走進高中新課程
——數形結合教學策略研究

?強少華

走進高中新課程
——數形結合教學策略研究

?強少華

推行素質教育，培養面向新世紀的合格人才，使學生具有創新意識，在創造中學會學習，教育應更多的關注學生的學習方法和策略。數學家喬治·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”數學思想方法的學習有助于學生理解和掌握數學知識，對解決問題具有指導作用，有利于培養學生的創新能力，完善學生的認知結構。而數形結合思想是眾多數學思想方法中最典型，也是最能體現數學美的一種方法。本文指出了數形結合思想的內涵，在高中數學教學中的應用以及作為教師應該具備的教學策略。

數形結合；高中數學教學策略。

一、數形結合的思想內涵

數學中兩個最基本也最古老的研究對象是“數”與“形”，它們在一定條件下可以互相轉化。以數學問題的條件和結論之間的內在聯系為依據，在分析其代數意義的同時揭示其幾何直觀的解決數學問題的方法。從而使數量間的空間形式的直觀形象與代數數據的精確和諧并巧妙的相結合。同時，充分利用這種結合尋找解題思路，化繁為簡，為難為易，從而解決數學中的相關問題。

簡而言之，數形結合就是指將直觀的幾何位置、圖形關系與抽象的數量關系、數學語言相結合，同時通過“以數解形”、“以形助數”的方式使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，從而優化解題方法。所以說，究其本質，數形結合是一個包含“以數輔形”、“以形助數”的數學思想方法。

1.從數到形，以形助數，借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系 例：設方程|3x-1|=k，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數的情況。

當k<0時，直線y=k與函數y=|3x-1|圖象無交點

∴方程無解。

當k=0或k≥1時，直線y=k與函數 y=|3x-1|圖象有一個交點

∴方程有一解。

當0

∴方程有兩解。

(A)λ<0 (B)λ=0 (C)0<λ<1 (D)λ≥1

3.數形結合，互相轉化，互相補充，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合解決問題 一般來說，在解決問題的陳述上，往往會用代數法，而在分析尋找思路時往往借助于幾何直觀。

分析與思考：函數結構復雜，無法用常規方法求解，設法將其簡單化。由根式我們會聯想到距離，問題的關鍵是能否將兩個根式內的被開方式化成平方和的形式。通過拆湊，發現可以，即：

二、數形結合思想在高中新課程中的教學策略

掌握數學“雙基”，培養數學能力是中學數學教學最重要的目的，而“培養思維品質是發展智力與能力的突破口”，“學生數學能力的差異，通過數學思維的深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性等思維品質來體現”，“思維的深刻性是一切思維品質的基礎”。數形結合有利于提高思維的深刻性。因此，中學數學教學中，數形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種基本的、重要的數學思想，作為數學知識的精髓，作為將知識轉化為能力的“橋”來學習研究和掌握運用。教師要從“形”和“數”的結合上做好教材分析，揭示數學問題的實質。

那么，具體作為教師，具體應該怎么做呢？

1.運用數形結合進行函數教學 函數是體現數形結合方法的良好載體，在工程技術和社會科學中，只要有可能，工程技術人員和社會科學研究人員不僅需要知道函數的解析式、圖表，更希望能畫出有關的函數圖像，從而幫助他們研究和決策，另外，在直角坐標系中，函數圖像把變量x和y聯系起來，直觀、形象地看到函數變化的特點、性質和變化趨勢，這對于學生的理解和學習是十分有益的，無論是對于函數概念還是函數性質的學習，數形結合方法為函數內容的學習提供了有力的工具。

所以在教學中教師應該把握好以下幾點：

(1)對函數的學習一定不能停留在抽象的、形式化的描述上，應該幫助學生建立起幾個重要的具體的實際模型，并連同它們的圖像留在腦海里。比如分段函數，幾個具體的冪函數、指數函數與對數函數、三角函數等。結合這些基本的初等函數，不斷加深對于函數的定義、性質，以及函數研究方法的理解。

