可以起指引作用”。［3］因此，在概念的教學中不僅應教會學生對事物本質屬性的抽象概括能力，還應教會學生用類比的思想方法解決類似的問題。如在定積分的概念教學中，學生通過學習曲邊梯形面積求法掌握定積分的思想方法后，教師可以拋出新問題：怎樣求曲頂柱體的體積？怎樣求線密度連續的曲線型構件的質量？在求曲邊梯形近似面積的過程中能否用小梯形代替小矩形？對這些新的問題教師可以作簡要提示，但不要細講。這樣設置“懸念”的教學方法，不僅為后續內容的學習埋下“伏筆”，更重要的是能調動學生主動學習的求知欲，并在探索學習中進一步鞏固概念的同時學會類比和歸納總結的思想方法。

三、結束語

課堂教學設計是大學數學教學的重要組成部分，科學合理的教學設計是提高大學公共數學教學質量的保證。數學概念作為構成數學理論體系最基本的知識單元，其相應的教學設計應引起廣大數學教師的重視。只有把數學課中眾多概念切切實實地教好，使學生不僅掌握概念的內容，還能理解概念的內涵和外延，領悟蘊含在概念中的數學思想、文化和應用價值，才能使學生由對數學課的普遍“畏學和厭學”逐步轉變為“樂學和思學”，進而提高大學數學課程的教學效果和質量，從而有助于實現大學生“知識、能力、素質”三位一體協調全面發展的最終教育目標。

參考文獻

［1］張耀.數學概念教學研究綜述［J］.運城學院學報，2005，23（2）：39-41.

［3］毛京中.高等數學概念教學的一些思考［J］.數學教育學報，2003，12（2）：83-86.

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）12-0083-02

*基金項目：廣西高等教育本科教學改革工程項目“適應社會需要彰顯專業特色，構建大學公共數學教學新體系的探索與實踐”（編號：2015JGA134）。

作者簡介：黃敢基（1972-），男，漢族，廣西欽州人，副教授，博士，研究方向為高等數學教育、控制理論。