數列求和的基本思想方法淺談

寧夏石嘴山市光明中學 卜耀鋒

數列求和的基本思想方法淺談

寧夏石嘴山市光明中學 卜耀鋒

高中數學數列方法

數列知識是數學必修五所學內容，是高中數學的重點知識之一，也是高考必考內容之一.數列作為特殊的函數，數列知識一直是高考必考的知識點，以等差數列和等比數列知識為基礎，通常考查數列求和等問題，對學生的要求較高.通過研究教材中數列的知識，結合高考中對數列知識的考查來看，對數列的考查既注重知識又兼顧方法.本文結合近些年的高考試題和教材的相關內容，通過對數列求和方法的總結研究，歸納出數列的幾種常見求和方法.

一、基本法（公式法）

教育部考試中心編寫的考試大綱以及考試大綱的說明中明確指出，掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式.說明對于數列的求和重點在于等差數列和等比數列的求和公式及其求和的思想方法.等差數列的前n項和Sn=等比數列的前n項和Sn=na1（q=1）

二、倒序相加法

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an…（1），Sn=an+ an-1+an-2+…+a2+a1…（2）.

將（1）、（2）兩式相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1），這種方法稱之為倒序相加求和法，其特點就是一個數列的首尾等距的項之和相等.數列求和，需要對和式化簡，比如在等差數列求和化簡中，結合和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an的結構特點，充分運用了等差數列的性質：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，對和式Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an進行化簡.

三、錯位相減法

1.等比數列求和公式.

在等比數列｛an｝中，首項為a1，公比為q，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1（3），

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn（4），

將（3）、（4）兩式相減得（1-q）Sn=a1-a1qn=a1（1-qn），當q=1時，Sn=na1，當q≠ 1時

2.錯位相減法求和.

錯位相減法通常適合一個由等差數列和等比數列對應項的乘積構成的數列求和，即cn=anbn，其中｛an｝是等差數列，｛bn｝是等比數列，且｛bn｝不是常數數列（即公比q≠1）.在求和時，由前n項和Sn定義寫出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn，然后構造第二個和式qSn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+…+an-1bn-1q+anbnq.兩式相減，化簡合并得到Sn.例如2010年新課標Ⅱ卷解答題第17題設數列｛an｝滿足a1=2，an+1-an=3·22n-1，（Ⅱ）令bn=nan，求數列的前n項和Sn.考查錯位相減法求和法的應用.

四、裂項相消法

裂項相消求和法實際上就是分組求和法的綜合應用，即通過把數列｛an｝的通項an代數變形，整體拆分成兩項或者三項差的形式，通過合并化簡，求和的方法.通常情況下數列｛an｝是分式的形式，分母是等差數列連續（多間隔）k項的乘積，分子是常數的數列.常見的形式為

例如201 1年新課標Ⅱ卷解答題第17題等比數列｛an｝的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.（Ⅱ）設bn=log3a1+ log3a2+…+log3an，求數列的前n項和.考查裂項求和法的應用.

數列求和，要從通項公式入手，首先確定通項公式，其次通過對通項公式變形或分析通項公式結構特征，選擇恰當的求和方法.對于非等差數列和等比數列的求和，第一種思路：轉化的思想，即將一般數列設法轉化為等差數列或者是等比數列，這一思想方法往往通過對通項的分解或錯位相減來完成；第二種思路：不能轉化為等差數列和等比數列的數列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等求和.