數形結合思想在中學數學中的應用

何偉宏

摘 要：數形結合是一個極富數學特色的信息轉換思想，根據數學問題的條件和結論內在聯(lián)系，將問題的數量關系轉化為圖形的性質問題，或者將圖形的性質問題轉化為數量關系問題。通過數形結合，將抽象思維與形象思維有效結合起來，使問題化難為易，從而得以解決。這里主要從數形結合信息轉換的方法及注意點，在集合、函數、解析幾何等方面探究數形結合在中學數學中的應用。

關鍵詞：數形結合；學習；應用

華羅庚先生指出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事非。”所謂數形結合，就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系分析其代數含義，又提示其幾何直觀，使數量關系與空間形式和諧地結合起來。

縱觀數學的發(fā)展史，數與形的結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具，同時也使許多代數課題具有鮮明的直觀性，從而開拓了新的研究方向。數形結合思想貫穿于全部數學之中，數軸、計算法證幾何問題、三角法、復數法、向量法、解析法、圖解法等都是這一思想的具體應用。

一、數形結合的三個途徑和三個原則

進行數形結合的信息轉換，主要有三個途徑：一是通過坐標系統(tǒng)的建立，引入參變量，化靜為動，以動求解；二是轉化；三是構造，即構造幾何模型，構造函數或構造一個圖形。

運用數形結合思想方法分析解決問題時，還要把握三個原則：一是等價原則，要注意圖形不能精確刻畫數量關系所帶來的多面效應；二是雙向性原則，即既要進行幾何直觀分析，又要進行相應代數抽象探索，僅對代數問題進行幾何分析容易失真；三是簡單原則，不要為了“數形結合”而數形結合，而應取決更有效、簡便和更宜達到教學。

二、數形結合方法的一些應用

1.運用數形結合處理集合交、并、補的問題

運用數形結合的方法，解決有關集合的問題，是“形”之有效的。它使抽象的集合問題形象化、具體化，從而提高學生的解題能力。

例1.設集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N{（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，則集合M∩N中元素的個數為（ ）

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

分析：本題的幾何意義很明顯，集合M為單位圓上的點，集合N為拋物線上的點（如圖1），M∩N中元素只有兩個，圓與拋物線的兩個交點。

2.在二次函數方面的應用

一元二次方程、一元二次不等式、二次函數三者之間有著密切的聯(lián)系。于是許多一元二次方程問題通過二次函數圖象來解決。

例2.如果方程x2+2ax+a2-a+5=0的兩個實根在方程x2+2ax+a2+a-7=0的兩實根之間，試求a的取值范圍。

分析：函數y1=x2+2ax+a2-a+5，y2=x2+2ax+a2+a-7的圖象都是開口向上且形狀相同又有公共對稱軸的拋物線，把問題歸結為兩條拋物線頂點的縱坐標間關系問題，同時要考慮頂點與x軸的位置關系。滿足題設條件是拋物線y1的頂點縱坐標不大于零且大于拋物線y2的頂點縱坐標。（如圖2）

即-a+5≤0-a+5>a-7

解得5≤a<6

3.求值問題中的數形結合

用數形結合的方法解題，能最直接提示問題的本質，直觀地看到問題的結果，只需稍加計算推導，就能得到確切的答案。其中許多代數極值問題，就潛藏著圖形背景，借助圖形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，畫一個圖形給問題的幾何直觀描述，從數形結合中找出問題的邏輯關系，啟發(fā)思維，巧妙求解。

例3.如果實數x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么的最大值是_______。

分析：等式（x-2）2+y2=3，有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上以（2，0）為圓心，r=為半徑的圓（如圖4）。而表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率，如此一來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖4可見，當點A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為tan60°=。

4.構造圖形，證明代數不等式

許多代數不等式，用中學代數知識去證明會有點力所不能及，若能借助幾何圖形，則問題迎刃而解。

例4.設a，b，c為△ABC的三邊的長，求證：

于是結論得證。

綜上所述，運用數形結合方法，應根據不同問題的不同特點，或者把數量關系問題轉化為圖形性質問題來處理，或者把圖形性質問題轉化為數量關系問題來研究，從而把復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到化難為易的目的。

在數學教學中，通過數與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合起來，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。并且能夠有的放矢地幫助學生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習慣。激發(fā)學生的學習興趣，逐漸滲透數形結合的思想方法，培養(yǎng)學生運用數形結合解決問題的意識。

參考文獻：

[1]傅夢生.數形結合的應用策略研究[J].科技咨詢導報，2007（11）：245.

[2]黃珊.數形結合思想與解題教學研究[J].數學教學與研究，2009（23）：54-55.

[3]袁桂珍.關于數形結合的若干基本觀點[J].廣西師范大學學報，1998，16（03）：29-35.

編輯 魯翠紅