極限是“近似值”嗎？

【摘要】極限是高等教學(xué)的重要方法，也就是有限數(shù)學(xué)向無窮小分析數(shù)學(xué)過渡的關(guān)鍵所在，對極限準確無誤的理解，對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著深遠的意義。

【關(guān)鍵詞】極限 無窮小 悖論

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0131-02

首先看一個數(shù)學(xué)悖論。如圖在一條筆直的路上，運動之前，汽車在A點，人在B點汽車運動的速度為V，人運動的速度為U，設(shè)V>U，汽車和人從各自的位置按各自的速度同時同向作勻速直線運動。當汽車到達B點時人到達C點，汽車到達C點時，人不在C點已到達D點，如此下去，車與人的距離在逐漸縮小因為V>U，即：|AB|>|BC|>|CD|>……即汽車與人越來越近這一點是肯定的，請問如此下去車能超過人嗎？客觀實際當然汽車能超人。可上面給出的數(shù)學(xué)模型汽車又不能超過人，只是車與人無限接近。下面通過數(shù)學(xué)中的極限理論給予說明。這就是數(shù)學(xué)史上最著名的阿基里斯學(xué)論；公元前五世紀，芝諾發(fā)表了最著名的阿基里斯悖論，他提出烏龜在阿基里斯1000米處開始，阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍，比賽開始后，阿基里斯1000米用時間t，烏龜領(lǐng)先100米，當阿基里斯跑完下一個100米，烏龜領(lǐng)先他10米，當阿基里斯跑完下一個10米，烏龜領(lǐng)先1米……芝諾認為阿基里斯可以繼續(xù)逼近烏龜，但當決不可能追上它。這個問題困擾人類上千年，直到十八世紀瑞士數(shù)學(xué)這家歐拉發(fā)表著名的《無窮小分析引論》，阿基悖論才得于徹底解決。數(shù)學(xué)分析的歷史表明，很多變化狀態(tài)的比較復(fù)雜的變量，都可以轉(zhuǎn)化成一種簡單而又重要的變量，即“無窮小量”我們常常把變量理論稱為“無窮小分析”數(shù)列極限的定義：對于數(shù)列{an}，如果存在一個常數(shù)A，無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項an，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε，即n>N時|an→A|<ε恒成立，常數(shù)A叫作數(shù)列{an}的極限，記為n→∞，an→A。極限的定義抽象難以理解，但有一點是學(xué)生是容易接受的，那就是|an→A|<ε因ε可以任意小，就說明n→∞時，an無限趨近于A、即n→∞，an→A，例n→∞，→0但是學(xué)生往往把極限理解成“近似值”即n→∞，an≈0這是對極限的極大歪曲，原因在于把“趨近”與“無限趨近”混為一談。極限為零的變量稱之為無窮小量，簡稱無窮小。

例：Limsinx x→0=0稱為x→0時函數(shù)sinx是無窮小

Limx→2（x-2）=0稱為x→2時函數(shù)x-2是無窮小，無窮小是指某過程中函數(shù)變化的趨勢，“無窮小量”并不是表達量的大小，而是表達它的變化狀態(tài)。“無限制變小的量”三種特點：1.無窮小的變量，不能與很小很小的數(shù)混淆。2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)。3.稱函數(shù)為無窮小，需要指出自變量的變化過程。無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：Limf（x）=A？圳f（x）=A+α（x），其中α（x）是x→x0的無窮小。下面用無窮小分析法來解決上面的汽車與人的問題。（阿基里斯悖論）現(xiàn)代物理學(xué)已經(jīng)證明了時間和空間是可以無限分割的。如圖，現(xiàn)給出汽車與人在運動過程中的距離函數(shù)，在某路段上給出一個分割方法，從A點以后取足夠多的點，使所得到的任何線段都小于前面所有線段，即|AB|>|BC|>|CD|>……每個分點就是一個分割數(shù)，記為n，兩分割點的距離記為d（n），顯然d（n）與n成反比，即隨著n的增大，d（n）在減小，d（n）=（k為比例常數(shù)，與路況，空氣阻力等有關(guān)）按上的分割法在任意長的路段上都有無窮多的分割點，即n→∞，設(shè)汽車與人足夠運動后的距離為d。

則：d=Limn→∞d（n）=Limn→∞=0 即n→∞、d（n）→0表示汽車無限趨近于人，表示汽車與人的距離“嚴格”為零，所以車必超過人，如果有極限是“近似值”那么汽車絕對不會超過人，所以極限應(yīng)是“嚴格值”并不是“近似值”極限的定義也是充分表現(xiàn)這點的。極限是高等教學(xué)的重要方法，也就是有限數(shù)學(xué)向無窮小分析數(shù)學(xué)過渡的關(guān)鍵所在，對極限準確無誤的理解，對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著深遠的意義。

參考文獻：

[1]無窮分析引論.歐拉著，張延倫譯.山西教育出版社.1997-1

作者簡介：

顧忠生（1964-），男，云南曲靖人。本科，中教高級職稱，研究方向：工程數(shù)學(xué)與應(yīng)用。