初等數學“三個模型”的數學思想研究

夏 磊

(無錫機電高等職業技術學校 本科部，江蘇 無錫 214000)

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初等數學“三個模型”的數學思想研究

夏 磊

(無錫機電高等職業技術學校 本科部，江蘇 無錫 214000)

長期以來由于受到中國傳統精英教育的影響，進入職業學校學習的學生普遍缺乏自信，職業學校對數學的教學明顯存在以教師為中心，存在教材編寫與專業建設和課程開發聯系不強，文化功能被忽視的現象。基于此種現象，現將初等數學內容歸納整理，總結出了初等數學中“三個模型”的數學思想，從本質上把初等數學各部分內容通過三種形式找出了各自的聯系，并通過不斷變換和三個模型的有機結合，得到了初等數學的基本內容，加深學生對概念的理解和應用，引導學生領會和掌握隱含在數學課本內容背后的數學思想方法，建立科學的數學觀念，促進整體素質的提高。

三個模型；初等數學；數學思想

一、當前職業教育數學教學中存在的問題

(一)職業教育中初等數學發展的現狀與認識

長期以來，受到中國傳統精英教育的影響，職業教育發展困難重重。職業學校中的學生多數是成績中等及中等偏下的，但是進入職業學校學習的學生大部分都不是心甘情愿的，部分職業學校的學生在和普通高中的學生比較時，缺乏自信，并且這不僅僅是學生個人的想法，有一些教育工作者在教學工作中也給學生灌輸了這樣的思想。[1]從數學課程的編排上來看，職業學校對于數學的教學明顯存在課程內容和教材改革滯后，課程模式單一的問題。在教育和教學方式上出現了以教師為中心，教材編寫與專業建設和課程開發聯系不強，文化功能被忽視的現象。

(1)教學模式

不管是職業類學校還是普通高校(高中)，其教學模式都是需要隨著社會需求以及專業知識的不斷變化進行變革。[2]尤其是在當代社會，改革成了不可避免的趨勢，然而實際情況并非如此，大多數的職業學校的數學教學模式一成不變，在這種教學模式下的學生缺乏創新與活力，并且這種模式導致學生所學的知識與本專業乃至社會需要的數學知識產生了一定程度上的脫節，學生在學習的時候也會覺得無關緊要，產生重專業課，輕基礎課的心理。因此數學教學模式要在數學理論嚴謹的基礎上，加以變通使之適應專業課程的內容，使理論與實際應用相結合。

(2)教學環境

環境對學生的影響不可小覷。學生對待學習的態度受多種因素的影響，其中最重要的就是家庭環境，孩子在入學前，家庭成員的一舉一動是他們學習的對象，而入學后，雖然家庭環境的影響仍然是舉足輕重，但是學習環境對學生的影響也是十分重要的。職業學校作為教學系統不可分割的一部分，其教學器材的不完備以及不濃郁的學習氛圍都制約了它的發展。

(3)影響學生學習的因素

在學生的學習過程中，除了受到客觀因素的影響外，其學習成績還受到非智力的主觀因素的影響，比如學習目標、學習情緒、學習習慣和意志力等，如果學生可以處理好這些因素，其成績必然會得到顯著的提升，否則往往會起到負面影響，導致學生學習成績的下滑。

因此對職業學校來說，摸索出適合學校教學與學生學習有效融合的具體方法以及對教學體系的改革迫在眉睫。

(二)初等數學在12年發展中教學內容的不完善

如今，初等數學的教學內容由于受到應試教育等條件的制約，數學知識在教授時已經不像以往一樣逐一教授，而是把現有的數學知識劃分成不同的模塊，按照教學計劃和課程標準進行模塊化教學。不同專業的學生為了滿足自身需求，可以選擇部分模塊進行學習，但是數學畢竟是一個嚴謹的、完整的學科，各部分內容之間存在著緊密聯系。應試教育促成的模塊化教學雖然提供了多個選擇面，但對于學生完全掌握和運用知識產生了負面的影響，大部分學生只是注重公式的記憶和運算，而對于公式的來源和形成過程一知半解，影響了今后高等數學的學習和專業技術能力的形成。

二、初等數學“三個模型”的闡述

(一)加法模型：A+B=C

四則運算中，加法是最基本的運算。學生從小學一年級開始學習10以內的加法運算，這便是加法模型的雛形。通過加法模型，借助借位和進位的方法可以把10以內的加法推廣到20以內的加法運算，進而可以推廣到任意兩個確切的整數相加。如果把A和B都定義為分數，學生可以通過加法模型得到分數的加法運算，從而引進小數運算甚至擴大到無理數乃至復數域。如果把加法模型進行適當變形，得到A=C-B，這樣所有的減法運算都可以用加法模型來進行解釋。在這樣的一個學習進程中，隱藏著重要的數學思想。

