基于隨機等價線性化法的懸浮隧道錨索隨機振動研究

第一作者 蘇志彬 男，碩士，講師，1980年生

通信作者 孫勝男 女，博士，副教授，1982年生

sunshengnan1982@163.com

基于隨機等價線性化法的懸浮隧道錨索隨機振動研究

蘇志彬，孫勝男

(聊城大學 建筑工程學院，山東 聊城252059)

摘要：為了得到懸浮隧道錨索在隨機環境激勵作用下的響應，建立了懸浮隧道錨索非線性隨機振動方程，并在方程中考慮了錨索的垂度效應，隨后采用隨機等價線性化法對隨機激勵作用下錨索的振動響應進行了分析。研究結果表明：在零均值高斯白噪聲環境激勵作用下，錨索的跨中位移和速度均方根響應經過一定時間后將趨于定值，位移和速度的互相關函數趨于零；錨索的阻尼比越大，錨索跨中橫向位移均方根響應越小；激勵的功率譜密度強度越大，錨索跨中橫向位移均方根響應越大；由于水體阻尼力的存在，懸浮隧道錨索的位移和速度均方根響應比空氣中錨索的響應大幅減小。

關鍵詞：懸浮隧道；隨機等價線性化法；隨機振動；垂度

基金項目：國家自然科學基金資助(51108224)；山東省自然科學基金資助項目(ZR2013EEL006)

收稿日期：2013-09-13修改稿收到日期：2014-03-03

中圖分類號:U459.5文獻標志碼： A

Random vibration analysis of a submerged floating tunnel’s tether based on stochastic equivalent linearization method

SUZhi-bin,SUNSheng-nan(School of Architecture & Civil Engineering, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

Abstract:To study the random vibration response of a submerged floating tunnel’s tether subjected to random ambient excitation, a non-linear random vibration equation of the tether was established considering the effect of tether sag. Subsequently, the vibration response of the tether was analyzed by means of the stochastic equivalent linearization method. The results indicated that the mid-span displacement and velocity root mean square responses of the tether to zero-mean Gaussian white noise excitation tend to stable values after a certain period of time, while the cross-correlation function between mid-span displacement and velocity tends to zero; the mid-span displacement root mean square response of the tether decreases with increase in the tether’s damping ratio, whereas it increases with increase in the power spectral density of the excitation; due to the existence of the water damping force, the displacement and velocity root mean square responses of the tether decreases greatly compared with those of the tether in air.

Key words: submerged floating tunnel; stochastic equivalent linearization method; random vibration; sag

長期以來，為解決深水水道穿越問題，研究人員一直在尋找一種更有效、更安全、與環境更為協調的運輸系統。一種合適的跨越水道的方式，無疑會給兩岸帶來極大的便利與經濟效益。在我國，以何種方式跨越渤海海峽、瓊州海峽一直是專家學者們關注的焦點[1-2]。懸浮隧道(亦稱作“阿基米德橋”)是一種跨越水域的新型結構形式，此結構形式可跨越不同類型的水域，如海灣、河流、海峽、湖泊等，并與航道互不干擾。自從這種結構形式問世以來，這種跨越水域的創新方案得到了國內外專家的廣泛關注[3-5]。

懸浮隧道錨索具有質量輕、阻尼小、柔度大的特性，極易發生振動。作為懸浮隧道的關鍵受力構件，許多學者對錨索的振動問題進行了研究。葛斐等[6]建立了懸浮隧道錨索在波流場中順流向渦激振動的數學模型，考慮了波浪作用下懸浮隧道管體的運動引起的強迫激勵和參數激勵對錨索渦激振動的影響。陳健云等[7]將懸浮隧道的錨索簡化為受張力的梁，建立了錨索渦激振動方程，討論了錨索傾角、張力和長度對其最大動剪力和最大動彎矩的影響。葛斐等[8]通過Hamilton原理推導了懸浮隧道管體和錨索的運動控制方程，方程中引入了錨索軸向和橫向變形之間的耦合作用，并在時域內求解運動控制方程。羅剛等[9]考慮流體-結構耦合效應以及懸浮隧道錨索的幾何非線性特點，建立了錨索的非線性振動方程，并通過有限元軟件ANSYS的二次開發，分析了懸浮隧道錨索在橫向升力作用下的動力特性。項貽強等[10]利用Hamilton原理，考慮懸浮隧道管體和錨索的耦合效應，建立錨索-管體耦合系統的運動方程，對5種典型工況的錨索跨中和管體跨中的位移時程曲線進行了比較。Wittig[11]研究了線性繩索承受平穩寬帶點載荷激勵下的速度均方動力響應，從而得到了拉索振動的動能響應分布規律。Rega[12]綜述性的論述了懸索結構的隨機振動，振動穩定特性和流體介質中的拉索振動特性。Yong[13]通過建立索-梁結構面內、面外三自由度振動微分方程組，采用隨機線性化法分析了索梁結構中拉索面外自參數隨機振動特性。

隨機等價線性化法是非線性確定性振動的等價線性化法對隨機問題的推廣，它的基本思想是把受隨機干擾的非線性體系的運動方程用一個等價的線性方程來近似，然后使兩個方程之差的誤差項的某種量度最小的原則來確定等價線性方程中的參數。這種方法既適用于弱非線性體系，也適用于強非線性體系，在工程實際中應用較廣，是目前解決工程結構非線性隨機振動問題最有效的方法之一[14]。