(2) 函數的教學一定要突出函數圖像的地位，通過函數圖像，直觀地、形象地、整體地認識和理解函數概念和性質。無論是用解析式、圖表法還是圖像法去刻畫一個具體的函數時，都要幫助學生在腦子里留下函數的圖像。

(3)在教學中，教師要有意識地在教學設計中，使學生在獲得數學知識的同時，感受到數形結合在整個學習過程中的力量和作用，以教科書為載體，設計成不同的臺階，提出不同層次的要求，有意識的進行培養，幫助學生逐漸掌握數形結合這一重要方法。下面舉例說明：

在數學1中，對于函數的概念和性質，除正面講清用數量關系給出的定義外，還要借助圖形直觀揭示形的一面，用不同的語言(數的語言，形的語言)、從不同的角度、以不同的形式來認識函數問題的本質。函數概念一開始就介紹集合——可用Veen圖表示集合間的關系；定義域、值域概念及其表示——通過不等式(組)的解，引用區間、線段，用數軸描寫實數集，用數軸的全體或部分來表示定義域值域，也是幾何形象；函數關系與圖像——用平面點集來描寫、揭示函數關系，而且用這個平面點集組成的曲線來描寫函數的性質：奇偶性——關于點或坐標軸的對稱性，單調性——圖像的走勢、升降，最大值——最高點，最小值——最低點，周期性——圖像能否有規律的重復出現或疊合；互為反函數的圖像——關于直線y=x對稱的圖像，等等。在數學4《三角函數》這一章，教師要特別強調單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式，以及三角函數的圖像，借助三角函數的圖像理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖像與x軸的交點等性質。

2.運用數形結合進行平面向量教學 向量作為一種帶有方向的線段，集“數”與“形”于一身，即向量可以類似數那樣進行運算，其本身又是一個圖形。所以向量是體現數形結合方法的良好載體。在這一章中，教師要在教學中強調向量概念的幾何背景，強調理解向量運算(加、減、數乘、數量積)及其性質的幾何意義。具體來說應把握好以下幾點：(1)注重物理背景和物理應用；(2)一有機會就要聯系，充分起到溝通的橋梁作用和數形結合的典范作用；(3)在向量運算的教學中，特別要重視向量的數乘運算和數量積運算；(4)關注向量在物理、數學、現代科學技術中的應用。

3.運用數形結合進行解析幾何教學 我們知道，解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數和幾何之間的聯系，是數與形結合的典范。高中數學新課程強調幫助學生經歷將幾何問題代數化、解決幾何問題的過程，使學生在學習知識的同時，不斷地體會數形結合的思想方法：用代數語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題——處理代數問題——分析代數結果的幾何意義，最終解決幾何問題。

因此，教師在教學中，要把握以下幾點：

(1)強調解析法的靈魂是數形結合。要在結合上下功夫，既要強調確定直線和圓的幾何要素如何用代數表示，又要強調認識代數運算過程中代數關系的幾何意義，能畫圖的一定要畫圖，使學生在頭腦中有圖形的直觀形象，培養學生的畫圖意識，養成畫圖的習慣。

(2)突出解析法解決幾何問題的程序性和普適性。把握好解析法解決幾何問題的“三步曲”。

(3)加強知識之間的聯系性。要認識到平面直角坐標系是溝通平面幾何、函數與解析幾何的橋梁，并適時的進行一定的聯系。

[1] 錢珮玲，數學思想方法與中學教學， 北京師范大學出版社，2008年

[2] 葉立軍，數學方法論，浙江大學出版社，2008年

[3] 王，倩，感悟數形結合思想。學苑教育，2011年第二期

[4] 袁桂珍，關于數形結合的若干基本觀點， 廣西師范大學學報，1998年第3期

[5] 錢海梅，數形結合思想在數學教學中的滲透， 理論創新

[6] 王彬彬，例談數形結合思想在數學解題中的應用，考試·高考數學

[7]游宇，數學思想在高中數學解題過程中的應用，新課程研究，2010年5月第187期

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