談化歸與轉化思想在解析幾何中的應用

?余豐

談化歸與轉化思想在解析幾何中的應用

?余豐

轉化思想與化歸思想解答問題的重要思想方法，尤其在求解解析幾何問題中。一般來說，數學教學中各種問題都會涉及到轉化思想以及化歸思想。例如，數形結合反映出數與形之間的相互轉化;函數與方程則反映出函數、不等式以及方程之間的相互轉化;分類討論則反映出局部以及整體之間的相互轉化。由此可見，轉化思想以及化歸思想是數學解題中常用的手段。因此，本文將轉化思想以及化歸思想作為立足點，根據數學實例來探討轉化思想以及化歸思想在數學解析幾何中的實際應用，旨在為數學學習提供參考。

轉化思想；化歸思想；解析幾何

數學在高中各科中屬于較難的課程，而解析幾何則是高中諸多數學知識中難度較大的內容。如何真正理解解析幾何知識，并熟練掌握解析幾何的解題方法，是每個高中學生必須面對的重要問題。根據老師的指導和本人的解題實踐發現，靈活運用轉化與化歸思想分析解析幾何問題，往往能使問題簡明而直觀，從而提高解題的速度和準確率。

一、轉化思想以及化歸思想的基本概念

轉化思想以及化歸思想其實質就是不斷地觀察、分類以及聯想且運用正確的數學方法進行有效變換，使某一題目的原問題轉化為新問題，再通過對新問題進行有效求解來達到解答原問題的一種數學思想方法在解析幾何的解題過程中，如果學生能夠有效運用轉化思想以及化歸思想，便能事半功倍地完成解答。

二、轉化思想以及化歸思想在解析幾何當中的實際應用

1.動點以及定點之間的相互轉化 一般來講，動點以及定點的存在都是相對而言。對于同一個解題對象，根據實際要求可靈活變換其動點以及定點。例如，在解答多個動點的題目時，可依照題意將多個動點中的某一動點視為定點，然后根據相關結論或規律，尋找動點與定點之間的相互聯系解答問題。

例 已知點P是直線y=x上的任一動點，點M是圓O1:x2+(y-1)2=0.25上的任一個動點，點N是圓O2:(x-2)2+y2=0.25上的任一個動點，求|PN|-|PM|的最大值。

本題是一道典型的解析幾何動點求最值問題，題中涉及三個動點之間的距離，學生解題有較大的難度。所以可以考慮運用數學轉化及化歸思想來進行解答。分析題目的圖形，我們可借助幾何性質將使本題中動點之間的距離轉化為定點之間的距離來求解。為了降低難度，可以任取一個點P，先將其視為一個定點，當點N為PO2延長線與圓O2的交點時，|PN|取到最大值；當M取PO1和圓O1的交點時，PM就能夠取得最小值。再讓點P動起來，從而求|PN|-|PM|的最大值，就轉化為求|PO2|-|PO1|+2的最大值。經過這樣的轉化，三個動點之間的距離轉化為動點P到兩個定點O1和O2的距離問題，接下來根據圖形對稱性不難得出所求最值。

2.數與形之間的相互轉化 眾所周知，解析幾何的根本核心就是通過代數方法來完成幾何問題的解答，其基本理念就是數形結合，以數代形的方式使得幾何條件能夠代數化，再將代數運算過程進行幾何化，進而優化幾何題目的解題過程。

①若點B坐標為(0,-0.25)，滿足|BE|=|BF|，求直線l的斜率；

②若A是橢圓的右頂點，并且∠EAF的角平分線為x軸，試求直線l的斜率。

本題的求解，首先應抓住幾何條件的基本特征進行考慮，再通過有效的代數形式進行表示。題①，可由|BE|=|BF|結合等腰三角形三線合一等條件，化為等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直，得到BE與BF的斜率乘積為-1從而求解；題②，可抓住∠EAF的角平分線是x軸，從而由AE與AF關于x軸對稱，進而轉化為直線AE和AF斜率之和為0，以下再進一步轉化為方程求解即可。

3.定點定值以及恒等式之間的轉化 在解答二次曲線問題中，將定點定值靈活轉化為恒等式，可有效解答出實際值。

①求圓C的方程；

轉化思想以及化歸思想是一種通過有效方法使復雜的原問題轉化為簡單的新問題

，再通過對新問題進行有效求解來達到解答原問題目的的一種解題思想。數形結合反映出數與形之間的相互轉化，函數與方程則反映出函數、不等式以及數學方程之間的相互轉化，分類討論則反映出局部以及整體之間的相互轉化。因此，若能有效運用轉化思想以及化歸思想，就能更好地解答解析幾何問題。

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浙江省臺州中學 317000)