錨索處于復雜的波流環境中，其所受的環境激勵具有很強的隨機性，因此研究錨索在隨機環境激勵作用下的振動響應問題變得尤為重要。為了得到懸浮隧道錨索在隨機環境激勵作用下的響應，建立了錨索的非線性隨機振動方程，方程中考慮了錨索的垂度效應，隨后，采用隨機等價線性化法對隨機環境激勵作用下懸浮隧道錨索的振動響應進行了分析。

1運動方程的建立

圖1　錨索振動模型 Fig.1 Vibration model of tether

令θ、LE、m、E和A分別為靜力作用下錨索的傾角、長度、錨索無應力狀態下的單位長度質量、彈性模量和橫截面積，錨索在靜力狀態下的張力為T0=T0(s)，s為弧長坐標。用位移u表示在動荷載作用下的動力構形，u為沿錨索軸向的法線方向偏離靜力平衡位置的位移。

(1)

采用Hamilton原理得到錨索的振動方程為[15]

FD=F(t)

(2)

(3)

式中:FD為錨索振動引起的水體對其產生的作用力；CS為錨索的黏性阻尼系數；由小垂度假設，T0約為沿z向的錨索初張力H0；F(t)為均值為零的高斯白噪聲激勵荷載；ΔH為錨索振動引起的附加張力。

根據線性化的Morison公式，錨索振動引起水體對其單位長度上的總作用力可以表示為附加慣性力和水體阻尼力之和[16]

(4)

索的振動模態近似取為標準弦的振動模態[17]

(5)

采用伽遼金法化簡式(2)，得

j=1,2,…,∞

(6)

式中：R(z,t)稱為留函數[7]。

取一階振動模態化簡式(6)，得：

(7)

采用隨機等價線性化法對式(7)進行求解，設與式(7)等價的線性方程為：

(8)

式中：βe、ωe分別為等效線性方程表征阻尼和剛度的系數。

式(7)和式(8)之差的誤差項為：

(9)

式中：

(10)

ce=2(βe-β0)

(11)

根據隨機等價線性理論有：

(12)

(13)

將式(12)代入式(10)

(14)

解得：

(15)

將式(13)代入式(11)得：

(16)

解得：

(17)

(18)

(19)

式中：S0是激勵的功率譜密度。

2數值分析與結果

目前全球范圍內并無一座懸浮隧道建成，懸浮隧道錨索的參數取值參考了國外擬建懸浮隧道的設計參數。總水深取為170 m，隧道管體置于水面下30 m處，其它參數取值見表1[18]，錨索的速度位移均方根響應采用Matlab編制程序求得。

表1　基本參數

圖2 跨中位移均方根響應Fig.2Rootmeansquareofmid-spandisplacement圖3 跨中速度均方根響應Fig.3Rootmeansquareofmid-spanvelocity圖4 跨中位移和速度的互相關函數Fig.4Cross-correlationfunctionofmid-spandisplacementandvelocity

2.2結構阻尼和激勵譜密度強度的影響

錨索的跨中位移均方根和錨索的阻尼比之間的關系(見圖5)。由圖5可知，由于阻尼對錨索振動的抑制作用，隨著阻尼比的增大，錨索跨中位移均方根響應值變小，即振動的動能變小，且錨索振動趨于穩定所用的時間越來越少。從圖6可知，隨著激勵譜密度強度的增大，錨索跨中位移均方根響應也隨之增大。

圖5　跨中位移均方根和ξ S的關系 Fig.5 Relationship between root mean square of mid-span displacement and ξ S

2.3水體阻尼力的影響

空氣中的錨索沒有考慮空氣阻力和升力的影響，水下錨索考慮了流體阻尼力和附加慣性力的影響，隨機激勵的功率譜密度相同時，懸浮隧道錨索和空氣中錨索的位移和速度均方根響應(見圖7和圖8)。可以看出，空氣中的錨索跨中位移均方根趨于穩定值時為1.29 m，速度均方根為13.2 m/s；水下錨索由于水體阻尼力的作用，跨中位移均方根趨于穩定值時為0.11 m，速度均方根為0.79 m/s。水下錨索由于水體阻尼力的存在使得錨索的跨中位移和速度均方根響應均大幅減小。

圖6 激勵的功率譜密度和跨中位移均方根的關系Fig.6Relationshipbetweenpowerspectraldensityofexcitationandrootmeansquareofmid-spandisplacement圖7 水體阻尼力對位移均方根的影響Fig.7Effectofwaterdampingforceonrootmeansquareofdisplacement圖8 水體阻尼力對速度均方根的影響Fig.8Effectofwaterdampingforceonrootmeansquareofvelocity

3結論

(1) 在零均值高斯白噪聲激勵作用下，經過較短的時間后，懸浮隧道錨索的振動趨于平穩，位移均方根響應和速度均方根響應均趨于定值，錨索位移和速度互相關函數趨于零。

(2) 隨機等價線性化法和蒙特卡羅數值方法進行對比，當錨索的振動趨于平穩后兩種方法的計算結果比較接近，證明本方法對錨索隨機振動分析的可靠性。

(3) 隨著錨索阻尼比的增大，錨索跨中位移均方根響應趨于穩定所用時間越短。

(4) 隨機激勵的功率譜密度相同時，水下錨索的速度和位移均方根響應比空氣中的錨索小，所以水體阻尼力對錨索隨機振動具有抑制作用。

參 考 文 獻

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