需求對價格敏感情況下的庫存控制與定價研究

唐艷

（深圳技師學院 國際商務系，廣東 深圳 518000）

需求對價格敏感情況下的庫存控制與定價研究

唐艷

（深圳技師學院 國際商務系，廣東 深圳 518000）

用價格來引導需求是當前較多企業的經營策略，庫存管理和定價成為該策略中的重要問題，在借鑒已有研究的基礎上對該問題進行了理論研究。在單品種、需求函數為價格的二階可導遞減凹函數、可提前訂貨的假設下建立了動態規劃模型，從理論上證明了在假設前提下最優定價策略的存在性以及在該價格策略下的補庫策略。

庫存控制；定價；需求隨價格可變

1 引言

庫存控制是企業經營的關鍵環節，過高的庫存可能導致產品的積壓，過低的庫存又可能導致缺貨，而傳統的EOQ模型適合在假設需求穩定的情況下進行該問題的研究。但是，商業環境在不斷變化，特別在當前互聯網購物環境大背景下，網商為了刺激需求，相互之間的價格戰是家常便飯，京東商場、淘寶、天貓每年的雙十一的血拼讓人記憶猶新，價格戰顯然是為了刺激需求，這也反映出價格的變化對需求有著明顯的影響，在這種情況下需求不再是穩定的，而是可以通過價格進行調節，這便使得企業面臨價格引導需求情況下的庫存控制問題。同時，可以提前訂貨也是大部分企業能夠做到的，而現在的問題是如何定價以引導需求才能使企業在綜合考慮庫存控制情況下使得企業整體收益最大。本文試圖通過建立數學模型來從理論上探討這樣一個問題：在結合已有的理論分析基礎上，在需求為價格敏感且允許顧客提前訂貨的情況下，企業該如何做好庫存控制以及是否存在最優定價，使企業整體利潤最大化。

2 文獻綜述

Whitin在1955年對價格引導需求情況下的單周期庫存管理問題進行了研究，其研究在EOQ模型的基礎上假設需求為價格的單調遞減線性函數，在該假設情況下得到了最優價格以及在該價格下的最優訂貨量，Whitin同時還研究了需求為價格可變并帶有一定隨機性的庫存管理問題，在假設需求為價格的線性函數的情況下引入服從U(0，2)的隨機變量并得出了相應的結論。Howard Kunreuther和Jean Francois Richard在1971年也對需求為價格函數的單周期庫存管理問題進行了研究，其研究得到的結論是在價格影響需求的假設下，企業將價格與庫存綜合考慮進行決策將獲得更高的利潤。Wagner和Whitin在1958年對該問題的多周期問題進行了研究，通過建立動態規劃模型討論了需求為價格函數情況下的定價及庫存控制問題。Bhattacharjee和Ramesh在2000年也對該問題進行了研究，并研究了該問題的啟發式算法。Federgruen和Heching在2002年研究了需求隨價格可變并帶有一定隨機性情況下的庫存管理問題，假設可延遲交付、庫存費用或缺貨費用為凸函數、單周期庫存費用為價格和庫存水平的聯合凹函數。假設需求為價格的函數，但允許顧客提前訂貨并通過遠期定價來增加需求的確定性，該假設更接近于當前的交易環境，Sumit Kunnumkal和Huseyin Topaloglu在2008年對該問題進行了研究。

3 模型建立及相關結論的證明

3.1 模型假設

（1）經銷商只經營一種貨物，允許顧客提前訂貨，每周期進行庫存盤點并在周期初決策下一周期的訂貨量以及未來若干周期的價格。

（2）需求為價格的函數，該函數滿足：單調遞減、二階可導凹函數，需求函數受到的外界隨機擾動期望值為零。

（3）庫存費用及缺貨費用為每周期末庫存的凸函數。

3.2 模型建立及相關結論與證明

設在第t周期初，需要確定未來N周期的價格，設訂購在s周期交付貨物的價格為在該價格下，設需求函數為根據假設2，xt(pt,s)為二階可導凹函數，且Eε=0。

選取該院療養的2 000例糖尿病療養員作為研究對象，其中男1 325例，女 675例，年齡 40～78歲，平均(59.73±8.49)歲，病程 3～20 年，平均(11.65±3.86)歲；以同期在我院接受健康體檢的500名健康人群作為健康對照組，其中男316名，女184名，年齡41～80歲，平均(60.36±8.72)歲；兩組受檢者在性別分布、年齡等一般資料方面差異無統計學意義(P＞0.05)，具有可比性。

