巧用數學思想提高解題能力

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0128-01

喬治·波利亞在數學教育上的研究主要是“解題”、“解題教學”和“數學教師培訓”三個領域。波利亞最為強調兩點之一是“教會年輕人思考”，也就是“接近‘解題”。他實質上是把“解題能力”作為“中學”數學的第一目的，從他的著作可以看到他的“解題”主要是指數學內部問題，并沒有十分關注解實際的生活中的問題（但他并不排斥這一點）；“解題是最富有特征的、特殊類型的、有目的的思考”，亦就是說解題是培養學生思維能力的重要途徑。在解題過程中滲透利用數學思想，可以使學生在冥思苦想之后，及時地改變思考問題的角度，另辟蹊徑進行求解，提高了解題能力，有利于發展學生的數學思維，提高創造能力。

一、數形結合思想

數形結合數學從辯證法意義上講，沒有數形結合，僅是孤立地研究物質世界的數量關系或空間形式，十分狹隘和膚淺，不但數學的發展受到遏制，而且人類對物質世界客觀規律的認識也永遠只能處于片面的、孤立的、淺表的狀態。

數形結合思想，把問題的數量關系轉化為圖形的性質，或將圖形的性質轉化為數量關系，是數學活動中的一種十分重要的思維策略。形與數的結合，不僅使幾何問題獲得有力的代數工具，同時也使數學課題具有明顯的直觀性。著名數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”因此化數為形，化形為數，數形結合，相互為用，是數學的重要思想方法之一。

1.化數為形

將抽象的代數問題，通過構造圖形化抽象為具體，借助直觀，啟發思維，轉化為易解的幾何問題。

例1 已知：x<0，y>0且y<|x|，問x，-x，y，-y的大小順序。

解：構造數軸

顯然 x<-y

析解：如上圖所示，若以x+y為直徑作半圓，且在圖形上分別作出和，則結論顯然成立。

2.化形為數

不易證明的幾何問題，通過設輔助字母運用代數、三角知識，借助計算，把圖形的性質定量化，從而證得所證結論。

例3 已知：如圖，P為等邊三角形ABC外接圓劣弧上任意一點。

求證：⑴ PB+PC=PA ⑵PB·PC=PA2-PC2

證明：設△ABC邊長為a，在△PAC中，∠APC=60°

∴ a2=PA2+PC2-2PA·PC·cos60°

即PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0 ①

在△PAB中，同樣有PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0 ②

由①、②可知：PB、PC都是方程

x2-PA·x+PA2-BC2=0的兩根。

∴ PB+PC=PA PB·PC=PA2-BC2

二、變換與轉化

解答數學題，往往通過多種多樣的變換，實現問題的轉化，化未知為已知，化陌生為熟知，化繁難為簡易，化綜合為單一，因此轉化是解題的有力杠桿。

1.變換條件（或結論）

有些題目的條件（或結論）比較復雜或難以入手，可設法等價的變換。

2.幾何中的變換

全等變換主要包括平移、對稱、旋轉。由此可適當添作輔助線，實現由未知向已知的轉化，架起溝通條件與結論的橋梁。

例 已知：如圖，設D是等腰直角三角形ABC底邊BC的中點，P是BC上任意一點，作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求證：DE=DF

析證：為了使DE和DF集中在一起，使之成為同一三角形兩邊，以BC為軸，作Rt△ABC的對稱圖形，得正方形ABA′C，問題轉化為DE=DF′

證明：∵ D是正方形ABA′C對角線BC的中點

∴ D在BA′的垂直平分線上

∵ EF′∥BA′， EF′=BA′

∴ D在EF′的垂直平分線上

∴ DE=DF′ 又DF′=DF

∴ DE=DF

當然，數學思想不止這些。真正將學生從題海中解放出來，又能提高他們分析問題、解決問題的能力，又有利于發展思維，應該克服過分強調哪類問題用哪種解法的教學傾向，應該重視對學生數學思想的培養，從而提高解題能力。

作者簡介：

忽培明（1972-），任石河子第十七中學初中數學教師，中教一級。