美國學者富森指出：正整數加減法的現實意義主要包括以下幾個方面(1)聚合(2)比較(3)增加性變化(4)減少性變化。例如，小紅有5個蘋果，小明有3個梨，則問他們兩人一共有多少水果？當對兩者的水果個數進行比較時，如果只是關注了“加法”的動態模型，即只是一個量的隨時間順序上的“增加”，而忽略了加法的“具有同一質的兩個量才能相加”的思想，即“在理論與實踐上加法是有其深刻的意義的”，當兩個量非同質時，求和是不可進行的。

(二)乘法模型：A*B=C

在自然數中，如果每個加數都相同的若干個數相加時，那么為了計算的簡便，我們引入一個新的模型：乘法模型，也就是在加法模型的基礎上，把A+B=C中的B看成是A+A的加法模型的結果，依次類推，得到n個A相加，從而得到基本的乘法模型。小學階段所學的九九乘法表就是在此基礎上得以衍生。如果把乘法模型適當變形，當B不等于0時，A=C/B,這樣所有的除法模型都可以用乘法模型來進行解釋。

在長期趨勢分析中，乘法模型在具體應用中公式可變為Y=S*T*C*I，除了趨勢成分(T)、季節成分(S)和周期成分(C)外，還有不規則成分(I)。不規則成分說明時間數列中不能由趨勢和季節成分解釋說明的任何隨機影響。

根據實際統計問題的不同，乘法模型將會有所變動。例如

1) 在一定周期內計算時間數列的數值時，周期成分(C)將不參與計算，而計算預測結果時，將以周期(C)階段的數值進行統計計算。即時間數列數值Yc=Tc(周期C內的趨勢成分)*Sc(C周期內的季節成分)*Ic(C周期內的不規則成分)。

2) 對于在一年內發生的情況進行計算的時候，由于季節更迭無交叉，因此季節成分(S)不納入計算范疇。即時間數列數值Y=T(趨勢成分)*C(周期成分)*I(不規則成分)。

同時，在運用乘法模型計算的時候，我們也可以將其轉化為加法模型進行計算。Y=T*S*C*I可以轉化為 logaY=logaT+logaS+logaC+logaI,(a>0且a≠1)。

初等數學包含的各種知識內容，不管是代數方面還是幾何方面，都能歸納總結為以上三個模型。

三、初等數學“三個模型”數學思想

(一)函數

(1)函數的定義

函數主要描述的是不同變量之間的關系，其本質思想是通過熟悉特征，建立對應的數學模型，這種思想與變化與聯系的唯物主義觀點具有高度的一致性。在實際的函數學習過程當中，所謂的函數思想就是通過實際問題建構函數，并利用所建立的函數的性質解決對應的問題，在實際的解題過程當中常用到的函數性質有：單調性、奇偶性、周期性、最值以及函數圖像等。大部分的函數都具有上述的特征，因此，我們必須要掌握函數的相關特征。如果在加法模型A+B=C中，把A、B、C三個量中兩個量標記為x和y，并對式子進行整理，把y寫到等式的左邊，把x和另外一個量寫到等式的右邊，形成y=x+C的形式，從而引入了一次函數的概念。如果式子中的x本身就是通過乘法運算得到的結果，比如x是通過乘法運算得到的結果，那么二次函數就形成了。那么數學中的五種基本初等函數都可以通過“三個模型”得到：把指數模型中的A定義為自變量x，C定義為因變量y，得到冪函數y=xB；把指數模型中的B定義為自變量x，C定義為因變量y，得到指數函數y=Bx；在指數模型中，為了要確定B的取值，我們由指數模型引進了新的函數:對數函數，根據任意角三角函數的定義，我們可以通過乘法模型，得到三角函數的定義，而反三角函數則需要通過各種模型的結合，首先來確定反函數的定義，再根據反函數的定義來確定反三角函數的定義。

(2)函數的性質

單調性：根據函數單調性的定義，如果對于函數的定義域內任意兩個實數，我們只需要比較它們的大小，就能確定函數是單調遞增還是單調遞減，我們可以利用加法模型進行變形，把A+B=C變形成A-B=C的形式，通過C與0比較大小，我們就可以判斷函數的單調遞增和單調遞減。

奇偶性：函數定義域關于原點對稱是判斷函數奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時，應在化簡解析式后進行，同時利用加法模型和定義域的變形觀察圖像，若關于原點對稱，則該函數為奇函數，若關于Y軸對稱則該函數為偶函數。

有界性：我們可以利用不等式的概念來解釋有界性。設函數f(x)的定義域為D，數集X∈D。如果存在數K1使得f(x)≤K1對任意x∈X都成立則稱函數f(x)在X上有上界。此外，如果存在數字K2使得f(x)≥K2對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有下界，而K2稱為函數f(x)在X上的一個下界。 如果存在正數M，使得 |f(x)|≤M對任一x∈X都成立，則稱函數在X上有界。如果這樣的M不存在就稱函數f(x)在X上無界；這也就是說，無論對于任何正數M，總存在x1屬于X，使得|f(x1)|>M，那么函數f(x)在X上無界。