在第t周期初已知的s周期的總需求為：Ds,t=在確定價格為pt,s后，又會產生新的需求

設供應商訂貨提前期為L，當前庫存為it，延期交貨量為Yt，補貨量為Bt，在t到t+L周期內，補庫前的總庫存為補庫后庫存為It，則：

在t到t+L周期內的需求為補庫前庫存為補庫后庫存為It=I1t+Bt=

在t周期初，提前期外各周期需求為向量：設N＞L+1。

在t周期初，需要做出的決策是：當前周期的補貨量Bt以及s周期交付所對應的訂貨價格pt,s（其中s=t,t+1,…,t+N）。所面對的狀態變量是和Dt。狀態轉換關系為：

在第t周期，庫存費用或缺貨費用設為Ht(It,pt)=其中ht為凸函數且也既有同時假設費用函數為多項式有界函數。即：存在整數α，使得：

設每次訂貨的固定費用為Gt，單位訂貨費用為Ct，由此，可以計算在周期t內的收益函數為

證明如下：

以下建立動態規劃模型：

設在t階段狀態變量為從t階段到T階段的最大期望收益為則可得動態規劃模型為：

對該動態規劃模型，可證明如下結論：

（2）對?t，有且存在最大值點。

采用歸納法來證明。證明如下：

對（1）的證明：t=T時，有由結論一，Kt為關于It和pt的聯合凹函數，所以為關于的單調遞減凹函數。假設在t周期結論成立，則在t-1周期時，由其中為關于和的聯合凹函數，由假設為關于的單調遞減凹函數為關于和的聯合凸函數，為單調遞減函數，所以為關于和的聯合凹函數，再回到前述等式，容易知道原結論成立。

對（2）的證明：t=T時，有由假設費用函數為多項式有界函數。即：存在整數α，使得：由前述證明，KT為凹函數，且所以KT存在最大值點，設為由有

設在t周期結論成立，即存在最大值點且Zt和Kt都為關于IT和有界。則在t-1周期，由（1）有即存在常數U＞0,使得因為故有：

即有：

由此，可以得出如下結論：

在t周期初，在需求為Dt的狀態下，存在最大值點當補庫至當無需補庫。具體證明如下：

對周期t，由為凹函數且存在最大值點則對任意需求Dt，由為凹函數，且故存在最大值點，記為：所以，當時為最優決策，即補充庫存至且最優定價為當時，最優策略為不補庫，即

4 結束語

針對需求對價格敏感的庫存控制與定價問題，本文建立了動態規劃模型來進行研究，在假設前提下證明了最優價格策略的存在性以及相應的補貨策略。當然，相關討論還可以繼續深入，比如本文沒有考慮固定費用，也相當于假設固定費用為零，固定費用可以在后續研究中加入，本文中的一些假設也可以進一步放寬，從而更進一步的符合實際情況。這些都可以在后續研究中繼續討論。

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Study on Inventory Control and Pricing with Price-sensitive Demand

Tang Yan
(Department of International Business,Shenzhen Institute of Technology,Shenzhen 518000,China)

In this paper,based on previous studies,we analyzed theoretically the inventory management and pricing in enterprise operation strategy,built the dynamic programming model on the premises of single product,the demand being a secondary derivable decreasing concave function of price,and advance order allowed,and proved theoretically the existence of an optimal pricing strategy against such premises as well as the corresponding replenishment strategy for it.

inventory control;pricing;demand varying with price

O227;F253

A

1005-152X(2016)12-0101-03

10.3969/j.issn.1005-152X.2016.12.024

2016-10-24

唐艷（1983-），女，華東交通大學物流工程碩士，深圳技師學院講師，研究方向：供應鏈管理、物流與營銷專業教學。