無可信第三方的可驗證多秘密共享

朱錦華

摘 要：一般秘密共享方案需要有可信第三方作為分發者進行秘密分配，實際應用中，不存在完全可信的第三方，因此已有方案均存在安全隱患，降低了實用性。為提高方案的實用性，提出了一種無可信第三方的可驗證多秘密共享方案。方案利用哈希函數作為安全假設，減少了計算開銷。通過廣播消息避免了對安全信道的需求并且降低了通信代價。方案無需無可信第三方，提高了秘密共享方案的安全，方案一次可共享多個秘密，且可驗證秘密份額的有效性。

關鍵詞：秘密共享；可驗證；無可信第三方

秘密共享是密碼學中密鑰管理的重要分支之一，最早由Shamir提出。Shamir的（t， n）門限共享方案基于多項式插值實現的，該方案準許誠實的分發者將秘密S分成n份子秘密發送給n個參與者，使得大于等于t個分發者可以重構秘密S，任意小于t個參與者無法獲得秘密的信息。秘密共享思想得到廣泛應用，如電子投票、電子拍賣、數字簽名等。

Shamir門限共享方案具有簡單、實用的特點，但方案仍存在不足。首先，方案為單秘密共享方案，共享效率較低；其次，方案可能存在欺騙攻擊，在秘密重構階段，參與者可能發送虛假子秘密導致重構失敗；最后，完全可信的第三方現實中不存在，實際應用中存在安全隱患。為解決上述問題，有的方案提出了多秘密共享方案，方案一次可共享多個秘密，有效的提高了共享效率。方案1提出了可驗證的秘密共享方案，方案可驗證子秘密的有效性，有效的解決了參與者的欺騙的攻擊。而針對分發者的誠實問題，方案2提出了抗泄露的秘密共享方案，有效防止半誠實分發者存在的攻擊，但只可共享一個秘密。方案3基于離散對數問題提出一種無可信中心的可公開驗證秘密共享方案，但方案計算與通信開銷較大。

為解決上述文獻存在的問題，綜合已有方案的優點，本文提出了一種無可信第三方的可驗證多秘密共享方案，方案利用單向哈希函數簡單易于實現的優點，實現子秘密的驗證過程，有效的降低了計算開銷，方案采用由參與者共同創造多項式系數的方式，降低了分發者的權限，可以有效的抵抗半誠實參與者的攻擊。

一、預備知識

（一）單向哈希函數

單向哈希函數是指具有單向性和抗碰撞性的哈希函數H。

（1）單向性：已知H（x），計算滿足y = H（x）的x是困難的。

抗碰撞性：對于x的哈希值H（x），找到x滿足H（x） = H（x）是困難的。

（二）半誠實分發者

半誠實分發者不同于傳統的欺騙分發者直接發送假的秘密份額，半誠實分發者只是將秘密信息隱藏在有效的子秘密中，具有一定隱蔽性而且打破了秘密共享的門限限制。

（三）無可信第三方的可驗證多秘密共享

無可信第三方的可驗證多秘密共享方案是一種符合正確性、安全性、可驗證性的多秘密共享方案。

正確性：如果分發者是半誠實分發者，那么由任意不小于t個參與者提供的秘密份額能夠正確重構秘密S。

安全性：如果分發者是半誠實分發者，那么通過任意小于t個參與者提供的秘密份額將無法得到任何關于秘密S的信息。

可驗證性： 如果分發者是半誠實分發者，那么參與者可以驗證分發者分發的秘密份額的有效性，分發者D也可以驗證參與重構的參與者提供的秘密份額的有效性。

三、方案分析

（一）正確性分析

定理1 分發者是半誠實的，方案可保證任意大于等于t個參與者正確恢復k個秘密。

證明：根據半誠實分發者定義，當方案執行時，分發者按照方案執行。參與者Pi正確計算子秘密f （ i ） ，并且誠實提供子秘密。根據拉格朗日插值，已知大于等于t個多項式函數值可唯一確定一個t-1階多項式。因此，參與者可以正確恢復f （0）， 利用公布的gi，進而恢復k個秘密。

（二）安全性分析

定理2 分發者是半誠實的，方案可保證小于t個參與者無法獲得任何關于秘密的信息。

證明：根據半誠實分發者定義，分發者按照方案執行。根據方案描述，公布的信息包括gi， vi， f （i） ，其中已知gi，未知f （0）敵手無法獲得任何秘密的信息。又因為vi =H（f （i） ），根據哈希函數單向性，已知vi，敵手無法獲得任何關于f （i） 的信息。由于公布的f （i） = ri + f （i） 中ri為每個參與者選擇的隨機數，因為即使公布 f （i）每個參與者也不能獲得多余的有效子秘密。假設有t-1個參與者{P1， P2， ...， Pt}試圖恢復秘密，根據拉格朗日插值定理，t -1個函數值只能唯一確定t -2階多項式，而f （x）為t-1階，因此t-1個參與者無法得到任何關于f （0）的信息，即無法重構k個秘密。

（三）可驗證性分析

定理3 分發者是半誠實的，方案可使參與者驗證個人計算的子秘密是否正確；在重構階段，每個參與者可驗證其他參與者發送的子秘密是否有效。

證明1：假設參與者不具可驗證性，即參與者可半誠實分發者發送的虛假秘密份額。假設分發者公布消息為，根據方案描述，參與者利用隨機數ri計算秘密份額，利用哈希函數計算并和vi比較：

根據方案，參與者要求分發者重新發送，因此，與假設矛盾，方案參與者具有可驗證性。

證明2：在秘密恢復階段，每個參與者接受其他參與者的秘密份額，根據方案描述，參與者在接受到所有子秘密后，計算秘密份額的哈希值，并判斷是否與vi相等，，當驗證通過后進行秘密恢復，因此方案秘密恢復階段，參與者具有驗證性。

四、方案比較

本文方案在共享秘密個數，安全假設以及是否依賴可信第三方上具有較大優勢。多秘密共享表示共享秘密個數，安全假設描述方案計算負責度，是否依賴可信第三方是指方案分發者是否完全誠實。根據對已有文獻研究，對比結果如表1：

表1中Y表示具有該項性質，N表示不具有該項性質。在安全假設中hash、RSA、DLP分別表示單向哈希函數、RSA假設、離散對數問題。根據對比分析，本方案屬于多秘密共享發難，方案使用單向哈希函數作為安全假設，增強了實用性，方案不需要依賴可信第三方，降低方案的條件限制，提高了方案的安全性以及實用性。

五、總結與展望

本文提出了一種無可信第三方的可驗證多秘密共享方案，方案無需誠實的分發者進行秘密分發，降低了已有方案的限制條件，使得方案更具有實用性；方案基于單向哈希函數，方案無需花費較大的計算開銷。

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