周期性：函數的周期性定義為T為非零常數，對于定義域內的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，則f(x)叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期。進一步解釋函數的周期性即為當自變量增大任意實數時(自變量有意義)，函數值有規律的重復出現。將概念具體化，以正弦函數為例f(x)=sinx,這個函數的周期為T=2kπ(k∈Z且k≠0)。

(二)方程與不等式

(1)方程：如果在加法模型中，A、B、C中任意一個換成未知數x,那么加法模型就推廣成了一元一次方程；如果其中有兩個換成未知數，就形成了二元一次方程。如果二元一次方程中的其中一個未知數寫成兩個未知數的和的模型，那么可以得到三元一次方程，依次類推，我們可以用加法模型來解釋多元一次方程。如果在多元一次方程中，某一個未知數利用乘法模型加以改寫的話，就可以得到n元高次方程的定義。若在各種普通的方程中，加入指數模型，把其中一個已知數定義為未知，我們則可以定義指數方程和對數方程。

(2)不等式：在定義方程的基礎上，將式子中的等號改成不等號(<,>,≥,≤,≠)，就得到了不等式。將不等式引用到現實生活中，可以用來進行量之間大小的比較，我們可以通過不等式或者對加法模型進行變形，把A+B=C的形式改寫成A-B=C的形式，通過C與0的比較，得到兩個數或者兩個式子的大小關系。

(三)幾何

平面幾何主要是研究平面上的直線和二次曲線的幾何結構和度量性質。為了解釋線段的長度，我們就可以通過加法模型，引進線段的長度表示數字的大小。當笛卡爾引進坐標系的概念以后，代數和幾何的關系變得十分明朗。根據解析幾何的相關內容，方程的性質以及代數的性質可以通過幾何圖形反映出來，因此可以把方程與代數的相關問題轉化為幾何問題，而方程正是我們可以利用三種模型得到的概念。而立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面(如球面、橢球面、錐面、雙曲面、鞍面)的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變量問題。二次曲線方程和二次曲面方程同樣隸屬于方程的范疇，我們同樣可以利用三種模型的結合來加以解釋。

(四)三角函數的定義

三角函數是一種角度函數，即三角函數的自變量為角度，直角三角形兩邊的比值由于對應角度的變化而變化的這種關系被稱之為三角函數。任意角的三角函數是通過比值來定義的，比值正是乘法模型的一種變形。同樣三角函數可以寫成泰勒級數的形式。由于三角函數能夠計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，因此在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的應用。

四、研究的總結

在當今科學技術和數學本身大發展的趨勢下，數學思想方法比形式化的知識更加重要，數學思想方法的教學意義更為突出。[3]初等數學”三個模型”的數學思想，從本質上把初等數學各部分內容通過三種形式找出了各自之間的聯系，并通過不斷變換和三個模型的有機結合，得到了初等數學的基本內容。除了方便學生在掌握知識的同時牢記知識點的起源外，更能加深學生對概念的理解和應用，引導學生領會和掌握隱含在數學課本內容背后的數學思想方法，建立科學的數學觀念，促進個體整體素質的提高。

[1] 徐杰.巧用函數與方程的思維聯系解題[J].貴陽學院學報(自然科學版),2008,3(4):67-72.

[2] 王錫泉.中等職業學校數學教學存在的問題及對策[D].煙臺:魯東大學,2013：35.

[3] 張月媚.中學數學思想方法的教學研究與實踐[D].福州:福建師范大學,2002：22.

責任編輯：一 粟

Research on Mathematical Thought of “Three Models” in Elementary Mathematics

XIA Lei

Under the influence of China’s traditional elite education, students in professional colleges are usually lack of confidence. Mathematics teaching in professional studies exists as teacher-centered and textbook compilation does not have close relationship with professional establishment and curriculum development. There is a phenomenon that the cultural function has been ignored. Based on this phenomenon, the paper makes a consolidation on the content of elementary mathematics, and summarizes the mathematical thought of “three models” in elementary mathematics, finds out their relationship in essence, and gets the basic content of elementary mathematics by constantly changing and organically associating the three models. It can help strengthen students’ understanding and application of concepts, guide them grasp the mathematical thought methods behind content in mathematics textbooks, establish scientific mathematics concepts and improve the advancement of overall quality of individuals.

three models; elementary mathematics; mathematical thought

2016-08-15

夏磊(1980—)，男，江蘇無錫人，講師，研究方向：數學軟件及數學教學。

G712

A

1671-8275(2016)06-0067-03