淺談如何更好地講解全概率公式和貝葉斯公式

劉新樂(lè)　劉小瓊

【摘要】全概率公式和貝葉斯公式都是概率論中的重要公式之一， 它既是我們講解的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。怎樣講好這一公式， 讓學(xué)生理解得更透徹，掌握的更牢固一直是教師們不斷探討的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】劃分 全概率公式 貝葉斯公式

【基金項(xiàng)目】河南理工大學(xué)校青年基金資助項(xiàng)目（72511/082），河南理工大學(xué)校示范教師教改專(zhuān)項(xiàng)資助項(xiàng)目（72307/001）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）01-0140-01

全概率公式和貝葉斯公式是概率論這門(mén)學(xué)科中的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，而同學(xué)們卻總是對(duì)這一部分的知識(shí)理解不夠透徹、掌握總是不到位。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，筆者逐漸摸索出一種便于理解和應(yīng)用的方法，現(xiàn)介紹一下以作切磋：

首先介紹預(yù)備知識(shí)：1.概率有限可加性：設(shè)B1，B2，…Bn為兩兩互斥事件組，則有P（B1∪B2∪…∪Bn）=P（B1）+P（B2）+…P（Bn）；2.乘法公式，當(dāng)P（A）>0，或P（B）>0，P（AB）=P（B）P（A|B）=P（A）P（B|A）。

然后從一個(gè)引例引出學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣：先看這樣一個(gè)問(wèn)題，有一個(gè)箱子，編號(hào)為 1，里面有四個(gè)白球一個(gè)紅球，則從中取出紅球的概率是多少呢？很顯然，根據(jù)古典概型的知識(shí)可以知道是五分之一。那如果問(wèn)題變得復(fù)雜一點(diǎn)，編號(hào)為2的箱子里有三個(gè)白球兩個(gè)紅球，編號(hào)為3的箱子里有三個(gè)紅球，若某人先選一個(gè)箱子之后再?gòu)闹腥〕鲆粋€(gè)球，問(wèn)最后取出紅球的概率是多少呢？

這個(gè)問(wèn)題的求解可以通過(guò)中學(xué)學(xué)過(guò)的樹(shù)形圖的方法來(lái)進(jìn)行解決，引導(dǎo)學(xué)生可以根據(jù)學(xué)過(guò)的乘法原理分步驟的思想進(jìn)行計(jì)算：取一號(hào)箱的情況取到紅球的概率就是三分之一乘以五分之一；取二號(hào)箱的情況取到紅球的概率就是三分之一乘以五分之二；取一號(hào)箱的情況取到紅球的概率就是三分之一乘以一，把三種情況加在一起就是最后的結(jié)果。這實(shí)際上就是樹(shù)形圖上“同枝相乘，異枝相加”的思想，放在大學(xué)知識(shí)里也就是乘法與加法的一個(gè)綜合運(yùn)用。把這種方法提取出來(lái)，解題思想上升到一定理論，抽象出一種更普遍的公式用以解決更復(fù)雜的問(wèn)題，這也就是我們今天要講的全概率公式。

在全概率公式應(yīng)用的過(guò)程里，類(lèi)似于取箱子這樣的事件很重要，那我們就要好好分析這類(lèi)事件，總結(jié)出它們的性質(zhì)。回過(guò)頭來(lái)還看這個(gè)引例，要取球的第一步要取個(gè)箱子出來(lái)，那如果取一號(hào)箱會(huì)不會(huì)同時(shí)取二號(hào)箱？那么取二號(hào)箱會(huì)不會(huì)同時(shí)取三號(hào)箱？不會(huì)的，同樣取三號(hào)箱的話(huà)也不會(huì)取到一號(hào)箱。也就是說(shuō)事件B1、B2、B3為兩兩互斥事件組。再看最后取到的紅球要么屬于一號(hào)箱，要么屬于二號(hào)箱，要么屬于三號(hào)箱，還有沒(méi)有其他情況呢？沒(méi)有了。所以說(shuō)事件B1、B2、B3包含了所有情況，也就是B1∪B2∪B3=S，而取到紅球（事件A）就是一號(hào)箱的紅球或者二號(hào)箱的紅球或者三號(hào)箱的紅球，也就是事件A總是會(huì)伴隨著事件B1、B2、B3中的一個(gè)發(fā)生，所以我們稱(chēng)事件B1、B2、B3為事件A的原因，更嚴(yán)格地我們給出類(lèi)似于事件B1、B2、B3這樣的事件組的定義，在概率論里我們把他們稱(chēng)作劃分。這是我們今天要講的第一個(gè)主要內(nèi)容，看劃分的定義：

設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若

（i） BiBj=？準(zhǔn)，i≠j，i，j=1，2，…，n；

（ii） B1∪B2∪…∪Bn=S.

則稱(chēng)B1，B2，…，Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。

從劃分對(duì)最終事件的影響出發(fā)，結(jié)合化整為零、各個(gè)擊破的思想，推導(dǎo)出全概率公式，然后給出全概率公式的定義：

定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

稱(chēng)上式為全概率公式。

全概率公式是按照事情的發(fā)展順序，針對(duì)已知原因求結(jié)果的問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，還有一種類(lèi)型，是按照事情發(fā)展的逆序，針對(duì)已知結(jié)果求原因的問(wèn)題：例1中某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率？或者問(wèn)：該球取自哪號(hào)箱的可能性最大？再比如某個(gè)公司使用責(zé)任承包制，那么出現(xiàn)次品問(wèn)題應(yīng)該由哪個(gè)廠負(fù)責(zé)？這種類(lèi)型的問(wèn)題是我們要介紹的貝葉斯公式（逆概率公式）。

定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

稱(chēng)上式為貝葉斯公式。

下面我們先來(lái)看兩個(gè)例子：

例1 甲，乙兩文具盒內(nèi)分別有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆，現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒內(nèi)，然后再?gòu)囊椅木吆兄腥稳?支筆，求最后取出的2支筆都是黑色的概率。

做這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是劃分的選擇，最后用兩個(gè)例題說(shuō)明如何在實(shí)際問(wèn)題中找出劃分的事件組，選擇標(biāo)準(zhǔn)之一是（如例1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)的第一步，第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是（如例2）對(duì)象的屬性，這樣學(xué)生理解起來(lái)就比較簡(jiǎn)單，在做題的時(shí)候就感覺(jué)很容易了。

作者簡(jiǎn)介：

劉新樂(lè)（1980-），女，河南平頂山人，講師，碩士研究生，從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)方向研究。