關(guān)于一個課本探究問題的思考

王少奇

【摘要】新課改的實施，教材比以前更注重對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，更有利于對優(yōu)秀思維品質(zhì)的培養(yǎng)，這就要求教師充分利用教材，不僅要重視知識的傳播，更要重視學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，進一步挖掘和利用探究問題，做好前后知識的銜接、結(jié)論的推廣、知識的深化，形成完整的知識體系。

【關(guān)鍵詞】類比 思維的廣闊性 思維的深刻性

【基金項目】甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題，課題批準(zhǔn)號GS[2014]GHB0982。

【中圖分類號】G42 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0033-02

探究性問題可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)果的推廣和深化，也可以是不同教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，探究的過程和結(jié)論具有開放性。類比是人們認(rèn)識社會、認(rèn)識自然的基本思維方式，數(shù)學(xué)教學(xué)更是如此，通過類比，對一類知識形成完整體系，前后知識融會貫通，達到舉一反三的效果，通過類比，歸納總結(jié)，掌握規(guī)律，推廣結(jié)論，掌握知識點間的內(nèi)在聯(lián)系，深化對知識的理解，提高分析問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性與創(chuàng)造性。

下面我們看圓錐曲線章節(jié)中有關(guān)斜率的一個探究性問題：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，數(shù)學(xué)選修2—1（人民教育出版社）第55頁探究問題，如圖2.3—5，點A、B的分別是（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是4/9，求點M的軌跡方程并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，數(shù)學(xué)選修2—1（人民教育出版社）第41頁例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直線AM、BM的斜率之積是4/9，因此可以建立x、y之間的關(guān)系式，得出點M的軌跡方程。

所以點M的軌跡是焦點在x軸上（不含頂點即定點）的雙曲線。

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，數(shù)學(xué)選修2—1第41頁，例3，如，設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-4/9，求點M的軌跡方程。

分析：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直線AM、BM的斜率之積是-4/9，因此可以建立x、y之間的關(guān)系式，得出點M的軌跡方程。

學(xué)生通過類比達成的初步認(rèn)識：到兩定點的連線的斜率之積為負(fù)時點的軌跡為橢圓（除去頂點即兩定點）、到兩定點連線的斜率之積為正時點的軌跡為雙曲線（除去頂點即兩定點），教師再引導(dǎo)：同學(xué)們能否再準(zhǔn)確的表述曲線的特征（位置、大小）？讓學(xué)生將斜率之積更換為其它負(fù)數(shù)，多次練習(xí)，推出結(jié)果，通過橫向類比推廣、探求規(guī)律。結(jié)論：若點M（x，y）到兩定點A（-m，0）、B（m，0）的連線斜率之積為-p（其中m、n、p均為正數(shù)）則點M的軌跡方程為px2+y2=pm2（x≠±m(xù)），則當(dāng)01時，曲線為焦點在y軸上，長軸長為2m，短軸長為2m且除去兩點的橢圓，當(dāng)p=1時，曲線為以線段AB為直徑除去兩定點的圓。再讓學(xué)生將斜率之積更換為其它正數(shù)，通過縱向類比，深入挖掘、探求變化規(guī)律，推導(dǎo)當(dāng)斜率之積為正時的結(jié)論：若點M（x，y）到兩定點A（-m，0）、B（m，0）的連線斜率之積為p（其中m、n、p均為正）則方程為px2-y2=pm2（x≠±m(xù)），不論p的值與1的大小如何，曲線總是雙曲線，且焦點總在x軸上，實軸長為2m，虛軸長為2m，但值影響著雙曲線的開口大小，特殊情況p=1時為等軸雙曲線。

通過這樣的練習(xí)學(xué)生對圓及圓錐曲線中的橢圓與雙曲線的問題就可以通過統(tǒng)一的方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）去認(rèn)識、去研究，當(dāng)A、B、C同號且A=B時，則為圓，若A、B異號則為雙曲線，A、B、C同號且A與B不相等則為橢圓。在求曲線方程時，最為理想的就是能夠根據(jù)已知條件先定性再定量，即先確定為哪一類特殊的曲線，再按待定系數(shù)法去求常數(shù)，當(dāng)然上面例子為求曲線方程的題目，必然要按常規(guī)步驟去做，因無足以說明曲線特征的明確條件，但如果探索清楚這類題目，則在選擇題及填空題中能夠節(jié)約時間，提高效率及準(zhǔn)確度。

反思總結(jié)：教學(xué)本身是一個教與學(xué)的雙邊活動，教師、學(xué)生和教材構(gòu)成教學(xué)的三個基本要素。首先教師要充分利用好教材，主要知識點按類別加以整理、歸納，使知識系統(tǒng)化、概括化，更好地理清關(guān)系，加強記憶，精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，對教學(xué)內(nèi)容進行必要的調(diào)整、增補，必要時采用模型、掛圖、多媒體等教學(xué)手段，豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次教師要注意自身建設(shè)，教師必須不斷提高自身的學(xué)術(shù)素養(yǎng)，要給學(xué)生一碗水，自己要有一桶水，教師的一桶水哪里來，是平時的點滴積累，對科學(xué)知識所蘊含的規(guī)律、蘊含的能力的深層次理解，解決問題時問題的方方面面都要想到，把解決問題的幾個方案列出來，選擇其中的最佳方案，簡化解題過程，提高解題效率，培養(yǎng)學(xué)生穩(wěn)定、綜合的數(shù)學(xué)素質(zhì)。第三關(guān)注學(xué)生的收獲與發(fā)現(xiàn)，注重學(xué)生的良好發(fā)展，在學(xué)習(xí)過程中學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)的東西才是最重要的和富有個人特色的知識，只有親自參與新知識的發(fā)現(xiàn)，感同身受，才能鍛煉學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的能力，從經(jīng)驗中把握問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性，解決問題的自覺性與主動性。另外要發(fā)揮情感的增益效應(yīng)，情感是人對客觀現(xiàn)實的態(tài)度的體驗，人是具有情感，對周圍事物的認(rèn)識會受到心境的影響，保持良好的心情顯得尤其重要。教師在教學(xué)過程中要以飽滿的激情和熱情感染學(xué)生，讓學(xué)生處于愉悅、興趣飽滿、精神振奮的狀態(tài)中，使他們獲得各種積極情感和高尚情操的陶冶，形成良好的好學(xué)、樂學(xué)的人格特征，培養(yǎng)起學(xué)生對該學(xué)科的熱愛之情，教育要把握眼前機會，使學(xué)生在現(xiàn)實中磨煉提高。

總之在科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的信息時代，新知識劇增，必須善于學(xué)習(xí)，不斷地進行學(xué)習(xí)。一要使學(xué)生認(rèn)識到自己是學(xué)習(xí)過程中的主人，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中由此及彼，從一個問題衍生開來，提出嶄新的問題，引導(dǎo)學(xué)生為自己的觀點，積極找證據(jù)，既要敢于去想、去堅持，同時也要善于接納他人正確的觀點，在合作中、討論中獲得最大的收益。二要正確處理教學(xué)與學(xué)生思維的“同步”關(guān)系，從學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”開始，因勢誘導(dǎo)，會達到事半功倍的效果。三要注意引導(dǎo)學(xué)生縱橫思索、發(fā)散聯(lián)想、推廣引申，通過橫向類比推廣、探求規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，通過縱向類比，深入挖掘、探求變化規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性，從而成為真正意義上的創(chuàng)新性人才。